Математические модели Переменные состояния фазовые координаты управляемого процесса

Математические модели. Переменные состояния (фазовые координаты) управляемого процесса

Теория оптимальных процессов имеет дело с математическими моделями (ММ) технических или экономических задач оптимизации процесса управления физическими системами. ММ есть достаточно полная сводка функциональных соотношений, описывающих основные свойства физических объектов, процессы их функционирования и управления в рамках выбранной степени приближения и детализации и отражающая все существенные требования к конкретным техническим характеристикам системы. Математическая модель задачи оптимизации процесса управления состоит из ряда частных математических моделей, включая ММ управляемого процесса, математическая модель ограничений на величины управляющих воздействий и на возможное расположение на траектории, математическое описание показателя эффективности (критерия качества) процесса управления и т. д. Математическая задача оптимизации процесса управления считается полностью определенной (корректно поставленной), если точно описаны все элементы ММ

ММ управляемого процесса основывается на понятии переменных состояния (фазовых координат), которые вводятся в задачу следующим образом. Пусть управляемая система S может быть идеализирована настолько, что в каждый фиксированный момент времени наблюдения t = t′ на интервале T = {t, t 0 ≤ t 1}, t′∈T ее свойства могут быть описаны конечным множеством действительных чисел x 1(t′), x 2 (t′), . . . , xn (t′) , которые рассматриваются как компоненты некоторого вектора x(t’)= (x 1(t’), x 2 (t’), . . . , xn (t’))T. При изменении момента времени наблюдения, вообще говоря, изменяется и вектор х. Это изменение может быть вызвано приложенными к объекту воздействиями. Если и при t > t′ свойства системы по-прежнему полностью описываются вектором x(t’= (x 1(t), x 2 (t), . . . , xn (t’)T. и если n – наименьшее количество величин xi (t′) , с помощью которых оказывается возможным предсказать значение x(t) при всех t > t′ по известным значениям x(t′) и известным на Т значениям приложенных воздействий, то вектор x(t) называется вектором состояния (детерминированной) системы S в момент t (или вектором фазовых координат). Величины xi называются компонентами вектора состояния, или фазовыми координатами. Множество всех возможных состояний T x = (x 1(t), K, xn (t)) в различные моменты времени t ∈T образуют n-мерное пространство состояний Xn ⊂ Rn (n – мерное фазовое пространство), точка xn∈ Xn является изображающей точкой этого пространства.

Этапы построения и элементы математической модели задачи оптимизации процесса управления для детерминированных систем с сосредоточенными параметрами и непрерывным временем Этап Содержание этапа I Неформальное описание задачи и ее анализ; выбор и обоснование степени точности и детализации описания системы физическими теориями. Физическая постановка задачи Элементы ММ Формулировка рассмотренного случая или узкой задачи исследования в содержательных терминах. Установление физических законов, которым подчиняются различные объекты задач Примечания Подготавливают данные, на основе которых в дальнейшем строится ММ и формулируются специфические допущения, позволяющие использовать математические допущения

Этап II Содержание этапа Формирование ММ. Математическая постановка задачи Выбор и перечисление переменных состояния (фазовых координат), области их определения и интервала времени, на котором целесообразно рассматривать управляемый процесс. Выбор системы (или систем) координат, в которых целесообразно рассматривать процессы движения и управления Элементы ММ Вектор состояния (фазовых координат) X=( x 1, x 2, x 3, … xn) T x∈ X ⊂ Rn , dim( x) = n размерность фазового пространства. Область определения x: Xn, отрезок времени T = {t, t 0 ≤ t 1} Примечания На базе I этапа Выбор фазовых координат для конкретной задачи не является единственным (например, он зависит от выбора системы координат)

Этап II Содержание этапа Установление общих законов, которым подчиняется эволюция состояния рассматриваемой системы. Оценка области их применимости (области определения). Выбор и перечисление управляющих переменных к области их определения, а также управляющих параметров и возмущений. Анализ технических ограничений на значение управляющих воздействий, фазовые координаты и управляющие параметры. Элементы ММ ДУ движения f=(f 1, f 2, …. fn)T область определения f: t ∈T, x∈ X n , y∈Y m 1. Управляющие переменные u = (u 1 , u 2 , . . . , um)T , Управляющие (проектные) параметры a = (a 1, a 2 , . . . , an ) возмущение Ws = (w 1 , w 2, …. ws)T Ограничения типа равенств Ограничения типа неравенств. Примечания Здесь y – вектор пока неопределенных элементов в правой части уравнений движения. Вектор неопределенных элементов y либо становится управлением u, либо известной функцией (t, x), либо управляющим параметром а. В стохастических задачах w – случайные функции. Иногда ограничения представляют в виде: u∈Um ; x∈ X n ; a∈ Ar , где U m, X n , Ar – замкнутые ограничения области

Этап II Содержание этапа Элементы ММ Примечания Выбор функциональных классов для управлений и траекторий. Определение допустимых траекторий, управлений и управляющих параметров. Обычно u(t) – кусочнонепрерывные ограничения функции времени t, x(t) – непрерывные кусочно-гладкие функции времени. Формулировка начальных и Условие типа , граничных условий (цели g (t 0, t 1, x(t 0), x(t 1), a)= эволюции системы). = (g 1, g 2, . . . gl)T =0 l≤ 2 n+2+r Формируются также свободные граничные условия

Этап Содержание этапа Выбор показателя оценки качества управления, направленного на достижение поставленной цели. Элементы ММ Различного рода функционалы J[u, a] , определение на решениях системы max J[u] Выбор вычислительного оператора (max, min, max min J[u] min, min max, …), применение min max J[u] которого к показателю качества является min max J[u, w] математическим выражением технического понимания оптимальности системы. Фиксация аргументов этого оператора (u, a, t и т. д. ). Формулировка задач оптимизации Примечания

Этап III Содержание этапа Корректировка технической постановки задачи. Элементы ММ Число переменных, вид уравнений, критерий, граничные условия и т. д. Примечания Аналитические трудности, изучение сформулированной модели могут заставить пойти на дальнейшие упрощения. Эквивалент Переход к новым фазовым В частности, преобразования ММ для и (или) управляющим использование методов удобства изменения переменным, граничным штрафных функций, аналитических численных условиям и т. д. редукции к более простым методов решения задачам и т. д. оптимизации. Изменение ММ для Производится на базе удобства вычислений. содержательной (этап I) и Формулировка понятий математической (этап II) «практически формулировок задач оптимальной системы» , «практической точности получения результата» в конкретной задаче

Система S называется управляемой на отрезке (одно из определений управляемости) [t 0 , t 1] , если ее поведение при t > t 0 зависит только от начального состояния (t = t 0 , x 0 = x(t 0 )) , будущего поведения некоторого переменного вектора u (входа системы) u = (u 1, …. , um )T , m ≥ 1 называемого управляющим вектором (или просто управлением) u, и постоянного вектора a : a= (a 1, …. , a r)T , r ≥ 0 называемого вектором управляющих (проектных) параметров. Вектор u принимает значение из некоторого множества U m m-мерного пространства Rm с координатами u 1, u 2 , . . . , um. Это множество может быть всем пространством Rm или его частью U m ⊂ Rm. Um – чаще всего компактное множество пространства Rm. Множество Um m называется множеством допустимых значений управления. Постоянный вектор a обычно принадлежит некоторому замкнутому множеству Ar ⊂ Rr.

Изменение состояния (эволюция) системы S на временном интервале T = {t, t 0 ≤ t 1} часто с хорошей степенью приближения описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка: (1) где x = (x 1, x 2 , . . . , xn ) T – вектор состояния; u = (u 1, u 2 , . . . , um ) T– управляющий вектор; a = (a 1, a 2 , . . . , ar ) T – вектор проектных параметров. Система (1) образует существенную часть математической модели динамической системы S. В ММ, описываемой системой ДУ, формальным признаком переменной состояния x является наличие ее производной в левой части системы (1). Управляющая переменная u входит только в правую часть системы (1) и не встречается под знаком производной (это формальный признак управляющей переменной).

Предполагается, что вектор-функция f(t, x, u, a) определена для любых значений x∈ Xn , u∈Um, a∈ Ar , t ∈T , непрерывна по совокупности переменных t, x, u, a и непрерывно дифференцируема по x, a. Хотя гладкость является достаточно жестким требованием и может быть заменена требованием измеримости и ограниченности. Так как поведение вектора u может быть произвольным (за исключением условия u∈Um ) и, кроме того, можно произвольно выбрать постоянный вектор a∈ Ar , то система уравнений (1) определяет управляемый процесс. Ход управляемого процесса будет определен на некотором интервале t 0 ≤ t 1 , если на этом интервале вектор u задан в одной из двух форм: u = u(t) = (u 1(t), u 2 (t), . . . , um (t)) T u = v(x, t) = (v 1(x, t), v 2 (x, t), . . . , vm (x, t)) T Вектор-функцию u(t) называют программным (временным) управлением, а вектор-функцию v(x, t) – координатным управлением или законом управления. Закон управления физически выражает известный принцип обратной связи, согласно которому величина управляющего воздействия определяется на основании измерения текущего состояния системы x и, быть может, момента времени t. Каждому выбору векторов управляющих параметров a и управления u и каждому начальному состоянию (t 0 , x 0 ) соответствует по (1) временная последовательность состояний x(t, x 0 , t 0 ) , которая называется фазовой траекторией (поведением, эволюцией, движением) системы S. Пара вектор-функций {u(t), x(t)} или {v(x, t), x(t)} называется процессом управления или режимом.

Функционал. Критерий качества управления Величина J[u(t)] называется функционалом функции u(t) на отрезке t 0 ≤ t 1 , если каждой функции u(t), t ∈[t 0 , t 1] , принадлежащей некоторому классу функций, поставлено в соответствие определенное число Таким образом, функционал J[u(t)] – это отображение, в котором роль независимого переменного (функционального аргумента) играет функция u(t). При этом J[u(t)] зависит от совокупности всех значений, принимаемых функцией u(t) на отрезке [t 0 , t 1] , и может рассматриваться как функция бесконечного числа независимых переменных. Для каждого фиксированного конечного момента времени t 1 = t 1′ состояние x(t 1′) системы S, движущейся из начального состояния (t 0 , x 0 ) в соответствии с уравнением (1), является одновременно векторным функционалом (т. е. вектором, компонентами которого являются функционалы) от управления u(t) и векторфункцией от вектора a и вектора начальных условий x 0 (t 0 ). Критерии качества процессов управления являются функционалами.