Математические модели систем управления Математическая модель объекта-это его

Математические модели систем управления Математическая модель объекта-это его гомоморфное отображение в виде совокупности управлений, неравенств, логических отношений, графиков, условный образ объекта, созданный для упрощения его исследования, получения о нём новых знаний, анализа и оценки принимаемых решений в конкретных, возможных ситуациях. Математические модели, используем в экономике, подразделяют: по особенностям моделируемого объекта-на макро- и микроэкономические; по целям моделирования и используемому инструментарию- на теоретические и прикладные, оптимизационные и равновесные, статические и динамические, непрерывные и стохастические. Макроэкономические модели описывают экономику страны как единое целое связывая между собой укрупнённые материальные и финансовые показатели. Микроэкономические модели описывают взаимодействие структурных и функциональных составляющих экономики либо их автономное поведение в неустойчивой или стабильной рыночной среде.

Теоретические модели отображают общие свойства экономики и её компонентов с дедукцией выводов из форматированных предпосылок. Прикладные модели обеспечивают возможность оценки параметров функционирования конкретных технико-экономических объектов и обоснования выводов для принятия управленческих решений. Равновесные модели описывают поведение субъектов хозяйствования как в стабильных устойчивых состояниях, так и в условиях нерыночной экономики, где неравновесие по одним параметрам компенсируется другими факторами. Оптимизационные модели связаны в основном с микроуровнем, на котором результатом рационального выбора поведения становится некоторое состояние равновесия. Статические модели описывают состояние экономического объекта в конкретный текущий момент или период времени; динамические модели включают взаимосвязи переменных во времени, описывая силы и взаимодействия процессов в экономике.

Детерминированные модели предполагают жесткие функциональные связи между переменными модели, а стохастические модели допускают наличие случайных воздействий на исследуемые показатели, используя в качестве инструментария методы теории вероятностей и математической статистики. Целью математического моделирования управляющих систем является использование методов математики для наиболее эффективного решения задач в различных сферах деятельности, с использованием, как правило, современной вычислительной техники. Процесс решения задач осуществляется в несколько этапов: Содержательная постановка задачи. Вначале нужно осознать задачу, четко сформулировать её. При этом определяются также объекты, которые относятся к решаемой задаче, а также ситуация , которую нужно реализовать в результате её решения. Для того, чтобы задачу можно было описать количественно и использовать при её решении вычислительную технику, нужно провести качественный и количественный анализ объектов и ситуаций, имеющих к ней отношение.

При этом сложные объекты разбиваются на части, определяются связи этих элементов, их свойства, количественные и качественные значения свойств, количественные и логические соотношения между ними, выражаемые в виде уравнений, неравенств и т. п. Это-этап системного решения задачи, в результате которого объект оказывается представленным в виде системы. Следующим этапом является математическая постановка задачи, в процессе которой осуществляется построение математической модели объекта и определение методов получения решения задачи. Это-этап системного синтеза (математической постановки) задачи. Следует заметить, что на этом этапе может оказаться, что ранее проведенный системный анализ привел к такому набору элементов, свойств и соотношений, для которого нет приемлемого метода решения задачи, в результате приходится возвращаться к этапу системного анализа. Как правило, решаемые в экономической практике задачи стандартизованы, системный анализ производится в расчете на известную математическую модель и алгоритм ее решения, проблема состоит лишь в выборе подходящего метода.

Следующим этапом является разработка программы решения задачи на ЭВМ. Для сложных объектов, состоящих из большого числа элементов, обладающих большим числом свойств, может потребоваться составление базы данных и средств работы с ней, методов извлечения данных, нужных для расчетов. Для стандартных задач осуществляется не разработка, а выбор подходящего пакета прикладных программ и системы управления базами данных. На заключительном этапе производится эксплуатация модели и получение результатов. Системный анализ позволяет учесть и использовать в управлении всю имеющуюся информацию об управляемом объекте, согласовать принимаемые решения с точки зрения объективного, а не субъективного, критерия эффективности. ЭВМ не только позволяет учесть всю информацию, но и избавляет управленца от ненужной ему информации, а всю нужную пускает в обход человека, представляя ему только самую обобщенную информацию, квинтэссенцию.

Процесс математического моделирования происходит в четыре этапа: I этап: Формулирование законов, связывающих основные объекты модели, т.е. запись в виде математических терминов сформулированных качественных представлений о связях между объектами модели. II этап: Исследование математических задач, к которым приводят математические модели. Основной вопрос - решение прямой задачи, т.е. получение в результате анализа модели выходных данных (теоретических следствий) для дальнейшего их сопоставления с результатами наблюдений изучаемых явлений. III этап: Корректировка принятой гипотетической модели согласно критерию практики, т.е. выяснение вопроса о том, согласуются ли результаты наблюдений с теоретическими следствиями модели в пределах точности наблюдений.

Если модель была вполне определена - все параметры ее были даны, - то определение уклонений теоретических следствий от наблюдений дает решения прямой задачи с последующей оценкой уклонений. Если уклонения выходят за пределы точности наблюдений, то модель не может быть принята. Часто при построении модели некоторые её характеристики остаются не определёнными. Применение критерия практики к оценке математической модели позволяет делать вывод о правильности положений, лежащих в основе подлежащей изучению (гипотетической) модели. IV этап: Последующий анализ модели в связи с накоплением данных об изученных явлениях и модернизация модели.

Функции, дифференциальное исчисление в математическом моделировании Понятие функции или функциональной зависимости – основное математическое понятие, с помощью которого моделируются взаимосвязи между реальными величинами, качественные и количественные соотношения между технико – экономическими характеристиками и показателями. Функция y=f(x) считается заданной,, если известна закономерность, по которому каждому значению x из множества А соответствует одно вполне определённое значение y из некоторого числового множества В. В экономике часто требуется найти наилучшее в том или ином смысле, или оптимальное, значение того или иного показателя. Нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума функции от одной или нескольких переменных. Необходимым условием экстремума функции y=f(x) является равенство нулю её первой производной.

При исследовании на экстремум функций нескольких переменных используются методы дифференциального исчисления, когда решаемые задачи включают не только минимизируемую функцию, но и ограничения. К таким задачам относятся задачи математического программирования, для решения которых разработаны специальные методы, опирающиеся на дифференциальное исчисление, и методы теории исчисления операций и предельного анализа. Наряду с этим часто используются понятия средней величины. При этом часто требуется определить, на какую величину улучшится результат, если будут увеличены затраты или, наоборот, насколько уменьшится результат, если затраты сократятся, то есть необходимо определить предел отношения приростов результатов и затрат с нахождением предельного эффекта. Для решения подобных задач необходимо применение методов дифференциального исчисления – нахождение производной для функции одной переменной и частных производных для функции нескольких переменных.

В экономических приложениях математики широко используются линейные и нелинейные функции двух и n переменных. Упорядоченная пара первых частных производных вида [df (x1, x2) /d x1, df (x1, x2) /d x2] функции y=f(x1, x2) двух переменных x1 x2 обозначается символом grad f(x1 x2) и называется градиентом функции этой функции f(x1 x2) двух переменных. Градиент grad f(x10 x20) функции f(x1 x2) в точке А(x10 x20) показывает направление самого быстрого роста функции f(x1 x2) в точке А(x10 x20) . Точка В(x10 x20) называется критической для функции y(x1, x2) если координаты x10 и x20 этой точки удовлетворяют системе уравнений df (x1, x2) /d x1=0, df (x1, x2) /d x2=0. Поэтому точки локального экстремума следует искать только среди критических точек этой функции. Однако критическая точка не обязательно должна являться точкой экстремума. Второй частной производной функции y=f(x1, x2) двух переменных называется частная производная от первой частной производной.

С появлением ЭВМ метод математического моделирования занял ведущее место среди других методов исследования. Особенно важную роль этот метод играет в современной экономической науке. Изучение и прогнозирование какого-либо экономического явления методом математического моделирования позволяет проектировать новые технические средства, прогнозировать воздействие на данное явление тех или иных факторов, планировать эти явления даже при существовании нестабильной экономической ситуации. Математические методы, основанные на математическом моделировании, все шире применяются в промышленно-экономических исследованиях, в частности, в операционных исследованиях.