Математические методы в психологии По завершению обучения

Математические методы в психологии

По завершению обучения по дисциплине студент должен: • овладеть системой знаний о применении математических методов в психологии; • владеть умениями применения статистических критериев в психологии и интерпретации, полученных результатов.

Основные понятия Данные в статистике – это основные элементы, подлежащие анализу. Эмпирические данные – это данные, полученные в результате психологического исследования, всегда опосредованы использованием какой-либо измерительной процедуры, методики или теста.

Количественные данные – это данные, получаемые при измерениях (например, данные о весе, размерах, температуре, времени, результатах тестирования и т. п. ). Качественные данные представляют собой какие-то свойства элементов выборки или популяции. Их нельзя измерить, и единственной их количественной оценкой служит частота встречаемости.

Признаки и переменные – это измеряемые психологические явления. Такими явлениями могут быть время решения задачи, количество ошибок. Измерение – это приписывание числовых форм объектам или событиям в соответствии с определенными правилами.

Типы шкал измерения: 1) номинативная, или номинальная, или шкала наименований; 2) порядковая, или ординальная шкала; 3) интервальная, или шкала равных интервалов; 4) шкала равных отношений.

• Номинативная шкала - это шкала, классифицирующая по названию. • Порядковая шкала - это шкала, классифицирующая по принципу "больше - меньше". • Интервальная шкала - это шкала, классифицирующая по принципу "больше на определенное количество единиц - меньше на определенное количество единиц". • Шкала равных отношений - это шкала, классифицирующая объекты или субъектов пропорционально степени выраженности измеряемого свойства.

Выборкой называется некоторая часть генеральной совокупности, то, что непосредственно изучается. Репрезентативная выборка – это выборка адекватно отображающая генеральную совокупность в качественном и количественном отношениях.

Уровни значимости • Уровень значимости – это вероятность того, что различия сочли существенными, а они случайны. • В психологии приняты 5%-ый (р<0, 05) и 1%ый (р<0, 01) уровни значимости.

Распределение признака Распределением признака называется закономерность встречаемости разных его значений. Нормальное распределение характеризуется тем, что крайние значения признака в нем встречаются достаточно редко, а значения, близкие к средней величине – достаточно часто.

Технология решения – Формулирование проблемы на языке психологии. – Формулирование проблемы на языке математики. – Решение. – Формулирование задач на языке математики. – Формулирование задач на языке психологии.

Дисперсия • Дисперсия показывает разброс значений признака относительно своего среднего арифметического значения, то есть насколько плотно значения признака группируются вокруг. • Чем больше разброс, тем сильнее варьируются результаты испытуемых в данной группе, тем больше индивидуальные различия между испытуемыми.

Статистические гипотезы • Статистическая гипотеза – утверждение в отношении неизвестного параметра, сформулированное на языке математической статистики. • Статистические гипотезы подразделяются на нулевые и альтернативные.

Нулевая гипотеза – это гипотеза об отсутствии различий. Она обозначается как Н 0. Альтернативная гипотеза – это гипотеза о значимости различий. Она обозначается как Н 1.

Статистические критерии Статистический критерий – это решающее правило, обеспечивающее надежное поведение, то есть принятие истинной и отклонение ложной гипотезы с высокой вероятностью. Среди возможных статистических критериев выделяют: параметрические и непараметрические.

• Параметрические критерии – это некоторые функции от параметров совокупности, служат для проверки гипотез об этих параметрах или для их оценивания. • Непараметрические критерии – это некоторые функции от функций распределения или непосредственно от вариационного ряда наблюдавшихся значений изучаемого случайного явления.

Параметрические критерии Критерии, включающие в формулу расчета параметры распределения, то есть средние и дисперсии (t - критерий Стьюдента, критерий F и др. ) Непараметрические критерии Критерии, не включающие в формулу расчета параметров распределения и основанные на оперировании частотами или рангами (критерий Q Розенбаума, критерий Т Вилкоксона и др. )

Правило отклонения Н 0 и принятия Н 1 Если эмпирическое значение критерия равняется критическому значению, соответствующему р<0, 05 или превышает его, то Н 0 отклоняется, но мы еще не можем определенно принять Н 1. Если эмпирическое значение критерия равняется критическому значению, соответствующему р<0, 01 или превышает его, то Н 0 отклоняется и принимается Н 1. Исключения: критерий знаков G, критерий Т Вилкоксона и критерий U Манна-Уитни. Для них устанавливаются обратные соотношения.

Классификация психологических задач, решаемых статистическими методами • ЗАДАЧИ УСТАНОВЛЕНИЯ СХОДСТВА ИЛИ РАЗЛИЧИЯ А. Выявление различия в уровне исследуемого признака • Исследуется один и тот же показатель-признак в разных группах испытуемых (например, в контрольных и экспериментальных группах). Требуется определить различие в группах по этому признаку. Б. Оценка сдвига значений исследуемого признака • Исследуется один и тот же показатель признака в одной и той же группе «до» и «после» экспериментальных или иных воздействий, чтобы определить эффективность этих воздействий. В. Выявление различий в распределении признака • Сопоставление эмпирического распределения значений с теоретическим распределением, т. е. выявление формы закона распределения. • Сопоставление двух эмпирических распределений между собой.

Классификация психологических задач, решаемых статистическими методами ЗАДАЧИ ВЫЯВЛЕНИЯ СТЕПЕНИ СОГЛАСОВАННОСТИ (СОПРЯЖЕННОСТИ, КОРРЕЛЯЦИИ) • А. Выявление изменений двух признаков (на одной и той же выборке испытуемых в одинаковых условиях). • Б. Выявление изменений более двух признаков (на одной и той же выборке испытуемых в одинаковых условиях). ЗАДАЧИ ВЫЯВЛЕНИЯ ВЛИЯНИЯ • А. Выявление влияния одного признака на другой признак • Б. Выявление характера взаимодействия существенных условий эксперимента (естественного или лабораторного) в их влиянии на индивидуальные значения признака. • В. Выявление влияния факторов на результаты эксперимента – индивидуальные значения признака.

Критерий Манна-Уитни Критерий предназначен для оценки различий между двумя выборками по уровню какоголибо признака, количественно измеренного. Ограничения критерия Манна-Уитни: Критерий позволяет выявлять различия между малыми выборками, когда n 1, n 2 >3 или n 1=2, n 2>5

Гипотезы критерия Манна-Уитни: Н 0 : Уровень признака в группе 2 не ниже уровня признака в группе 1. Н 1 : Уровень признака в группе 2 ниже уровня признака в группе 1.

Пример задачи для метода Манна - Уитни У предполагаемых участников психологического эксперимента, моделирующего деятельность воздушного диспетчера, был измерен уровень вербального и невербального интеллекта с помощью методики Д. Векслера. Было обследовано 26 юношей в возрасте от 18 до 24 лет (средний возраст 20, 5 лет). 14 из них были студентами физического факультета, а 12 - студентами психологического факультета Ленинградского университета (Сидоренко Е. В. , 1978). Можно ли утверждать, что одна из групп превосходит другую по уровню вербального интеллекта?

Правила ранжирования Меньшему значению начисляется меньший ранг. Наименьшему значению начисляется ранг 1. Наибольшему значению начисляется ранг, соответствующий количеству ранжируемых значений. Например, если n=7, то наибольшее значение получит ранг 7, за возможным исключением для тех случаев, которые предусмотрены правилом 2. В случае, если несколько значений равны, им начисляется ранг, представляющий собой среднее значение из тех рангов, которые они получили бы, если бы не были равны. Например, 3 наименьших значения равны 10 секундам. Если бы мы измеряли время более точно, то эти значения могли бы различаться и составляли бы, скажем, 10, 2 сек; 10, 5 сек; 10, 7 сек. В этом случае они получили бы ранги, соответственно, 1, 2 и 3. Но поскольку полученные нами значения равны, каждое из них получает средний ранг: Допустим , следующие 2 значения равны 12 сек. Они должны были бы получить ранги 4 и 5, но, поскольку они равны, то получают средний ранг: 3. Общая сумма рангов должна совпадать с расчетной, которая определяется по формуле: где N - общее количество ранжируемых наблюдений (значений). Несовпадение реальной и расчетной сумм рангов будет свидетельствовать об ошибке, допущенной при начислении рангов или их суммировании. Прежде чем продолжить работу, необходимо найти ошибку и устранить ее.

1. Проранжировать все значения, приписывая меньшему значению меньший ранг. Всего рангов получится столько, сколько у нас (n 1+п 2). 2. Подсчитать сумму рангов отдельно для каждой группы (выборка 1) и (выборка 2). Проверить, совпадает ли общая сумма рангов с расчетной. Определить большую из двух ранговых сумм. 3. Определить значение U по формуле: где n 1 - количество испытуемых в выборке 1; n 2 - количество испытуемых в выборке 2; Тх - большая из двух ранговых сумм; nх - количество испытуемых в группе с большей суммой рангов.

Определить критические значения U по Таблице. Если Uэмп. >Uкp 005, Но принимается. Если Uэмп≤ Uкp_005, Но отвергается. Чем меньше значения U, тем достоверность различий выше.

Многофункциональные критерии 1. Многофункциональные статистические критерии – это критерии, которые могут использоваться по отношению к самым разнообразным данным, выборкам и задачам. 2. Данные для многофункциональных критериев могут быть представлены в любой шкале, начиная от номинативной. 3. Выборки могут быть как независимыми, так и «связанными» . 4. Многофункциональные критерии позволяют решать задачи сопоставления уровней исследуемого признака, сдвигов в значениях исследуемого признака и сравнения распределений

Критерий Фишера Суть критериев состоит в определении того, какая доля наблюдений в данной выборке характеризуется интересующим эффектом и какая доля этим эффектом не характеризуется. Путем сведения любых данных к альтернативной шкале «Есть эффект – нет эффекта» многофункциональные критерии позволяют решать задачи сопоставлений.

Критерий Фишера предназначен для сопоставления двух выборок по частоте встречаемости исследуемого признака. Критерий оценивает достоверность различий между процентными долями двух выборок, в которых зарегистрирован интересующий аффект.

Ограничения критерия углового преобразования Фишера Ни одна из сопоставляемых долей не должна быть равна 0; верхний предел отсутствует; нижний предел - 2 наблюдения в одной выборке.

Гипотезы критерия углового преобразования Фишера • Н 0: Доля лиц, у которых проявляется исследуемый эффект, в выборке 1 не больше, чем в выборке 2. • Н 1: Доля лиц, у которых проявляется исследуемый эффект, в выборке 1 больше, чем в выборке 2.

Пример задачи для критерия Фишера Различаются ли две группы студентов по успешности решения новой экспериментальной задачи? В первой группе из 20 человек с нею справились 12 человек, а во второй выборке из 25 человек - 10.

Расчет критерия φ* 1. Определить те значения признака, которые будут критерием для разделения испытуемых на тех, у кого "есть эффект" и тех, у кого "нет эффекта". Если признак измерен количественно, использовать критерий λ для поиска оптимальной точки разделения. 2. Начертить четырехклеточную таблицу из двух столбцов и двух строк. Первый столбец - "есть эффект"; второй столбец - "нет эффекта"; первая строка сверху - 1 группа (выборка); вторая строка - 2 группа (выборка). 3. Подсчитать количество испытуемых в первой группе, у которых "есть эффект", и занести это число в левую верхнюю ячейку таблицы.

4. Подсчитать количество испытуемых во второй группе, у которых "есть эффект", и занести это число в левую нижнюю ячейку таблицы. 5. Подсчитать количество испытуемых во второй выборке, у которых "нет эффекта", и занести это число в правую нижнюю ячейку таблицы. Подсчитать сумму по двум нижним ячейкам. Она должна совпадать с количеством испытуемых во второй группе (выборке). 6. Определить процентные доли испытуемых, у которых "есть эффект", путем отнесения их количества к общему количеству испытуемых в данной группе (выборке). Записать полученные процентные доли соответственно в левой верхней и левой нижней ячейках таблицы в скобках, чтобы не перепутать их с абсолютными значениями.

7. Проверить, не равняется ли одна из сопоставляемых процентных долей нулю. Если это так, попробовать изменить это, сдвинув точку разделения групп в ту или иную сторону. Если это невозможно или нежелательно, отказаться от критерия φ* и использовать критерий χ2. 8. Определить по Таблице 1 величины углов φ для каждой из сопоставляемых процентных долей. 9. Подсчитать эмпирическое значение φ* по формуле: где: φ1 - угол, соответствующий большей процентной доле; φ2 - угол, соответствующий меньшей процентной доле; n 1 - количество наблюдений в выборке 1; n 2 - количество наблюдений в выборке 2. 10. Сопоставить полученное значение φ* с критическими значениями: φ* ≤ 1, 64 (Р<0, 05) и φ* ≤ 2, 31 (р<0, 01). Если φ*эмп ≤φ*кр. Hо отвергается.

Метод ранговой корреляции • Анализ связей между признаками – главный вид задач, встречающийся практически в любом эмпирическом исследовании. • Изучение связей между переменными, интересует исследователя как отражение соответствующих причинно-следственных отношений.

• Корреляционная связь – это согласованные изменения двух признаков или большего количества признаков (множественная корреляционная связь). • Корреляционная зависимость – это изменения, которые вносят значения одного признака в вероятность появления разных значений другого признака. Корреляционные связи не могут рассматриваться как свидетельство причинно-следственной связи, они свидетельствуют лишь о том, что изменениям одного признака, как правило, сопутствуют определенные изменения другого.

Корреляционные связи различаются по • форме, • направлению, • степени (силе). По форме корреляционная связь может быть • прямолинейной, • криволинейной.

По направлению корреляционная связь может быть • положительной ("прямой"), • отрицательной ("обратной"). При положительной прямолинейной корреляции более высоким значениям одного признака соответствуют более высокие значения другого, а более низким значениям одного признака – низкие значения другого. При отрицательной прямолинейной корреляции более высоким значениям одного признака соответствуют более низкие значения другого, а более низким значениям одного признака – высокие значения другого.

• Сила связи не зависит от ее направленности и определяется по абсолютному значению коэффициента корреляции. • Коэффициент корреляции – это величина, которая может варьировать в пределах от +1 до – 1.

Метод ранговой корреляции Спирмена • Метод ранговой корреляции Спирмена позволяет определить тесноту (силу) н направление корреляционной связи между двумя признаками или двумя профилями (иерархиями) признаков.

Для подсчета ранговой корреляции необходимо располагать двумя рядами значений, которые могут быть проранжированы. Гипотезы: • Н 0 : Корреляция между переменными А и Б не отличается от нуля. • Н 1 : Корреляция между переменными А и Б достоверно отличается от нуля.

Пример задачи для ранговой корреляции В исследовании, посвященном проблемам ценностной реориентации, выявлялись иерархии терминальных ценностей по методике М. Рокича у родителей и их взрослых детей. Ранги терминальных ценностей, полученные при обследовании пары мать-дочь (матери - 66 лет, дочери - 42 года) представлены в Таблице. Надо определить, как эти ценностные иерархии коррелируют друг с другом.

Расчет коэффициента ранговой корреляции Спирмена 1. Определить, какие два признака или две иерархии признаков будут участвовать в сопоставлении как переменные А и В. 2. Проранжировать значения переменной А, начисляя ранг 1 наименьшему значению, в соответствии с правилами ранжирования. Занести ранги в первый столбец таблицы по порядку номеров испытуемых или признаков. 3. Проранжировать значения переменной В, в соответствии с теми же правилами. Занести ранги во второй столбец таблицы по порядку номеров испытуемых или признаков. 4. Подсчитать разности d между рангами А и В по каждой строке таблицы и занести в третий столбец таблицы. 5. Возвести каждую разность в квадрат: d 2. Эти значения занести в четвертый столбец таблицы. 6. Подсчитать сумму квадратов ∑d 2.

7. Рассчитать коэффициент ранговой корреляции по формуле: где ∑d 2 - сумма квадратов разностей между рангами, Та и Tb - поправки на одинаковые ранги; N - количество испытуемых или признаков, участвовавших в ранжировании. 8. Определить по Таблице критические значения гs для данного N. Если rs превышает критическое значение или по крайней мере равен ему, корреляция достоверно отличается от 0.