Математические модели в расчетах на ЭВМ Основное

«Математические модели в расчетах на ЭВМ» Основное содержание курса лекций и практик Преподаватель: к. т. н. , доцент Уразбахтина Анжелика Юрьевна 2015 г 1

Общая характеристика математических методов для инженерных расчетов на ЭВМ Применение математических методов и ЭВМ при проектировании способствует повышению технического уровня и качества проектируемых объектов, сокращению сроков разработки и освоения их в производстве. Автоматизация проектирования особенно эффективна, когда от автоматизации выполнения отдельных инженерных расчетов переходят к использованию автоматизированных информационных систем (АИС) или систем автоматизированного проектирования (САПР). 2

Задачи, решаемые с помощью математических моделей, заложенных в АИС или САПР: • Моделирование и мониторинг разработки месторождений; • Информационные технологии в проектировании объектов обустройства месторождений; • Стандартизация и техническое регулирование; • Комплексные решения для корпоративных информационных систем; • Моделирование последствий экологических катастроф. 3

Математические модели являются основой математического обеспечения (МО) САПР или АИС. Разработка математических моделей и алгоритмов является творческим и сложным этапом создания АИС или САПР, от которого в наибольшей степени зависят производительность и эффективность автоматизированной системы, и качество проекта. 4

Математическое обеспечение АИС или САПР Математическое обеспечение (МО) - это математические модели (ММ), методы и алгоритмы, по которым разрабатывается программное обеспечение (ПО) АИС или САПР, и которые позволяют осуществлять автоматизированное проектирование. 5

Математические модели: основные понятия Под математической моделью (ММ) объекта и его элементов понимают систему математических отношений, описывающих с требуемой точностью изучаемый объект и его поведение в реальных или производственных условиях. При построении ММ используют различные математические средства описания объекта – теорию множеств, графов, вероятностей, математическую логику, математическое программирование, дифференциальные или интегральные уравнения и т. д. 6

Математические модели: основные понятия Структура ММ – общий вид математических отношений модели без конкретизации числовых значений фигурирующих в ней параметров. Математическая модель описывает зависимость между исходными (входными) данными и искомыми величинами. 7

Схема обобщенной математической модели 8

Данные математических моделей • X (X 1, X 2, …) - множество входных данных (факторов, независимых переменных), из них: есть группа варьируемых переменных и группа независимых переменных (констант). • L - математический оператор, определяющий операции над входными данными; это полная система математических операций, описывающих численные или логические соотношения между множествами входных и выходных данных; • Y - множество выходных данных (зависимых переменных); представляет собой совокупность критериев оценки моделируемого объекта или целевых функций улучшения объекта. 9

Математическое моделирование по статистическим или экспериментальным данным называется аппроксимацией или регрессионным анализом. Цели регрессионного анализа: определить силу влияния факторов X (X 1, X 2, …) на результат Y и найти неизвестные коэффициенты математической модели а, b, c и т. д. При этом используются методы замены для преобразования нелинейных функций в 10 линейные.

Входные данные математических моделей Множество независимых переменных (констант) из числа X (X 1, X 2, …) определяет среду функционирования объекта, т. е. внешние условия, в которых будет работать проектируемый объект, эти факторы разработчик ММ изменить не может Это могут быть: • технические параметры объекта, не подлежащие изменению в процессе проектирования; • физические возмущения среды, с которой взаимодействует объект проектирования; • тактические параметры, которые должен достигать объект проектирования. Разделение входных параметров X (X 1, X 2, …) по степени важности влияния их изменений на выходные данные Y называется ранжированием. 11

Методы получения математических моделей • Получение математических моделей (ММ) процедура неформализованная, т. е. основные решения, касающиеся выбора вида математических соотношений, характера используемых переменных и параметров, принимает человек (проектировщик) ММ. • Разработка ММ обычно выполняется специалистами конкретных областей с помощью традиционных экспериментальных исследований. • Методы получения математических моделей делят на теоретические и экспериментальные. 12

Теоретические методы разработки ММ основаны на изучении физических закономерностей протекающих в объекте процессов, определении соответствующего этим закономерностям математического описания, обосновании и принятии упрощающих предположений, выполнении необходимых выкладок и приведении результата к принятой форме представления модели. 13

Экспериментальные методы разработки ММ методы основаны на использовании внешних проявлений свойств объекта, фиксируемых во время эксплуатации однотипных объектов или проведении целенаправленных экспериментов. 14

Порядок разработки ММ • 1. Выбор свойств объекта, которые подлежат отражению в модели. Он основан на анализе возможных применений модели и определяет степень ее универсальности. • 2. Сбор исходной информации о выбранных свойствах объекта (входной, выходной информации. Источниками ее являются: опыт и знания человека, разрабатывающего модель; содержание научно-технической литературы; описания прототипов – имеющихся ММ для элементов, близких по своим свойствам к исследуемому; результаты экспериментального измерения параметров и т. п. • 3. Синтез структуры ММ в виде алгоритма, блок-схемы, аналитической формы, матрицы решения. Синтез структуры – это поиск и упорядочивание аналитических, логических и других зависимостей для преобразования входных параметров в выходные. • 4. Расчет числовых значений параметров ММ (разработка тестового или контрольного примера). На этом этапе решается задача минимизации погрешности математической модели. • 5. Оценка точности и адекватности ММ. Здесь устанавливается степень расхождения с тестовым примеров или с реальным объектом. • 6. Разработка и оформление документации к ММ завершает ее 15 проектирование.

Схема порядка моделирования 16

Цели моделирования • ММ нужна для того, чтобы понять, как устроен конкретный объект, какова его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром (понимание); • ММ нужна для того, чтобы научиться управлять объектом (или процессом) и определить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях (управление); • ММ нужна для того, чтобы прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воздействия на объект (прогнозирование). 17

Примеры целей моделирования 1. Какой режим эксплуатации технического объекта выбрать для того, чтобы он был безопасным и экономически наиболее выгодным? 2. Как составить график выполнения сотен видов взаимозависимых работ на объекте, чтобы они закончились в максимально короткие сроки? 3. Проследить (предсказать) экологические и климатические последствия прорыва крупного нефтепровода. 4. Проследить (предсказать) социальные последствия изменений цен на нефть. 18

Программное обеспечение ЭВМ, используемое на различных этапах математического моделирования Пакет MATLAB Система MATLAB предназначена для выполнения инженерных и научных расчетов и высококачественной визуализации получаемых результатов. Эта система применяется в математике, вычислительном эксперименте, математическом и имитационном моделировании. Используя пакет MATLAB можно как из кубиков построить довольно сложную математическую модель, или написать свою программу. 19

Программное обеспечение ЭВМ, используемое на различных этапах математического моделирования MATHCAD Универсальный математический пакет, предназначенный для выполнения инженерных и научных расчетов, математического моделирования. Ориентирован на естественный математический язык и “непрограммирующего пользователя”. Пакет объединяет в себе: редактор математических формул, интерпретатор для вычислений, библиотеку математических функций, процессор символьных преобразований, текстовый редактор, графические средства представления результатов, возможности структурного программирования. 20

SMath. Studio программа для проведения математических вычислений и построения графиков, позволяет работать с матрицами и векторами, гиперболическими и тригонометрическими функциями, комплексными числами и булевыми выражениями. Поддерживается использование примитивного программирования - циклов FOR и WHILE, условий IF и т. д. Пользователь программы имеет возможность быстрой вставки единиц измерения, может экспортировать созданные проекты в форматы HTML и Math. Cad или сохранять их в виде изображений BMP, GIF, JPG и PNG. В SMath. Studio есть встроенный справочник, посвященный тригонометрии, логарифмам, производным, пределам и прочим математическим понятиям. Также в программе имеется коллекция примеров по решению математических задач. 21

EXCEL Использование именно Excel в качестве средства разработки математических моделей оправдывается не только высокой скоростью моделирования. Модели, разрабатываемые на базе этого поистине «народного» инструмента, как правило, наиболее просты в освоении, и даже их самостоятельная адаптация к меняющимся условиям может быть для более или менее квалифицированных пользователей Excel вполне посильной задачей. К тому же, на рабочих местах использование иных программных средств может оказаться затруднительным – хотя бы в силу ресурсных ограничений (это могут быть и устаревшие компьютеры, и отсутствие локальной сети, и низкая квалификация пользователей). 22

Регрессионные математические модели Регрессионные ММ применяются для исследования зависимости изучаемой переменной Y от различных факторов X и отображения их взаимосвязи в форме регрессионной математической модели. В регрессионных моделях зависимая (объясняемая) переменная Y может быть представлена в виде функции где - независимые (объясняющие) переменные, или факторы. ММ регрессии можно использовать не только для анализа, но и для прогнозирования явлений различной природы. 23

Примеры регрессионных математических моделей Пример 1. Запись ММ в виде формулы: Y=y(x)=линейная функция у зависит от одного фактора х. Математическая модель у(х)=а+b▪x называется линейной и однофакторной. 80 70 60 50 40 y(x) - прямая зависимость у от х 30 y(x) - обратная зависимость у от х 20 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Прямая зависимость: когда х возрастает, возрастает и у или х убывает – убывает и у. Обратная зависимость: когда х возрастает, у - убывает или х убывает – у возрастает. 24

Примеры математических моделей Пример 2. Запись ММ в виде формулы y(x 1, х2, …)= линейная функция у зависит от нескольких факторов х. Математическая модель у(х)=а+b ▪ x 1+ с ▪ х2 + … называется линейной и многофакторной. Ее график и зависимости аналогичны однофакторной модели 80 70 60 50 40 y(x) - прямая зависимость у от х 30 y(x) - обратная зависимость у от х 20 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 25

Примеры математических моделей Пример 3. Запись ММ в виде формулы y(x)=нелинейная функция у зависит от одного фактора х. Здесь может быть множество вариантов нелинейных однофакторных математических моделей: 3. 1. Парабола или ее часть Y=y(x)=a+b▪x 2 или y(x)=a+b▪х+с▪x 2 3. 2. Равносторонняя гипербола или ее часть - y(x)=a+b/x. 30 25 20 y(x) - парабола 15 y(x) - равностронняя гипербола 10 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 26

Примеры математических моделей 3. 3. Степенная – y(x)=a▪x b 3. 4. Показательная – y(x)=a▪b х 3. 5. Экспоненциальная – y(x)=е а+b▪х 3. 6. Полином n-ой степени y(x)=a+b▪х+с▪x 2 +…+z ▪xn и другие. 27

Математические модели определяются по экспериментальным или статистическим данным, обычно представляемым в виде таблиц, например Фактор Х Результат эксперимента или статистический результат У 1 8, 5 2 13, 6 3 18, 7 4 5 23, 8 28, 9 или Фактор Х 1 Х 2 … Фактор Хn Результат эксперимента или статистический результат У 24 1, 72 1, 6 22 2, 85 2, 0 3, 38 20 4, 50 2, 5 4, 394 18 6, 66 3, 0 5, 7122 16 9, 35 3, 7 7, 42586 14 12, 56 4, 5 9, 653618 28

При разработке регрессионных математических моделей проводят ранжирование факторов (X 1, X 2, …). В результате ранжирования определяется – будет ли фактор хi входить в модель или нет. Ранжирование факторов х 1. для линейных моделей можно производить по значению коэффициента корреляции ry, x. Чем ближе значение | ry, x | к 1, тем сильнее влияние фактора х на результат у. 2. по значимости фактора х для правильного функционирования объекта моделирования. Значимость устанавливается путем опроса экспертов в нефтегазодобывающей промышленности. 29

Пример 1. Ранжирование факторов х по коэффициенту корреляции Дана таблица статистических данных: Фактор Х 1 Фактор Х 2 Фактор Хn Результат эксперимента или статистический результат У 24 1, 7 1 2, 6 22 2, 8 2 3, 3 20 4, 5 2 4, 3 18 6, 6 3 5, 7 16 9, 3 3 7, 4 14 12, 5 4 9, 6 Для расчета коэффициентов корреляции используем функцию =КОРРЕЛ(все y; все xi) в EXCEL. Наиболее важным является фактор х2, затем х1, и наконец, xn. Коэффициенты корреляции ry, x 1 ry, x 2 ry, xn -0, 982 1, 000 0, 953 30

Пример 2. Ранжирование факторов х экспертами Факторы х Ранг х по важности, установленный экспертами Бальная оценка качества добываемой нефти 0, 02 Маршрут на транспортировку нефти и газа 0, 08 Величина запаса 0, 15 Инвестиции в проект 0, 15 Текущий объем добычи 0, 25 Площадь неразработанной территории 0, 35 31

Неизвестные а, b, c и т. п. математических моделей находятся с помощью метода наименьших квадратов (МНК). 32

Проверка регрессионных математических моделей Проверка правильности ММ заключается в разработке и проведении набора тестов, а также в: • визуальной проверке по графикам заданного у и смоделированного умм. • сравнении сумм заданного у и смоделированного умм. • Проверке, что (заданное у – смоделированное умм)2 min. • определении относительной погрешности аппроксимации EОТН (%) по формуле Относительная погрешность модели должны быть меньше 7% 33

Нахождение коэффициентов линейной ММ в EXCEL • • 1. Дана таблица с результатами наблюдений. Отранжировать таблицу по возрастанию Х. 2. Найти сумму Х и сумму У. 3. Найти Хср и Уср (средние значения) 4. Построить график У от Х и убедиться, что требуется определить ЛИНЕЙНУЮ модель (график должен напоминать прямую линию). 5. Найти значение коэффициента корреляции r. Y, X и убедиться, что У существенно зависит от Х. 6. Найти коэффициент b модели с помощью функции =ЛИНЕЙН(все У; все Х) 34

Нахождение коэффициентов линейной ММ в EXCEL 35

Нахождение коэффициентов линейной ММ в EXCEL 36

Нахождение коэффициентов линейной ММ в EXCEL • • 7. Найти коэффициент а модели по формуле =Уср Хср*b 8. Вычислить столбец чисел по модели Умм=a+b*X 9. Найти сумму чисел Умм. Эта сумма должна быть приблизительно равной сумму всех У. 10. Построить на одном поле графики У и Умм. Сравнить их. Графики должны быть расположены близко друг к другу, пересекаться или даже совпадать. 11. Найти среднюю относительную ошибку аппроксимации модели Е отн. Для этого вычислить столбец значений дробей = abs(У Умм)/У Найти сумму и среднее этих дробей. Если среднее значение дробей Еотн меньше 7, то признаем математическую модель хорошего качества. 37

Нахождение коэффициентов линейной ММ в EXCEL 38

Нахождение коэффициентов линейной ММ в EXCEL 39

Нахождение коэффициентов линейной ММ в EXCEL 40

Нахождение коэффициентов линейной ММ в EXCEL • Так как Еотн=0, 039 и существенно меньше 7, признаем модель хорошего качества, и выполняем с помощью модели прогноз количества трещин, которые возникнут при температуре 250 град. Для этого в формулу модели подставляем найденные коэффициенты а и b: 41

Метод наименьших квадратов (МНК) в матричной форме для определения коэффициентов регрессионных ММ где матрица независимых факторов х, в первый столбец этой матрицы обязательно записываются только 1. Состав остальных столбцов зависит от предполагаемой математической формулы модели. матрица результирующих значений процесса или работы производственной системы 42

Применение МНК в Math. CAD покажем на примере определения коэффициентов линейных математических моделей a+b x и c+d x 1+f x 2+k xn по данным из таблиц со слайда 28. Таким образом определили линейные математические модели 3, 4+5, 1 x и -4, 796+0, 176 x 1+0, 385 x 2+1, 585 xn 43

Применение МНК в Smath. Studio Как видно из примеров, результаты применения МНК не зависят от использованной программы. 44

Определение коэффициентов нелинейных однофакторных математических моделей Дана таблица с экспериментальными данными. 1. Отранжируем все данные в таблице по возрастанию х. 2. Строим график у. 3. По графику убеждаемся, что функция ММ y(x) нелинейная. 4. Высказываем предположение, какая это функция (парабола, гипербола, степенная и т. д. ) 5. Формируем матрицу Х в соответствии с выбранной нелинейной функцией. 6. Определяем коэффициенты модели. 7. Оцениваем точность модели. 45

Пример определения коэффициентов нелинейных однофакторных математических моделей в Excel методом линеаризации Результат эксперимента или Дана таблица Фактор Х статистический результат У 1 5, 5 2 16 3 33, 5 4 58 5 89, 5 6 128 График представляет собой часть параболы, т. е. в модель введем x 2 46

Пример определения коэффициентов нелинейных однофакторных математических моделей в Excel методом линеаризации Действия как в примерах на слайдах 34 … 41, вместо фактора Х в расчетах участвует Х^2 47

Пример определения коэффициентов нелинейных однофакторных математических моделей в Excel методом линеаризации 48

Пример определения коэффициентов нелинейных однофакторных математических моделей в Excel методом линеаризации В данном примере нелинейная модель – идеальна (графики У и Умм совпали) 49

Пример определения коэффициентов нелинейных однофакторных математических моделей в Excel • I. При линеаризации модели Умм=а+b/X • вместо Х во всех расчетах используется дробь 1/Х. • II. Для степенных моделей при линеаризации используются натуральные логарифмы ln: • 1) Y=a*b. X • Ln(Y)=Ln(a*b. X )=Ln(a)+Ln(b. X )=Ln(a)+X*Ln(b), • 2) Y=a*Xb • Ln(Y)=Ln(a*Xb )=Ln(a)+Ln(Xb )=Ln(a)+b*Ln(X), • и в расчетах участвуют столбцы чисел Ln(Y) и Ln(X) 50

Пример определения коэффициентов нелинейных однофакторных математических моделей в Math. CAD В Math. CAD формируем матрицу Х. Первый столбец в ней заполняем 1, второй столбец заполняем значениями x 2. Применяем МНК. Получаем коэффициенты модели. Результат – математическая модель y(x)=2+3, 5 x 2. 51

Пример проверки моделей в EXCEL Дана таблица: х | y ym | 100 / y 8, 5 0, 00 2 13, 6 0, 00 3 18, 7 0, 00 4 23, 8 0, 00 5 Смоделированное ym 1 Сумма Заданное y 28, 9 0, 00 93, 5 0, 00 Погрешность данной модели 0% (модель идеальна) 52

Фиктивные переменные в моделях • Переменные Х могут быть не только количественными (числами), но качественными. Например, диаметр скважины – величина числовая; расположение скважины (вертикально, наклонно, искривлено …) – параметр качественный. Качественные параметры преобразуют в числа – 0 или 1. • Например, Х=1 – вертикальное расположение; Х=0 – горизонтальное расположение. 53

Регрессионные математические модели могут быть объединены в системы, в которые включаются и функции цели моделирования 54

Аналитические математические модели в виде системы уравнений/неравенств Аналитические модели представляют собой явно выраженные зависимости выходных параметров от входных или внутренних параметров. Пример линеаризованной аналитической математической модели: ММ= где , - параметры моделируемого объекта; ограничения, накладываемые на функционирование объекта окружающей средой; - целевая функция моделирования. 55

Формулировка задачи линейного программирования (ЗЛП) Реализуются линеаризованные математические модели в виде систем с помощью линейного программирования, Симплекс-метода и др. : «Имеется некоторая величина, являющаяся линейной функцией ряда переменных, которые, в свою очередь, должны удовлетворять ограничениям, выраженным в виде системы линейных равенств или неравенств. Требуется отыскать такие неотрицательные значения переменных, удовлетворяющих системе ограничений, при которых величина, являющаяся их линейной функцией, принимала бы наименьшее или наибольшее значение. » 56

Пример решения задачи линейного программирования Постановка задачи. Найти минимум целевой функции: при указанных ограничениях: где х и y объем добычи нефти и газа; a и b трудоемкость добычи нефти и газа; (1) - ограничение по количеству резервуаров; (2) - ограничение по количеству используемого оборудования; (3) - ограничение по количеству используемых месторождений. 57

Решение задачи линейного программирования 1. Неравенства (1)…(3) преобразовывают в равенства: 2. Строят 3 графика по равенствам из п. 1 3. Заштриховывают область, соответствующую неравенствам (1… 3) 58

Решение задачи линейного программирования 4. Находят точки пересечения 3 -х графиков, их заносят в матрицы х и у, вычисляют значения G (x, y), определяют наименьшее значение целевой функции G (x, y) и соответствующие значения х и у. Область возможных решений x y G(x, y) 2 2 10 2, 333 1, 333 8, 665 3 1 9 1, 4 2, 4 10 1, 6 2, 35 10, 25 Ответ: G min=8, 665 при х=2, 333 и y=1, 333. 59

Рассмотрим еще примеры применения математических моделей различных форм и записей 60

Пример записи ММ в виде табличного алгоритма Имеется справочная информация: Параметр конструкции Интервалы параметров объекта, мм Решение 1 при Решение 2 при Решение 3 при Диаметр круглого сечения DZ max 12 18 24 Размер под ключ шестигранного сечения DZ max 9 14 20 Размер под ключ четырехгранного сечения DZ max 7 10 17 Материал – сталь. Диаметр наружной резьбы DR max 8 10 18 Материал – пластик. Диаметр наружной резьбы DR max 10 12 22 Длина LZ max 60 60 90 Требуется преобразовать ее в табличную форму ММ для решения на ЭВМ. 61

1. Составляется комплекс условий применимости (КУП) для принятия решения: 2. где М – материал (0 – сталь, 1 – другие материалы); ФП – форма (0 – круглый, 4 – четырехгранник, 6 – шестигранник). И теперь заполняется ТА ММ. № ФП= DZ≤ M= DR≤ LZ≤ Решение 1 0 12 0 8 60 1 2 0 18 0 10 60 2 3 0 24 0 18 90 3 4 6 9 1 10 60 1 5 6 14 1 12 60 2 6 6 20 1 22 90 3 7 4 7 0 8 60 1 8 4 10 0 10 60 2 9 4 17 0 18 90 3 62

Пример разработки ММ в аналитической форме и словесного алгоритма Постановка задачи: Кусок проволоки данной длины L согнуть в виде прямоугольника так, чтобы площадь прямоугольника была наибольшей. Этап 1. Анализ требований. На рисунке представлен прямоугольник и его стороны: а – длина прямоугольника, b – ширина прямоугольника. b a Периметр прямоугольника L=2 a+2 b Площадь прямоугольника S=a b, эта функция будет являться целевой функцией поиска значений параметров а и b. 63

Пример разработки ММ в аналитической форме и словесного алгоритма Этап 2. Разработка ММ. Математическая модель (ММ) для решения задачи имеет вид: Сформулируем словесный алгоритм: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Ввести значение L. Вычислить =L/1000. Назначить a= ; S max =0; a max =0; b max =0; . Вычислить b=(L 2 a)/2. Вычислить S= a b. Если S S max, то a max =a; b max =b; S max =S. Вычислить a=a+. Если a

ММ в виде блок-схемы 65

Этап 3. Проектирование и определение спецификаций. Спецификация параметров к алгоритму ММ Обозначение в алгоритме Обозначение в программе Ед. изм. Диапазон Статус параметра Тип № Наименование параметра 1 Длина проволоки l l м 1. . 300 Входной Не целый 2 Длина прямоугольника a a м 1. . 300 Расчетный Не целый 3 Ширина прямоугольника b b м 1. . 300 Расчетный Не целый 4 Площадь прямоугольника S S м² 1. . 90000 Расчетный Не целый 5 Шаг итераций d м 0, 0001. . 1 Расчетный Не целый 6 Длина прямоугольника с наибольшей площадью a max am м 1. . 300 Выходной Не целый 7 Длина прямоугольника с наибольшей площадью b max bm м 1. . 300 Выходной Не целый 8 Наибольшая площадь S max Sm м² 1. . 90000 Выходной Не целый 66

Этап 4. Расчет тестовых примеров. Тестовые примеры рассчитывают вручную и представляют в таблице: Номер те ст а L 1 Результат 120 a max b max S max 30 30 900 Этап 5. Реализация ММ. Например, в редакторе электронных таблиц EXCEL (приведена лишь часть электронной таблицы) № L Расчетные данные ММ a b S 1 120 3 3 57 171 9 120 3 27 33 891 10 120 3 30 30 900 11 120 3 33 27 891 Результат моделирования в EXCEL совпадает со значениями из тестового примера 67

Многокритериальные ММ В предыдущих примерах мы рассматривали одну целевую функцию моделирования, но в реальных задачах их может быть несколько. Такие задачи называют многокритериальными. Для реализации ММ на ЭВМ требуется множество целевых функции свести к одной формуле. Например, аддитивный критерий объединяет (свертывает) несколько целевых функций в одну: где i важность i -ой целевой функции для заказчика моделирования, выраженная в весовых коэффициентах; m количество целевых функций. Недостатки аддитивного критерия субъективный подход к выбору весовых коэффициентов и все целевые функции должны стремиться либо к min, либо к max. В случае, когда одни целевые функции стремятся к min, другие - к max, применяется минимаксный метод. 68

Комплексная целевая функция моделирования где m – количество альтернативных вариантов решения; Pi, j текущее значение i-го параметра для jго варианта; i весовые коэффициенты значимости; max(Pi, j) или min(Pi, j) наилучшее значение i-го параметра, наблюдаемое у множества анализируемых альтернатив; k – количество параметров проектируемого объекта, входящих в комплексную оценку. Каждый из параметров «стремится» к своему оптимальному значению opt. Решение сводится к поиску наибольшего значения целевой функции F из m вариантов. 69

Пример использования комплексной оценки Задача: Требуется оценить несколько проектов по нескольким параметрам Наименование Pi, j, ед. изм. х100000 j=1 j=2 j=3 j=4 j=5 i opt Значения opt Величина запаса, м 3 (i=1) 0, 76 0, 78 0, 75 0, 81 0, 8 0, 15 max 0, 81 Площадь неразработанной территории, м 2 (i=2) 0, 23 0, 32 0, 25 0, 31 0, 35 min 0, 23 Инвестиции в проект, руб. (i=3) 11 10 11 11 12 0, 15 max 12 Текущий объем добычи, м 3 (i=4) 72 80 85 75 82 0, 25 max 85 Маршрут на транспортировку нефти и газа, км (i =5) 270 250 300 290 260 0, 08 min 250 Бальная оценка качества добываемой нефти (i=6) 1, 2 1, 12 1, 25 1, 23 0, 02 max 1, 25 Общие удельные затраты C j , руб. 46 45 40 50 45 _ - Пример расчета эффективности 1 варианта W 1= 0, 15 0, 76/0, 81+0, 35 0, 23/0, 23+0, 15 11/12+0, 25 72/85+0, 08 250/270+0, 02 1, 2/1, 25 =0, 9332. Результаты расчетов эффективности W и целевых функций F остальных вариантов занесем в таблицу. 70

Пример использования комплексной оценки Результаты расчета Наименование 1 2 3 4 5 Значения эффективности W 0, 93327952 0, 8542211 0, 9350556 0, 8645871 0, 8956051 Значения целевой функции F 0, 02028869 0, 0189827 0, 0233764 0, 0172917 0, 0199023 Для наглядности представления результатов моделирования строится диаграмма значений комплексной целевой функции по вариантам Вывод: лучший – 3 -й вариант, так как значение целевой функции здесь достигает максимума. 71

Спасибо за внимание Следующие занятия будут практическими. 1. Перед первым практическим занятием узнайте свой № варианта по списку фамилий в журнале. 2. Скачайте файл «Перечень тем и заданий самостоятельной работы по ММ в расчетах на ЭВМ 2015» 72