МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ Схема

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ

Схема вычислительного эксперимента В настоящее время выработалась технология исследования сложных проблем, основанная на построении и анализе с помощью ЭВМ математических моделей изучаемого объекта. Такой метод исследования называют вычислительным экспериментом.

Этапы построения и анализа с помощью ЭВМ математической модели объекта

При выборе физической и математической модели пренебрегают факторами, не оказывающими существенного влияния на ход изучаемого процесса. Большинство реальных процессов описывается нелинейными уравнениями и лишь в первом приближении (при малых значениях параметров, малых отклонениях от равновесия и др. ) эти уравнения можно заменить линейными.

Основу схемы вычислительного эксперимента составляет триада: модель — метод (алгоритм) — программа. Метод математического моделирования и вычислительный эксперимент соединяют в себе преимущества традиционных теоретических и экспериментальных методов исследования.

Общие положения Математическая модель – это описание исследуемого явления с помощью математических символов и операций над ними. Например, наиболее часто встречающейся моделью является понятие функциональной зависимости y = f(x). Для нее могут быть поставлены различные задачи, например: – найти max f(x); – найти min f(x). Для того, чтобы Решить задачу – нужно указать метод со строгой последовательностью действий для получения из известных исходных данных требуемого результата.

Под численным методом здесь понимается такая интерпретация математической модели ( «дискретная модель» ), которая доступна для реализации на ЭВМ. В настоящее время помимо численных методов имеются также методы, которые позволяют проводить на ЭВМ аналитические выкладки.

Численные методы предполагают разработку вычислительного алгоритма, т. е. конечной, строгой последовательности арифметических и логических действий, обеспечивающих получение решения с заданной контролируемой погрешностью. Численные методы решения математических задач можно разделить на точные и приближенные. Точный метод – это обычно модель в виде формулы или конечного вычислительного алгоритма для ее расчетов, которые позволяют получить точное решение. Приближенный – это метод, позволяющий за счет некоторых допущений свести решение исходной задачи к более простой задаче, которая имеет точное решение.

Вычислительный алгоритм Построение математической модели связано с упрощением исходного явления, недостаточно точным заданием коэффициентов уравнения и других входных данных. По отношению к численному методу, реализующему данную математическую модель, указанные погрешности являются неустранимыми.

При переходе от математической модели к численному методу возникают погрешности, называемые погрешностями метода. Наиболее типичными погрешностями метода являются погрешность дискретизации и погрешность округления.

Построение численного метода для заданной математической модели разбивается на два этапа: а) формулирование дискретной задачи; б) разработка вычислительного алгоритма, позволяющего отыскать решение дискретной задачи.

Если исходная математическая задача сформулирована в виде системы дифференциальных уравнений, то для численного решения необходимо заменить ее системой конечного, может быть, очень большого числа линейных или разностных алгебраических уравнений. В этом случае говорят, что проведена дискретизация исходной математической задачи.

Дискретная модель представляет собой систему большого числа алгебраических уравнений. Входные данные этой системы, а именно коэффициенты и правые части, задаются в ЭВМ с округлением. Результирующая погрешность называется погрешностью округления (иногда ее называют вычислительной погрешностью).

Погрешность вычислений Погрешность обычно оценивают числом, характеризующим близость между точным приближенным значением некоторой величины. и

Алгоритм называется устойчивым, если в процессе его работы вычислительные погрешности возрастают незначительно, и неустойчивым — в противоположном случае. Следует различать погрешности модели, метода и вычислительную.

Нужно стремиться, чтобы все указанные погрешности имели один и тот же порядок. Например, нецелесообразно пользоваться разностными схемами, имеющими точность , если коэффициенты исходных уравнений задаются с точностью 10 -6, если коэффициенты исходных уравнений задаются с точностью 10 -2.

Источники погрешностей Есть четыре основных источника погрешности результата, о которых следует помнить при выполнении расчетов. 1. Неточность математической модели. Любая модель является определенной идеализацией рассматриваемого физического явления и описывает лишь основные факторы, существенные при решении конкретной научно-технической задачи. 2. Погрешность исходных данных. Исходные данные обычно получаются из измерений, которые всегда имеют некоторую погрешность, обусловленную точностью измерений. В зависимости от того, как ошибки исходных данных отражаются на результате, задачи разделяют на два класса: корректные и некорректные.

Задача называется корректной, если малые ошибки исходных данных приводят к пропорционально малым ошибкам решения. Наоборот, если малые ошибки исходных данных приводят к большим ошибкам в результатах, задача называется некорректной. 3. Погрешность метода. При построении вычислительного алгоритма обычно точное решение представляется в виде бесконечного предела последовательности арифметических и логических действий. При ограничении конечным числом вычислений вносится погрешность, контролируемая некоторыми параметрами метода. Например, чтобы вычислить значение функции y = e x при x > 0 предлагается в качестве вычислительного метода M(x) взять n первых членов ряда e x ≈ M(x) = 1 – x + x 2/2! … + (– 1)n xn/ n!

Параметром метода здесь является n, погрешность метода при этом оценивается последним отброшенным членом n = | M(x) – e x | < x(n+1) / (n+1)! (остаточная погрешность) и при n , n 0. 4. Ошибки округлений. Округление – замена одного числа на другое, содержащее меньшее количество цифр. Все расчеты на ПК производятся с конечным числом значащих цифр (после десятичной точки). Поэтому при вычислении, например, 1. /3. = 0. 3333. . . , если округление производится в седьмом знаке, то вносится ошибка 10 -8. Когда вычислений много, то такие ошибки могут накапливаться или, наоборот, компенсироваться (положительные и отрицательные). В зависимости от реакции на погрешность округлений, вычислительные методы разделяются на устойчивые и неустойчивые.

Метод устойчив, если в процессе вычислений ошибки округлений не накапливаются, в противном случае метод неустойчив. Неустойчивость обычно устанавливается путем проведения прямых расчетов с различными значениями параметра метода. При увеличении количества вычислений по неустойчивому методу ошибки быстро нарастают, что приводит к переполнению памяти.

Требования к вычислительным методам Можно выделить две группы требований к численным методам. Первая группа связана с адекватностью дискретной модели исходной математической задаче, и вторая группа – с реализуемостью численного метода на ЭВМ.

К первой группе относятся такие требования, как сходимость численного метода, выполнение дискретных аналогов законов сохранения, качественно правильное поведение решения дискретной задачи.

Предположим, что дискретная модель математической задачи представляет собой систему большого, но конечного числа алгебраических уравнений. Говорят, что численный метод сходится, если при неограниченном увеличении числа уравнений решение дискретной задачи стремится к решению исходной задачи.

Схемы, удовлетворяющие этому требованию, называются консервативными. Сходимость численного метода тесно связана с его корректностью. Предположим, исходная математическая задача поставлена корректно, т. е. ее решение существует, единственно и непрерывно зависит от входных данных.

В понятие корректности численного метода включаются свойства однозначной разрешимости соответствующей системы уравнений и ее устойчивости по входным данным. Под устойчивостью понимается непрерывная зависимость решения от входных данных, равномерная относительно числа уравнений, составляющих дискретную модель.

Вторая группа требований, предъявляемых к численным методам, связана с возможностью реализации данной дискретной модели на данной ЭВМ, т. е. с возможностью получить на ЭВМ решение соответствующей системы алгебраических уравнений за приемлемое время.

Итерационные методы решения задач Символически решаемую задачу можно записать в виде А(X) = b,

Итерационные методы основаны на построении сходящейся к точному решению X* бесконечной рекуррентной последовательности X(0), X(1), X(2), …, X(k) X* (при k ) элементов той же природы, что и X* (числа, векторы, функции). Последовательность называется рекуррентной, если каждый следующий ее член выражается через предыдущий по некоторому известному правилу: X(1)= (X(0)); X(2)= (X(1)); …, X(k)= (X(k 1)); … (1) где: X(0) – значение решения на нулевом шаге (начальное приближение), которое известно или задается.

Расчеты производят до тех выполнится, как правило, условие: пор, пока не | X(k) – X (k 1) | , где – некоторая заданная малая величина – точность решения. В качестве искомого решения берут последний член последовательности X(k), при котором выполнилось указанное неравенство. У рекуррентной последовательности есть понятие по-рядка (m) – упрощенно это количество предыдущих элеме-нтов, которые нужно использовать для поиска решения на следующем итерационном шаге.

Так, итерационный процесс (1) является одношаговым (m = 1). А процесс, в котором для вычисления каждого следующего значения используются два предыдущих, например: X(k) = (X(k 1) , X(k 2)); …является двух шаговым итерационным процессом (m = 2). Итерационный процесс порядка m: X(k) = (X(k 1) , X(k 2), …, X(k m) ); …

ЛИТЕРАТУРА 1. В. Н. Тарасов, Н. Ф. Бахарева Численные методы. Теория, алгоритмы, программы. – Оренбург: ИПК ОГУ, 2003.