Математические модели 2 Статистические и неопределенные модели

Математические модели 2 Статистические и неопределенные модели

Стохастические задачи исследования операций Это задачи, решаемые при воздействии случайных факторов ТМО (теория массового обслуживания) Теория надёжности Задачи динамики среднего На самом деле все стохастические задачи ИСО являются единым классом задач.

Уравнения Колмогорова (на примере исправности системы) Пример: необходимо определить вероятности состояний системы g 12 S 1 g 21 g 31 S 2 g 23 S 3 gij - вероятности перехода из состояния в состояние за интервал Δt. За (малое) время ∆t может произойти одно событие. P 1(t+ ∆ t )=P 1(t)(1 -g 12)+P 2 g 12+P 3(t) g 3 P 2(t+ ∆ t )=P 2(t)(1 -g 23)+P 1(t) g 12 P 3(t+ ∆ t )=P 3(t)(1 -g 31)+P 2(t) g 23 gij= где ij ∆t, ij – интенсивность потока(среднее количество событий потока в единицу времени). (Подстановка gij, t→∞, разрешение алгебраической системы уравнений)

Основные определения и понятия ТМО Поток событий – процесс, в котором повторяются однородные события (случайным является время между событиями). Особую роль среди всех потоков играет Пуассоновский простейший поток. Ординарный поток – это поток, для которого вероятность появления более одного события за интервал времени ∆ t есть o(Р(1)) при ∆t 0. (Пример: фотофиниш. Т. о. фактически нет событий происходящих одновременно). Стационарный поток – это поток, для которого появление k событий за интервал ∆ t зависит только от длины этого интервала и не зависит от момента начала этого интервала. Поток без последействия – это поток, для которого вероятность появления k событий за интервал ∆ t не зависит от количества событий потоков за время, предшествующее данному интервалу.

Системы массового обслуживания СМО – это любая система, в которой поток требований, сталкивается с ограниченными ресурсами для их выполнения (например, конвейер, дорога, завод и т. п. ). Все методы ТМО направлены на выбор оптимальных параметров СМО (при учёте случайных факторов). Происходит исследование: как параметры СМО влияют на показатели её работы. В основе лежит поток случайных событий!

Описание СМО А/В/N/M/K, где А - распределение времени входного потока заявок; В - распределение времени обслуживания заявок; N - количество обслуживающих приборов; М - количество мест в очереди; К - количество источников заявок. Типовые обозначения (стоят в формуле вместо А и В): • М – Пуассоновское распределение (показательное распределение времени между событиями потока; • Er – распределение Эрланга порядка r; • Hr – гипергеометрическое распределение порядка r; • D - детерминированное распределение; • G - распределение произвольного вида.

Система М/М/1

Система М/М/1 (продолжение)

Основные характеристики СМО • Абсолютная пропускная способность системы, т. е. количество заявок, обслуживаемых системой в единицу времени; • Относительная пропускная способность или средняя доля обслуживаемых заявок (отношение количества заявок, обслуженных за интервал времени, к количеству заявок, поступивших в СМО за тот же интервал времени); • Среднее число занятых обслуживающих приборов; • Среднее относительное время простоя системы в целом и отдельного прибора; • Среднее число заявок в очереди; • Среднее число заявок в системе (на обслуживании и в очереди); • Среднее время пребывания заявки в системе (в очереди и на обслуживании); • Среднее время ожидание заявкой обслуживания.

Варианты СМО • Нетерпеливые заявки • Системы с групповым приходом (обслуживанием) заявок • Неклассические СМО – Метод этапов – Метод вложенных цепей Маркова – Диффузионные приближения – Метод статистических испытаний • Приоритетные СМО • Сети массового обслуживания

Теория надёжности и задачи динамики среднего (краткий обзор) В теории надёжности важную роль играет распределение времени до первого отказа. В теории надёжности исследуется нестационарная часть процесса (в отличии от ТМО). ТН занимается такими задачами как, например, обеспечить надёжность работы устройства, состоящего из множества деталей. Возникает вопрос: что лучше, увеличить надёжность элементов системы или ввести резервирование элементов. ТМО и ТН в современных условиях практически сливаются. В методе динамики средних исследуются тренды поведения систем, состоящих из большого количества однотипных элементов (через использование среднего значения для численности состояний системы). Фактически – системная динамика.

Элементы теории принятия решений • С ростом размеров и сложности экономических, технических и других систем увеличивается важность обоснованности решения, неправильные решения становятся слишком опасными и «дорогими» • Чтобы получить правильное решение требуется правильно организовать процесс принятия решения • Многие решения можно получать только с помощью ВТ, для того, чтобы ВТ обеспечивала получение правильных решений ее нужно «научить» • ТПР занимается «разумным» выбором наилучшей из имеющихся альтернатив, а также формированием процедур разумного выбора

Классы задач теории принятия решений Задачи ТПР С полной информацией В условиях риска В условиях неопределенности

Задачи ТПР с полной информацией 1. Детерминированные оптимизационные задачи (рассмотрены ранее) 2. Метод анализа иерархий Суть метода: Для разных показателей эффективности решения (в том числе идей, чувств, эмоций) определяются некоторые количественные характеристики, обеспечивающие числовую шкалу предпочтений для возможных альтернативных решений.

Пример задачи ТПР с полной информацией Выбор работы Критерии: карьерный рост (0, 83), близость к дому (0, 17) 3 предложения (на примерно равные позиции) Сделана оценка Место работы Критерии А В С Перспективы 54, 5% (3) 27, 3% (1, 5) 18, 2% (1) Расположение 11, 1% (1) 33, 3% (3) 55, 6% (5)

Пример задачи ТПР с полной информацией (продолжение)

Принятие решений в условиях риска • При принятии решений в условиях риска стоимости альтернативных решений описываются не единственными значениями (как в случае детерминированной задачи), а вероятностными распределениями • Принимаемое решение основывается на использовании критерия ожидаемого (среднего) значения, в соответствии с которым альтернативные решения сравниваются с точки зрения максимизации ожидаемой прибыли или минимизации ожидаемых затрат • В ряде случаев такой критерий применять невозможно, тогда используются другие специальные критерии

Основные классы задач принятия решений в условиях риска Признак классификации Классы задач По оценке решения По ожидаемым доходам (затратам) По полезности результатов решения По количеству альтернатив условий Конечное Бесконечное По результатам реализации альтернативы Детерминированные Случайные

Пример принятия решения в условиях риска Случай оценки результатов по прибыли, конечное количество альтернатив, детерминированные результаты Условия задачи Инвестор планирует вложить 1 млн. руб. в акции с целью получения дохода. Выбраны компании А и В. Предполагается, что рынок акций будет расти (вероятность 60%) или падать (вероятность 40%). Если рынок акций будет расти, акции компании А принесут 40% прибыли, акции компании В – 18% прибыли. Если рынок будет падать, акции компании А принесут убыток 20%, акции компании В принесут прибыль в размере 5%. В акции какой компании вложить средства инвестору?

Дерево решений

Специальные методы принятия решений в условиях риска • Использование апостериорных вероятностей реализации альтернатив – В рамках данного подхода используется дополнительная информация (проводится «эксперимент» )для получения более точных оценок вероятностей реализации альтернатив (расчет апостериорных вероятностей по формуле Байеса) • Использование функции полезности для оценки результатов принятых решений – Данный подход позволяет решать задачи не только с результатами в виде прибыли (дохода) или затрат, но и с другой природой результатов, которые формализуется в виде некоторой полезности для лица, принимающего решения по специальным процедурам

Теория игр (принятие решений в условиях неопределенности) • Анализ ситуаций, в которых участвуют несколько сторон, очень сложен • Сформирован специальный подход – теория игр • Модели теории игр – приближенное описание Основные термины o Игра – некоторая операция, результат которой зависит от действий более одного участника o Игрок – участник игры, который может принимать решения, влияющие на результат игры o Стратегия – правила, по которым игрок ведет игру, стратегий может быть больше одной o Выигрыш = платеж = результат игры, в которой каждый из игроков применяет какую-либо свою стратегию o Решение игры – выбранные игроками стратегии (лучшие) o Ход в игре - применение той или иной стратегии

Классификация игр Признак классификации Классы игр По взаимоотношениям игроков Антагонистические Безразличные Кооперативные По количеству стратегий Конечное Бесконечное По изменению стратегий Дискретное Непрерывное По изменению во времени Одношаговые Рекурсивные Дифференциальные По количеству игроков Двухсторонние Многосторонние По полноте информации С полной информацией С неполной информацией

Описание игры Антагонистическая конечная двухсторонняя дискретная игра Игроки А и В, у игрока А m стратегий, у игрока В – n стратегий Игра задается платежной матрицей Оптимальная стратегия – та стратегия, при которой игрок получает лучший результат при любом противодействии второго игрока. Результат игры применении оптимальных стратегий – цена игры

Решение игры Пример игры Платежная матрица Если то = - цена игры

Смешанные стратегии Платежная матрица Решение в смешанных стратегиях Смешанной стратегией называется вектор, компонентами которого являются вероятности применения чистых стратегий Оптимальная смешанная стратегия - та смешанная стратегия, которая дает наилучший результат при многократном повторении игры

Основная теорема Каждая конечная игра имеет по крайней мере одно решение, возможно, в области смешанных стратегий Каждая конечная игра имеет цену, которая лежит между верхней и нижней ценами игры: Стратегия, которая входит в оптимальную смешанную стратегию с не нулевой вероятностью, называется активной стратегией Теорема об активных стратегиях: Если один из игроков применяет свою оптимальную смешанную стратегию, то выигрыш остается неизменным и равным цене игры, независимо от поведения второго игрока, если он не выходит за пределы своих активных стратегий

Решение игр произвольной размерности (mxn) Игры произвольной размерности Итерационные методы Применение метода линейного программирования

Итерационный метод На практике часто нет необходимости получать точное решение При малом различии нижней и верхней цены игры при использовании чистых стратегий используют полученное приближенное решение При значительных расхождениях между нижней и верхней ценой игры используют метод итераций Метод опирается на определение оптимальной смешанной стратегии Существуют и другие итерационные методы решений игр произвольной размерности Исходные данные примера Платежная матрица Цена игры w=5 Оптимальные стратегии

Решение примера № i B 1 B 2 B 3 j A 1 A 2 A 3 wmin wcp wmax 1 3 9 0 11 2 2 9 0 0 4, 5 9 2 2 11 9 11 2 4 18 0 4, 5 6, 75 9 3 2 13 18 11 3, 67 4, 84 6 4 2 15 27 11 3 22 18 22 2, 75 4, 13 5, 5 5 1 22 29 20 3 31 18 33 4 5, 3 6, 6 6 3 31 29 31 2 33 27 33 4, 84 5, 17 5, 5 7 1 38 31 40 2 35 36 33 4, 43 4, 79 5, 14 8 2 40 40 40 2 37 45 33 5 5, 3 5, 61 9 2 42 49 40 3 46 45 44 4, 45 4, 78 5, 11 10 1 49 51 49 1 53 47 53 4, 9 5, 1 5, 3 11 3 58 51 60 2 56 55 53 4, 64 4, 87 5, 09 12 2 60 60 60 2 57 65 53 5 5, 2 5, 41 13 2 62 69 60 3 66 65 64 4, 61 4, 84 5, 07 14 1 69 71 69 1 73 67 73 4, 93 5, 07 5, 21 15 3 78 71 80 2 75 76 73 4, 74 4, 9 5, 06

Физическая смесь стратегий • На практике встречаются игровые задачи, платежные матрицы которых не имеют седловой точки, при этом игры нельзя повторять многократно (часто решение принимается один раз) • Применение оптимальных смешанных стратегий для решения таких задач может привести к существенным ошибкам • В рамках игровой задачи ищутся составные части, которые могут повторяться, и для таких «малых» повторяющихся задач ищутся оптимальные смешанные стратегии Пример: выбор нового вида продукции

Игры с «природой» Платежная матрица игры с природой Основная проблема Природа безразлична к результатам игры, т. е. не будет стремиться применить худшую для нас стратегию Можно увеличить выигрыш, если не ожидать худшего варианта развития событий Возникает вопрос, на какую стратегию природы ориентироваться

Варианты условий игры с природой Варианты С известными вероятностями Неопределенные

Критерии выбора решений в условиях неопределенности Выбор доминирующей альтернативы Принцип недостаточной обоснованности Лапласа Если нельзя предпочесть какие-либо альтернативы (варианты условий), полагается, что вероятности всех альтернатив одинаковы, т. е. : Если, например, можно упорядочить альтернативы, то полагается:

Критерии выбора решений в условиях неопределенности (продолжение) Критерий Вальда (гарантирующий подход) Критерий Сэвиджа (замена матрицы выигрышей на матрицу потерь)

Пример использования критериев Вальда и Сэвиджа Критерий Вальда Критерий Сэвиджа • Платежная матрица (для потерь стороны А) • Матрица потерь (риска)

Критерии выбора решения в условиях неопределенности (продолжение) Критерий Гурвица Случай {aij} – доходы Случай {aij} – потери Охватывает решения от наиболее пессимистичного (гарантирующего) при α=1 до наиболее оптимистичного при α=0. Основная проблема – выбор α

Кооперативные игры Бескоалиционные Коалиционные

Описание кооперативной (бескоалиционной) игры Игроки имеют собственные различные, но не антагонистические интересы Результат игры зависит от решений каждого из игроков и формализуется (для случая двух игроков) в виде двух матриц или одной матрицы с двумя платежами для каждого набора стратегий Пример

Коалиционные игры Игроки могут вступать в коалиции Уровни коалиции: o Информирование участников коалиции о своих намерениях o Выработка общих планов действий o Объединение ресурсов Коалиция выгодна ее участникам только тогда, когда каждый из участников приобретает дополнительный эффект от участия в коалиции. Основная проблема коалиции: справедливый дележ эффекта от коалиции между ее участниками

Пример коалиционной игры Имеются три производителя, которые делят весь рынок и, соответственно, прибыль в соотношении 45: 30: 25. Если объединятся 1 -й и 2 -й производители, то они смогут занять 90% рынка. Если объединятся 1 -й и 3 -й производители, то они смогут занять 85% рынка Если объединятся 2 -й и 3 -й производители, то они смогут занять 75% рынка Решение коалиционных игр на практике достигается введением арбитража, т. е. дополнительных условий, которые не позволят игрокам нарушать договоренности (Могут иметь место условия, в рамках которых можно рассчитать математически обоснованный справедливый дележ, однако реализовать такой дележ на практике без введения арбитража все равно не удастся)