Математические основы информатики. (Алгебра высказываний) Под простым высказыванием понимается предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно. Два высказывания A и B называются равносильными, если они имеют одинаковые значения истинности, записывается A=B.
Логические операции Операцией отрицания A называют высказывание Ā ( A) ( говорят не A), которое истинно, тогда когда A ложно и ложно, тогда когда A истинно. Отрицание - унарная (т. е. для одного операнда) логическая операция. Ей соответствует языковая конструкция, использующая частицу НЕ. А Ā 0 1 1 0
Конъюнкцией двух высказываний A и B является новое высказывание C, которое истинно только тогда, когда истинны оба высказывания, записывается C=A B или C=A B (при этом говорят C равно A и B). A B C=A B 0 0 1 1 1
Дизъюнкцией двух высказываний A и B является новое высказывание C, которое истинно, если истинно хотя бы одно высказывание. Записывается C=A B (при этом говорят C равно A ИЛИ B). A B C=A B 0 0 1 1 1 0 1 1
Импликацией двух высказываний A (называется посылкой) и B (называется заключением) является новое высказывание C, которое ложно только тогда, когда посылка истина, а заключение ложно, записывается C=A B (при этом говорят, из A следует B). A B C=A B 0 0 1 1 1
Эквиваленцией двух высказываний A и B является новое высказывание C, которое истинно только тогда, когда оба высказывания имеют одинаковые значения истинности, записывается C=A B (C=A B) A B C=A B 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1
Логические выражения С помощью логических операций из простых высказываний (логических переменных и констант) можно построить логические выражения, которые также называются булевскими функциями. Например, C=((Ā B) B) А Порядок операций: -операции в скобках -отрицание -конъюнкция и дизъюнкция слева на право -импликация, эквиваленция.
Зависимости между логическими операциями Операции не являются независимыми; одни из них могут быть выражены через другие. A B= Ā B A=A закон двойного отрицания. A B=B A коммутативный закон для конъюнкции A B=B A коммутативный закон для дизъюнкции
(A B) C=A (B C) ассоциативный закон для конъюнкции (A B) C=A (B C) ассоциативный закон для дизъюнкции A (B C)=(A B) (A C) дистрибутивные законы A (B C)=(A B) (A C) (A B)=A B законы де Моргана (A B)=A B A 1=A закон единицы для конъюнкции A 0=0 закон нуля для конъюнкции A 1=1 закон единицы для дизъюнкции A 0=A закон нуля дизъюнкции
Одну и ту же зависимость между логическими переменными можно выразить различными формулами, важно иметь возможность приводить формулы к неким стандартным формам. Первая из них – дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ), имеет вид A 1 A 2 … An, где каждое из составляющих есть конъюнкция простых высказываний и их отрицаний, например B=(A 1 A 2 A 3) (A 1 A 2) Вторая – конъюнктивная нормальная форма (КНФ), имеет вид A 1 A 2 … An, где каждое из составляющих есть дизъюнкция простых высказываний и их отрицаний, например
Мудрая мысль Любую логическую функцию можно привести к ДНФ и КНФ. Докажем это на примере логической функции трех аргументов заданной таблично F=F(X 1, X 2, X 3)
№ 1 2 3 X 1 0 0 0 X 2 0 0 1 X 3 0 1 0 F 0 1 0 4 5 6 7 8 0 1 1 1 0 1 0 1 F(X 1, X 2, X 3)=(X 1 X 2 X 3) ДНФ
Еще более мудрая мысль Любое преобразование (обработка) двоичной информации может быть представлена системой логических функций. А каждую функцию можно представить в КНФ или ДНФ. Если создать электронное устройство, способное моделировать двоичный сигнал и выполнять отрицание, конъюнкцию и дизъюнкцию сигналов, то оно сможет обрабатывать информацию. Если же добавить еще устройство хранящее информацию, то возможна работа по программе.
Всякое импульсное (цифровое) устройство работает под управлением тактового генератора (ТГ), который через равные промежутки времени вырабатывает синхронизирующие для всей схемы импульсы. Временная диаграмма ТГ t ТГ х2 х1 х2 t х1 Цепь моделирующая двоичные сигналы t Временная диаграмма двоичных сигналов
Синтез цифровых устройств
Очевидно возможно создание устройств выполняющих конъюнкцию трех и более сигналов х1 х2 х3 & & х1 х1&х2 &х3 х2 х3 & х1&х2 &х3
F(X 1, X 2, X 3)=(X 1 X 2 X 3) x 1 x 2 x 3 & & 1
Построение элементов памяти цифровых устройств Для хранения данных необходимы элементы, которые получив импульс в одном такте запоминали бы его и сохраняли после снятия напряжения, т. е. в последующих тактах. Элемент памяти, который хранит значение одной булевой переменной называется триггером.
Аппаратное обеспечение компьютеров Создание вычислительного устройства имеет длительную предысторию. n 1804 год. Француз Жозеф Жаккар сконструировал приспособление к ткацкому станку, работу которого можно было программировать с помощью специальных карт. n 1822 Английский математик Чарлз Бэббидж выдвинул идею создания программно-управляемой счетной машины, имеющей арифметическое устройство, устройство управления, ввода и печати. Первая спроектированная Бэббиджем машина, Разностная машина, работала на паровом двигателе. n 1822 Ада Лавлейс разработала первые программы для машины, заложила многие идеи и ввела ряд понятий и терминов, сохранившихся до настоящего времени. n 1847 Английский математик Джордж Буль опубликовал работу "Математический анализ логики". Так появился новый раздел математики. Его назвали Булева алгебра.
n 1904 Английский физик Джон Амброз Флеминг (1849 -1945), изучая "эффект Эдисона", создает диод. n 1907 американский инженер Ли де Форест триод n 1936 Американский математик Алан Тьюринг (статья "О вычислительных числах") и независимо от него американский математик и логик Э. Пост выдвинули и разработали концепцию абстрактной вычислительной машины. n 1936 Конрадом Цузе (1910– 1995) - первый релейный компьютер. В нем уже применялось двоичное кодирование, но в первых версиях в качестве памяти использовались не реле, а механические приспособления. Программы для своих компьютеров Цузе записывал на 35 -мм кинопленке, пробивая в ней отверстия. n 1940 В 1937 году гарвардский математик Говард Эйкен (Howard Aiken) предложил проект создания большой счетной машины. Спонсировал работу президент компании IBM Томас Уотсон (Tomas Watson), который вложил в нее 500 тыс. $. Проектирование Mark-1 началось в 1939 году, строило этот компьютер нью-йоркское предприятие IBM. Компьютер содержал около 750 тыс. деталей, 3304 реле и более 800 км проводов. Марк I является одним из первых действующих компьютеров с программным управлением
n 1946 США состоялась демонстрация работы ENIAC— электронный цифровой интегратор и компьютер — первого успешно функционировавшего электронного цифрового компьютера. Джон фон Нейман на основе критического анализа конструкции ENIAC предложил ряд новых идей организации ЭВМ, в том числе концепцию хранимой программы, т. е. хранения программы в запоминающем устройстве. В результате реализации идей фон Неймана была создана архитектура ЭВМ, во многих чертах сохранившаяся до настоящего времени. n 1948 трехэлектродные полупроводниковые приборы – транзисторы.
Общие принципы организации и работы ВС 1. Принцип программного управления. СВТ должны работать под управлением сменяемых программ. Программа - это последовательность команд. Команда состоит из операционной и адресной частей. Операционная часть (код операции) указывает, какая инструкция применяется. Адресная часть указывает либо данные, либо инструкции, где находятся данные. Совокупность команд, выполняемых данным компьютером, называется системой команд этого компьютера;
Принцип однородности памяти. Программы и данные хранятся в одном и том устройстве называемом памятью. Поэтому компьютер не различает, что хранится в данной ячейке памяти — число, текст или команда. Над командами можно так же выполнять действия, как и над данными. Более того, команды одной программы могут быть получены как результаты исполнения другой программы. На этом принципе основаны методы трансляции— перевода текста программы с языка программирования высокого уровня на язык конкретной машины
Принцип адресности. Структурно основная память состоит из перенумерованных ячеек; процессору в произвольный момент времени доступна любая ячейка, внутри ячейки хранится некоторый двоичный код. Отсюда следует возможность давать имена областям памяти, так, чтобы к запомненным в них значениям можно было впоследствии обращаться или менять их в процессе выполнения программ с использованием присвоенных имен.
Работа по программе компьютера Обрабатывающее устройство УУ АЛУ Хранящее устройство (память) СК ПРОГРАММА РК РД РД СУММАТОР ДАННЫЕ Устройства ввода/вывода
Скачать презентацию Математические основы информатики Алгебра высказываний Под простым высказыванием
2 Аппаратное Обеспечение.ppt