Математические методы в экономике Метод Порфириана

Математические методы в экономике

Метод «Порфириана» . Приоритетное ветвление. Такое графическое изображение последовательного разбиения множества всех вариантов называется порфирианом Порфириан – множество возможных решений (своего рода отличный метод для выбора самого лучшего варианта).

При таком ветвлении появляются некоторые приоритеты, некоторые условия на каждом этапе. Поэтому даже на первом этапе мы выбираем только одно направление, все остальные сразу отпадают. Этим самым мы значительно сокращаем возможность этих разветвлений. Задача заключается в следующем : нужно модернизировать каждую линию, при условии, что бригада ремонтников только одна. Необходимо вывести такую линию, чтобы было отклонение от спроса минимальным (в ту или иную сторону).

Как только условие поставили, смотрим, без какой линии на этом первом этапе будет минимальное отклонение от спроса из всех вариантов. Мы выбираем только одну ветвь, а остальные все вычёркиваем. Допустим, отремонтирована 1 , значит она стала более производительной. Дальше мы смотрим какую из 4, 2, 5 вывести на ремонт, чтобы отклонение от спроса было минимальным, учитывая тот факт что 1 -ая уже стала производительной и т. д. Продемонстрируем на примере данный метод (Задача № 1. 1).

Задача № 1. 1 ПРИОРИТЕТНОЕ ВЕТВЛЕНИЕ Шесть станков производят однородную продукцию. Станки подлежат модернизации. Технические характеристики приводятся в таблице. Фирма имеет одну ремонтную бригаду, которая в месяц может отремонтировать только один станок. В какой последовательности необходимо производить ремонт станков с условием минимального отклонения объёма производства изделия от месячного спроса. № станка 1 2 3 4 5 6 производительнос ть в единицу времени 20 24 16 14 резерв времени в каждом месяце 100 80 120 90 130 120 увеличение мощности после ремонта (в%) 10 12 8 10 9 11 Спрос изделий по месяцам вариант 4 1 10315 2 10065 3 10980 4 10665 5 10960

МЕТОД «ПРИВЕДЁННОЙ МАТРИЦЫ»

Задача заключается в следующем: Даны 3 команды. По предварительным итогам каждый участник получил определённое количество баллов. На соревнование поедет та команда, которая в сумме наберёт максимальное количество очков. Чтобы определить сумму мы не можем ничего складывать, потому что у каждой оценки результата разная размерность, разные показатели (очки, баллы, минуты, расстояние и т. д. ). Мы ранее прибегали к способу, с помощью которого получали безразмерные величины, в одном спорте сравнивали все показатели и определяли долю. В каждой колонке необходимо просуммировать все числа и каждой элемент этой колонки нужно разделить на общую на сумму. То есть для каждого участника мы определим его показания в общем объёме показателей. Также необходимо закрепить каждого участника за одним видом спорта. (используем метод линейного программирования)

Метод заключается в следующем: даны претенденты А, B, C, D с разными показателями и виды спорта № 1, № 2, № 3 и № 4. Нам необходимо так закрепить каждого претендента с высокими баллами к определённому виду спорта, чтобы набрать максимальное количество очков. 1 2 3 4 A 2 7 4 5 B 6 3 8 4 C 3 5 7 6 D 4 2 1 8

Если нам нужен максимум, то сначала находим максимальное число в каждом столбце. (метод приведённой матрицы) 1 2 3 4 A 2 7 4 5 B 6 3 8 4 C 3 5 7 6 D 4 2 1 8 макс 6 7 8 8 Максимальное число вычитаем из каждого элемента определённого столбца. 1 2 3 4 A -4 0 -4 -3 B 0 -4 C -3 -2 -1 -2 D -2 -5 -7 0

Теперь нужно посмотреть в какой строке расположен только один ноль, найдя строку вычёркиваем её и соответствующий ей (пересекающий « 0» ) столбец. Претендент А закреплён со 2 -ым видом спорта; Претендент D закреплён с 4 ым видом спорта;

В итоге, всех претендентов мы закрепили с определённым видом спорта. Найдя закрепления, находим сумму баллов команды, которую в дальнейшем можем сравнивать с суммой баллов других команд и выбрать лучшую. № спорт баллы A 2 7 B 1 6 C 3 7 D 4 8 сумма 28

При подсчёте баллов необходимо учитывать, что показатели все разные. Чем больше количество очков, тем лучше, чем больше времени затрачено, тем хуже. Поэтому те баллы, которые относятся к «отрицательным» ( минуты, секунды) мы преобразовываем, вычитая из единицы долю. Доля в свою очередь вычисляется как количество баллов, поделённое на сумму баллов столбца. Вычислив долю, необходимо снова пронормировать, поделив полученную долю на новую сумму (полученного столбца). Рассмотрим Задачу № 1. 2

Задача № 1. 1 СПОРТ На соревнование может быть отправлена одна из трёх команд, набравшая максимальное количество очков. На отборочных соревнованиях участники показали следующие результаты Задание: Самостоятельно заполнить таблицы данных, используя датчик случайных чисел и следующую информацию Выбрать самую результативную команду и в ней оптимальным образом закрепить каждого участника за одним из видов спорта. 1 , 2, 3 группа Виды спорта Участники Спринт Дл. дистан Плавание Метание Гимнастика A Б В Г Д Е СУММА Спринт Дл. дистан Плавание Метание Гимнастика Шахматы ОТ 8 25 20 50 3 0 ДО 12 35 30 60 6 18 Шахматы

В этой задаче необходимо было, найти какое количество работ может выполнить предприятие и сколько предприятие не успеет выполнить. М Nm Rm Km Qm Mост 1 2 4 10 14 59 43 18 4 13 30 2 11 3 2 85 17 1 3 6 21 1 2 4 3 32 3 2 8 7 1 1 5 7 3 4 8 10 8 15

Обозначения букв в задаче § § § М – предприятие Nm, Rm – мощности Km – количество работ Мост – остаток Qm – количество

Необходимо найти Мост рассчитывается по формуле: Rm – CУММ( Qm первого предприятия)- Nm Я рассчитывала: 32 – СУММАQm(5 -7) – 8, и так для каждого предприятия М ( С 1 -4) После этого я подготовила еще одну таблицу. j Q 1 2 3 4 1 5 1 1 2 10 0 1 3 9 0 1 4 7 1 1

J – дополнительный цех Рассчитала 1, 2, 3, 4 предприятие по формуле: Если(или(Мост=Q; Q< Мост)1, 0) Считаем каждое предприятие. Например: Если( Или(8=5; 5<8)1; 0) и так для каждого столбика. После этого нахожу остаток: Считаем: Мост – Q 8 -5=3 Остаток 10 -10=0 3 8 -9=-1 0 15 -7=8 -1 8

Годовая смета • Мы составляли годовую смету. • Алгоритм: • Нам были даны средства: 100000 и статьи затрат, задающиеся процентом данных средств: Фонд Заработной Платы(40 -50%), Накладные расходы (36% от ФЗП), ПФ(1%) а также статьи которые могут задаваться произвольно: Транспорт, Канцтовары, Коммунальные услуги, Оборудование, Прочие расходы. • «Затраты» подсчитываются как сумма всех статей затрат, а «прибыль» как разность данных средств и «затрат»

Определение кратчайшего пути «Метод перебора» .

Метод перебора -метод решения задачи путем перебора всех возможных решений. Задача: За какое минимальное количество времени грузовая машина развезет с базы товар по всем складам и вернется обратно?

Решение: 1) Нашла множество всех возможных вариантов решения (4!=4*3*2*1=24) 2)Просчитала сколько времени займет каждый вариант Например: A 7=C 2+D 3+E 4+F 5+B 6 1234= 0; 1+1; 2+2; 3+3; 4+4; 0 1234=5+5+6+7+4=27 A 8= C 2+D 3+E 4+E 6+B 5 1243=0; 1+1; 2+2; 4+4; 3+3; 0 1243=5+5+5+7+5=27 А 9= C 2+E 3+F 5+D 6+B 4 1342=0; 1+1; 3+3; 4+4; 2+2; 0 1342=5+3+7+5+3=23 и т. д.

3)Нашла наименьшее значение с помощью функции МИН: =МИН(C 9: C 13; C 15: C 19; C 21: C 26; C 28: C 33) 4)Ответ: 20

Альтернативный метод. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРАТЧАЙШЕГО ПУТИ.

Постановка задачи: Дана таблица, в которой указано время, затрачиваемое на переезд из одной точки в другую. Всего 5 точек. Вопрос: Требуется найти наикратчайший маршрут между пунктами, побывав в каждом из них. Пункты 0 2 3 4 5 0 1 4 9 8 5 3 4 6 5 1 6 2 3 7 3 5 4 3 4 4 9 5 7 7 Решение: Требуется в каждой строке найти наименьшие пути. Такие пути(со временем 3) есть в 1, 2, 3 «пунктах» . Это кандидаты на роль «наикратчайшего пути» . Их и нужно рассмотреть. После перемещения на следующую точку( например из 1 в 3) выполняется поиск наименьшего времени «пункте» 3, далее в «пункте» 2 и т. п. После проверки 3 -х маршрутов-кандидатов, самым коротким оказался путь 1 -3 -2 -4 -0. Вывод: данный способ позволяет выполнить поиск наикратчайшего маршрута быстрее, чем перебирая их «в лоб» .

МЕТОД ПРИОРИТЕТА

Метод приоритетов заключается в том Что нужно распределять в порядке возрастания или убывания. Приоритет всегда в конечном итоге обозначается числом. Пример: 2; 5; 7, 2; 9, 1

Пример 2: Подсчет очков для спортсменов. Допустим жури будет в основном учитывать в фигурном катании: Программу, Ошибки, Артистичность. Каждому из критерий назначаем весомость. Например: (Программа – 0, 5 ; Ошибки – 0, 3 ; Артистичность – 0, 2) При этом сумма всех весов критерий должна составлять « 1» . Т. е. « Программа – 0, 5 + Ошибки – 0, 3 + Артистичность -0, 2 = 1 »

10 10 10 7 9 5 6 8 9 Для того что бы узнать кто из них был первый мы не складываем строку, а выделяем значимость «Очки = 0, 5*10+0, 3*10+0, 2*10» Приоритетно рандомизированный метод -это когда мы учитываем влияние случайных ситуаций.

Суперкритерий. Сложный критерий. Мы считали наибольшее количество очков, которое набирали наши студенты, засчёт своей успеваимости. Формула для подсчёта очков была такова: I=Σαiβi

Алгоритм решения задачи. Создаём таблицу. Делим количество оценок на их сумму(Мы берем долю пятерок одного студента от суммы количества пятерок всех студентов). Провели нормирование(Теперь в каждой ячейке у нас находится доля пятерок от количества всех пятерок по данному предмету). Назначаем вес каждому фактору по степени важности(Важно чтобы сумма весов всех факторов была равна единице). Отрицательные факторы мы будем вычитать из суммарного значения очков какого-либо студента. Подсчитали очки студентов(Очки считали по формуле, умножали долю n-ого фактора у n-ого студента на вес этого фактора и складывали(если фактор положительный)/вычитали(если фактор отрицательный) последующие произведения весов факторов на доли этих факторов n-ого студента). Затем нашли двух лучших студентов(те у кого получились максимальные очки) для награды.

Способы устранения отрицательных значений. В нашем решении были отрицательные значения, а их быть не должно, для этого мы применили нормирование отрицательных строк. Есть два способа устранения отрицательных значений: 1)В каждой ячейке строки отрицательного фактора, мы меняем получающуюся долю , на число обратное ей(то есть если у нас было 2/5 , то теперь станет 5/2). А затем нормируем получившиеся числа. (Делим получившуюся дробь на сумму всех дробей этого фактора). Далее также умножаем каждую ячейку на вес фактора и считаем баллы. 2)В каждой ячейке строки отрицательного фактора, мы вычитаем получающуюся долю из единицы (если у нас ранее доля n-ого студента n-ого фактора была равна 1/8 , то теперь станет 1 -(1/8)=7/8). И затем нормируем получившиеся числа. (Делим получившиеся дроби на сумму всех дробей этого фактора) Далее снова умножаем каждую ячейку на вес фактора и считаем баллы. Воспользовавшись любым из двух этих способов отрицательные значения уходят. И мы снова определяем двух лучших студентов, имеющих максимальное кол-во очков, для поощрения.

Задача разузлования. 11/04/12 Отдельные части сложного изделия(паровоз, автомобиль) производят разные группы людей. 1 – готовое изделие, остальное – его части[узлы] ; Самые нижние части – элементарные детали, которые штампуются, а не собираются.

Разузлование проводится для калькуляции и комплектации крупных изделий. Существует 3 метода разузлования: 1)Метод меток (ручной метод) 2)метод эстафеты (Информация записывается в таблицу «Что| Куда | Сколько» Пример в таблице в ниже. Метку ставят в готовое изделие и всё, что в нее входит, далее вниз. Что Куда Сколько Метка 1 - - 7 2 14 3 1 1 7 4 2 1 21 5 2, 3 1, 1 14 6 3 3 21

3)Метод имитации многопроцессорного калькулятора Х 2=2 х1 Х 3=х1 Х 5=х2+х3=3 х1 и т. д. Задача при изготовлении 1 изделия:

Объемно-календарное планирование Данный метод может использоваться для распределения нагрузки на различные производственные единицы (бригады, станки) в производстве, разбитом на временные периоды. Рассмотрим на примере задачи.

Требуемое количество произведенных деталей в каждом периоде 5 6 7 8 D 1 10 15 D 2 15 10 7 70 35 8 70 35 Резерв времени каждого станка на период 5 6 S 1 70 70 S 2 35 35 Время на производство одной детали каждым станком: D 1 D 2 S 1 3 2 S 2 2 1

Вычисления начинаются с последнего периода и проводятся следующим образом: 1) Берется первая деталь последнего периода из таблицы 1. Количество этих деталей понадобится нам для сравнения в конце. P 1=15 2) Резерв времени S 1 делится на время производства взятой детали взятым станком. S 1=70/3=23 (Округление всегда производить в меньшую сторону до целого числа) 3) Резерв времени S 2 делится на время производства взятой детали взятым станком. S 2=35/2=17 4) Проделать для каждого станка/бригады. 5) Сравниваем получившиеся числа и необходимое количество деталей. Минимальное из этих чисел и есть то количество, которое мы произведем. P 1=15, S 1=23, S 2=17, минимальное равно 15. 6) Если меньшее число равно необходимому количеству деталей (p 1=15), то мы можем произвести нужное количество деталей в данном периоде, и тогда просто переходим к следующему шагу. Если нет, то заносим в предыдущий период непроизведенный остаток этих деталей, т. е. мы выполняем план этого периода за счет предыдущего. (Например, если бы мы произвели только 12 деталей, то 15 -12=3, заносим в предыдущий период 3 дополнительные детали, итого уже данные 10+3=13 деталей D 1 надо произвести в периоде 7. Для удобства можно сделать отдельную таблицу, либо записывать перенесенные детали в уже данную таблицу 1).

7) Теперь мы должны проделать те же самые шаги для следующей детали, но сейчас нам надо учитывать остаток резерва времени станков. Он вычисляется следующим образом: S-K*T=О, где O – искомый остаток времени, S – резерв времени на начало вычислений с предыдущей деталью, К – то количество предыдущей детали которое мы в итоге произвели, т. е. наименьшее число из шага 5, Т – время для производства одной взятой детали. В данном случае: 70 -15*3=25 - резерв времени S 1 для данной детали 35 -15*2=5 – резерв времени S 2 для данной детали (Все расчеты для детали D 2 проводятся с этим резервом. Если бы у нас была еще и деталь D 3, то расчеты с ней проводились бы с еще меньшим резервом времени, т. к. вместо полного резерва времени 70 и 35 мы бы взяли 25 и 5 из которых было бы вычтено время затраченное на производство деталей D 2. ) 8) По окончанию расчетов со всеми деталями мы переходим к следующему периоду, в котором количество нужных деталей скорее всего возросло и более не соответствует исходной таблице 1, а резерв времени станков берем из таблицы 2. 9) Все делается по данной схеме до тех пор, пока не будут произведены расчеты для всех деталей всех периодов.

Завершенная таблица с переносом деталей в предыдущие периоды будет выглядеть так: 5 6 7 8 D 1 10 15 D 2 5 15 5 (Мы не смогли произвести 10 деталей D 2 в периоде 8, поэтому перенесли 5 деталей в период 7, но и там смогли произвести только 15 (из нужных 20), поэтому оставшиеся 5 снова перенесли назад, в период 6)

Дана задача, по условиям которой нужно произвести продукцию, уложившись в определенные сроки. Для этого по условию нам даны два вида продукции D 1 и D 2 и точное указание на то, какова потребность в каждом продукте в данный период. (Таблица 1). Таблица 1. 5 6 7 8 D 1 10 15 D 2 15 10 В своем распоряжении мы имеем и еще одну таблицу, из которой мы видим за сколько станок или бригада производит 1 вид продукции. (Таблица 2). D 1 D 2 Станок-1 3 2 Станок-2 2 1 Таблица 2. Также по условию, каждый станок имеет свой резерв времени в любом из периодов. (Таблица 3). Таблица 3. 5 6 7 8 S 1 70 70 S 2 35 35

По условиям мы имеем определенную последовательность со своим приоритетом. Для того, чтобы верно решить задачу, нам необходимо рассматривать периоды с конца, так как если мы не уложимся в данный, то можно будет перенести невыполненный план в следующий период. Если мы посмотрим в таблицу 1 и обратим внимание на последний период, то увидим, что потребность в первой продукции 15 , а во второй 10. Для начала нужно разделить резерв времени 70 и 35, на 3 и 2, то есть на то, за сколько оба станка производят 1 вид продукции D 1. Мы получим 23 шт. и 17 шт. соответственно. Следовательно мы удовлетворяем потребность в производстве первой продукции. Теперь нам необходимо посчитать , какой резерв времени мы имеем для покрытия потребности во второй продукции. Для этого мы умножаем 15 на 3 и 2 , то есть на то, за сколько оба станка производят 1 вид продукции D 1 и вычитаем из 70 и 35 получившееся результаты. ( 15*3=45, 70 -45=25(это и есть резерв времени для первого станка), 15*2=30, 35 -30=5(это резерв для второго станка)). Далее делим получившееся резервы времени на то, за сколько 1 и 2 станки справляются с производством 1 единицы продукции D 2. ( 25/2=12 , 5/1=5 ). Из полученных вычислений мы видим, что первый станок справляется с потребностью , а второй нет. Для того , чтобы узнать сколько единиц не сможет произвести второй мы из потребности вычитаем , то сколько он произвел( 10 -5=5). Соответственно в потребность второго станка в предыдущем периоде мы прибавляем 5 единиц продукции и теперь таблица у нас выглядит таким образом: 5 6 7 8 D 1 10 15 D 2 20 10 Мы будем списывать не произведенные детали, до тех пор пока наши станки не справятся со всеми потребностями.

Функции принятия решения. Для того , чтобы сосчитать функцию мы используем формулу. T=ℸ*Q+L , где ℸ- время потраченное на одну операцию. L- время потраченное на подготовку. Функция S=(T-(ℸ*w + L)+Tнач)/(ℸ*W + L) w – количество операций выполненных к сегодняшнему дню. W – общее количество операций. Tнач – время начала сборки