МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНФОРМАТИКИ 1 Рассмотрены методы и модели

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНФОРМАТИКИ 1. Рассмотрены методы и модели количественной оценки информации 2. Проведено краткое знакомство с теорией алгоритмов 3. Вспомнили основные на сегодня системы счисления 4. Раскроем числовую систему ЭВМ.

Лекция 5. Числовая система ЭВМ • Цели кодирования информации • Способы представления информации в ЭВМ • Числовая система ЭВМ. • Представление целых чисел без знака и со знаком. • Коды представления чисел в ЭВМ • Индикаторы переноса и переполнения

Представление информации • При любых видах работы с информацией всегда идет речь о ее представлении в виде определенных символических структур: • широко распространены одномерные представления (сообщения имеют вид последовательности символов: текст) • широко используется и многомерное представление информации (рисунки, схемы, графы, объемные макеты, а также и множественность признаков используемых символов, например цвет, размер, вид шрифта в тексте).

Цели кодирования информации • Формирование представления информации называется ее кодированием. В более узком смысле под кодированием понимается • переход от исходного представления информации, удобного для восприятия человеком, к представлению, удобному для хранения, передачи и обработки. В этом случае обратный переход к исходному представлению называется декодированием. • При кодировании информации ставятся следующие цели:

• • • удобство физической реализации; удобство восприятия; высокая скорость передачи и обработки; экономичность, т. е. уменьшение избыточности сообщения; надежность, т. е. защита от случайных искажений; сохранность, т. е. защита от нежелательного доступа к информации. Эти цели часто противоречат другу

Память ЭВМ • Для записи, хранения и выдачи по запросу информации, обрабатываемой с помощью ЭВМ, предназначено запоминающее устройство (или память) ЭВМ: информация в памяти ЭВМ записывается в форме цифрового двоичного кода. • Количество информации, которое может помещаться в один элемент памяти (0 или 1), называемое битом, очень мало и не несет смысловой нагрузки. • Однако если соединить несколько таких элементов в ячейку, то тогда можно сохранить в запоминающем устройстве столько информации, сколько потребуется. Последовательность битов, рассматриваемых аппаратной частью ЭВМ как единое целое, называется машинным словом.

Емкость памяти • Так как оперативная память ЭВМ состоит из конечной последовательности машинных слов, а машинное слово — из конечной последовательности битов, то объем представляемой в ЭВМ информации ограничен емкостью памяти, а числовая информация в ЭВМ может быть представлена только с определенной точностью, зависящей от архитектуры памяти данной ЭВМ.

Числовая система ЭВМ • Введем основные понятия на примере 4 -битовых машинных слов. Такой размер слова обеспечивает хранение десятичных чисел только от 0 до 15 и поэтому не представляет практического значения. Однако они менее громоздки, а основные закономерности, обнаруженные на примере 4 битовых слов, сохраняют силу для машинного слова любого размера (8, 16, 32, 64, 128 – битовых). • Предположим, что процессор ЭВМ способен увеличивать (прибавлять 1) и дополнять (инвертировать) 4 -битовые слова. • Например, результатом увеличения слова 1100 является 1101, а результатом дополнения этого слова является 0011.

Свойства числовой системы • Рассмотрим слово 0000, представляющее десятичное число 0. В результате увеличения содержимое этого слова станет равным 0001, что соответствует десятичному числу 1. Продолжая последовательно увеличивать 4 -битовые слова, придем к ситуации, когда, увеличивая слово 1111 (которое представляет десятичное число 15), получим в результате слово 0000, • поскольку 111+1 = 0000 (15+1=0), при этом получили неверную арифметическую операцию и вернулись в исходное состояние. • Это произошло из-за того, что слово памяти может состоять только из конечного числа битов. Таким образом, числовая система ЭВМ является конечной и цикличной.

Числовая система со знаком • Ситуации, приводящей к неверному арифметическому результату, можно избежать, если битовую конфигурацию 1111 принять за код для числа -1. Тогда 1110 интерпретируется как -2; 1101 как -3 и т. д. до 1000 как -8. • Тем самым получили другую числовую систему ЭВМ — со знаком, содержащую как положительные, так и отрицательные числа. В этой системе половина четырехбитовых конфигураций, начинающаяся с единицы, интерпретируется как отрицательные числа, а другая половина, начинающаяся с 0, как положительные числа или нуль. • Поэтому старший бит числа (третий по счету, если нумерацию битов начинать с нуля справа налево) называется знаковым битом.

Контроль правильности выполнения арифметических операций • Рассмотрим более подробно ситуацию, приводящую при увеличении четырехбитового числа (т. е. прибавления к нему 1) к неверному арифметическому результату, возникшую из-за конечности числовой системы ЭВМ. • В числовой системе без знака эта проблема возникает при увеличении слова 1111, при этом имеет место перенос единицы из знакового бита. В случае системы чисел со знаком перенос из старшего бита дает верный результат: 1111 + 0001 = 0000 • (что правильно: -1 + 1 = 0 ). Но в этой системе увеличение слова 0111 приводит к ошибочной ситуации: 0111 + 1 = 1000 (7 + 1 = - 8), при этом имеет место перенос в знаковый бит.

Индикаторы переноса и переполнения • В процессоре ЭВМ (точнее в АЛУ, в котором выполняются арифметические операции) содержатся два индикатора — индикатор переноса и индикатор переполнения. Каждый индикатор содержит 1 бит информации и может быть процессором установлен (в этом случае ему придается значение, равное 1) или сброшен (равен 0). • Индикатор переноса указывает на перенос из знакового бита, а индикатор переполнения — на перенос в знаковый бит. Таким образом, после завершения операции, в которой происходит перенос в старший бит, процессор устанавливает индикатор переполнения, если такого переноса нет, то индикатор переполнения сбрасывается. Индикатор переноса обрабатывается аналогичным образом.

Назначение индикаторов • После выполнения операции процессором, ЭВМ сигнализирует о состоянии индикаторов и их можно проверить. • Следует иметь в виду, что способ обработки индикаторов процессором (т. е. их сброс или установление) зависит от выполняемой операции, а не просто от того, были или нет переносы. • При конструировании ЭВМ эти условия учитываются и аппаратура разрабатывается таким образом, чтобы индикаторы переноса и переполнения давали пользователю информацию о правильности выполнения операций в целом ряде обстоятельств.

Правильность операции сложения 1. 2. • • • Если машинные слова интерпретируются как числа без знака, то результат сложения двух слов будет арифметически правильным тогда и только тогда, когда не будет переноса из знакового бита. Если машинные слова интерпретируются как числа со знаком, то результат сложения а) двух положительных чисел будет арифметически правильным тогда и только тогда, когда не будет переноса в знаковый бит; б) двух отрицательных чисел будет арифметически правильным тогда и только тогда, когда будет происходить перенос в знаковый бит, причем в этой ситуации перенос из знакового бита происходит всегда; в) отрицательного и положительного чисел всегда будет правильным, а перенос в знаковый бит будет происходить тогда и только тогда, когда будет также происходить перенос из знакового бита.

Операция вычитания положительных чисел • Операцию вычитания можно свести к операции сложения в силу того, что • А - В = А + (- В). • Таким образом, необходимо над вычитаемым произвести операцию дополнения до двух и сложить его с уменьшаемым.

Коды представления чисел в ЭВМ • Прямой код • Обратный код • Дополнительный код 0101 1010 1011 5 -5 • Таким образом, использование кодов позволяет операцию алгебраического сложения машинных слов свести к операции арифметического сложения.