Математические методы обработки экспериментальных результатов и

Математические методы обработки экспериментальных результатов и планирования эксперимента Лектор: Жереб Владимир Павлович, д. х. н. , доц. Авторы курса: Краснова Е. В. , к. т. н. , доц. , Жереб В. П. , д. х. н. , доц. vpzhereb@rambler. ru

Тема 1. ВВЕДЕНИЕ ЦЕЛЬ НАУКИ Прогноз состояния объекта на основе причинно- следственных отношений Y = f (x 1, …xn) ОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ ДЕДУКТИВНОЙ ТЕОРИИ 1. Логический фундамент - очевидные по своей природе фундаментальные положения (аксиомы, постулаты, фундаментальные законы, фундаментальные принципы) 2. Логический аппарат (математический аппарат), обеспечивающий получение из логических оснований всего набора возможных следствий 3. Эмпирическая проверка следствий (наблюдения, эксперименты) АБСТРАКТНЫЕ ОБЪЕКТЫ ТЕОРИИ В науке известны два абстрактных объекта: материальная точка и система Выбор абстрактного объекта определяется содержанием логического фундамента теории.

Задачи курса Задачи: • получить теоретические знания по статистической обработке экспериментальных данных; • приобрести практические навыки использования различных методов при решении задач; • научиться строить и анализировать математические модели, связывающие свойства металлов и сплавов со всеми переменными, от которых эти свойства зависят; • формулировать рекомендации для последующего их внедрения на производстве. Курс состоит из двух частей: математическая статистика; математическое планирование эксперимента. По первой части предусмотрено выполнение лабораторных трех работ. По планированию эксперимента должно быть сделано две работы.

Тема 2. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ЭКСПЕРИМЕНТЕ 2. 1. Схема эксперимента. Факторы и отклики Объектами исследования могут быть реальные объекты: изделия, сплавы, приборы, оборудование, реальные физико- химические или технологические процессы, физические явления и т. п. В теоретич. исследовании их необходимо представить как абстрактный объект, в нашем случае, как систему. Под системой понимают совокупность взаимосвязанных и взаимодействующих элементов, рассматриваемых как единое целое. Каждый элемент системы также может быть объектом экспериментального исследования и рассматриваться как самостоятельная система. Все, что не входит в систему, является по отношению к ней внешней средой.

Схема эксперимента (“черный ящик”) Входы Х 1. . Х к (независимые переменные, факторы; в задачах по технологии металлов - это состав сплава, режимы литья, деформации, термической обработки); выходы Y 1 , . . . , Y m (зависимые переменные, отклики, параметры оптимизации; например, прочностные свойства сплава).

Факторы (параметры) отклики системы • Любые внешние воздействия на изучаемую систему называют факторами. • Откликами называют реакцию системы на любые внешние воздействия. • Факторы можно разделить на два основных класса: контролируемые (или измеряемые) и неконтролируемые (или неизмеряемые). • Контролируемые факторы могут быть управляемыми и неуправляемыми. • Управляемыми называют переменные, целенаправленное изменение которых возможно в эксперименте. Значения этих факторов можно изменять по своему усмотрению. На схеме они обозначены X 1, . . . , Xk. • Неуправляемыми называют переменные, изменение которых невозможно; их величины поддерживают постоянными проведении исследований (на схеме это условия эксперимента q 1, . . . , qr). • Контролируемые факторы могут быть количественными и качественными. Количественными факторами являются переменные величины, которые можно оценить числом (измерить, взвесить и т. д. ). Качественные факторы - это переменные, характеризующиеся качественными свойствами (разные вещества, исполнители); им не соответствует числовая шкала. Например, изучали влияние режимов термической обработки на твердость быстрoрежущей стали. При проведении эксперимента варьировали (изменяли) факторы: температуру нагрева под закалку (X 1), С; время выдержки при этой температуре (X 2), мин. ; скорость охлаждения (X 3). Факторы X 1 и X 2 были количественными, а фактор X 3 принимал только два значения: быстрое охлаждение - в воде и медленное охлаждение - в масле и являлся качественным. • Величины откликов зависят не только от контролируемых факторов X 1, . . . , Xk, но и от неизвестных неконтролируемых воздействий V 1, V 2. . . , которые, комбинируясь в каждом опыте тем или иным способом, приводят к случайности в результатах опыта. Определенному набору значений контролируемых факторов X 1, . . . , Xk будут соответствовать различные непредсказуемые, т. е. случайные отклики Y 1, . . . , Ym. Нельзя точно предсказать механические свойства образцов, взятых из различных плавок одной и той же марки стали.

2. 2. Априорная информация. Математическая модель системы • Трудно представить, что исследование начинают при полном отсутствии каких-либо сведений о системе. Обычно некоторую информацию имеют до проведения эксперимента. Такую информацию называют априорной (от лат. a priori - изначально, до опыта, заранее). К априорной информации относят данные предшествующих экспериментов, а также интуицию и опыт самого исследователя. Исследование всегда начинают с анализа имеющихся литературных источников. • При изучении систем к числу основных понятий относят математическую модель. Существует большое количество определений этого фундаментального понятия. Определим математическую модель как правило преобразования контролируемых факторов в отклики системы.

2. 3. Основные типы экспериментов • В процессе эксперимента регистрируют результаты измерений, производят обработку и анализ полученных данных и на этой основе делают выводы о модели системы. • Эксперимент бывает пассивным и активным. • При пассивном эксперименте исследователь наблюдает за каким-либо процессом, не вмешиваясь в него, или выбирает экспериментальные точки интуитивно. Его роль ограничена лишь регистрацией, обработкой и анализом данных. Основная задача исследователя состоит в применении наиболее эффективных методов обработки данных и извлечении из имеющихся данных как можно больше информации. В этом случае используют такие приемы, как подбор функций распределения, определение средних и мер рассеяния, корреляционный и регрессионный анализы и т. п.

Активный эксперимент - это процесс исследования, включающий специально организованное управление экспериментом, которое состоит в том, что в каждом опыте варьируют одновременно все контролируемые управляемые факторы по специальному плану. Он позволяет, по сравнению с пассивным экспериментом, сократить затраты времени и материальных средств. Для его проведения исследователь должен знать и уметь применять математические методы планирования эксперимента.

Поскольку невозможно предусмотреть все многообразие экспериментальных ситуаций, выделим лишь четыре основных типа эксперимента: 1. Эксперимент для построения модели. Главная цель такого эксперимента - построение наилучшей в определенном смысле математической модели системы. Такая модель должна хорошо соответствовать результатам наблюдений (испытаний), обеспечивать достаточно точные предсказания величин откликов, выявлять влияние контролируемых факторов на отклики системы. Если математическая модель удовлетворяет этим требованиям, то говорят, что она адекватно описывает изучаемую систему. 2. Экстремальный эксперимент. Задача этого эксперимента состоит в определении значений контролируемых факторов, при которых отклики принимают экстремальные (наилучшие) значения. В технологии металлов - это поиск оптимальных составов сплавов, режимов их литья, деформации, термической обработки.

3. Отсеивающий эксперимент. Цель такого эксперимента - выделить факторы, наиболее сильно влияющие на отклики системы. На начальных стадиях исследования включают большое число контролируемых факторов. В дальнейшем значительную часть их отсеивают, выделяя лишь небольшое число значимых факторов, которые управляют явлением. 4. Имитационный эксперимент. Он связан с имитацией изучаемого явления на ЭВМ или другом устройстве, позволяющем воспроизвести это явление с приемлемой точностью.

Тема 3. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА Статистика - это наука, занимающаяся сбором, систематизацией, анализом и истолкованием экспериментальных данных. Она базируется на теории вероятностей. Существует два основных метода сбора статистических данных - путем непосредственного наблюдения и при помощи устного и письменного опроса. Последний метод широко применяют государственные органы, агентства по исследованию рыночной конъюнктуры, а также при изучении общественного мнения. При контроле качества продукции, научных исследованиях в области технологии металлов используют метод непосредственного наблюдения. Поэтому прежде всего рассмотрим понятия испытания и события.

3. 1. Испытания и события Испытанием (или опытом) называют осуществление определенных условий и действий, при которых наблюдается явление. Иными словами, испытанием называют осуществление какого-либо комплекса условий, который может быть воспроизведен сколь угодно большое число раз. О всяком новом испытании говорят как о повторении прежнего, чтобы лишний раз подчеркнуть, что испытания происходят в одних и тех же условиях. Например, производят измерение твердости по методу Бринелля при выбранных условиях испытания (шарик, нагрузка, время выдержки под этой нагрузкой). При этом не следует забывать, что о воспроизведении условий испытания можно говорить только в приближенном смысле. Так, проводят испытания с игральной костью (кубом, на гранях которого отмечены числа от 1 до 6). При повторном бросании игральной кости успеет (хотя и незначительно) измениться температура воздуха, направление его движения, вес (на доли миллиграмма) самой кости в результате налипания пылевых частиц. Всякий факт (исход), который получается в результате опыта (испытания) называют событием. Обычно события обозначают большими латинскими буквами: А, В, С и т. д. Рассмотрим следующие примеры: бросание монеты – опыт, появления «герба» - событие; извлечение одной карты из колоды – опыт, появление туза – событие. Возможность появления в результате опыта у различных событий неодинакова. В связи с этим события делят на достоверные, невозможные, случайные, несовместимые и равновозможные.

Событие может иметь качественную и количественную характеристику. Так, при испытаниях на усталость факт разрушения или неразрушения образца за базовое число циклов нагружения является качественной характеристикой события. Долговечность (число циклов, которое выдерживает материал перед разрушением при определенном напряжении) - количественной характеристикой. Событие, которое в результате данного испытания должно непременно произойти, называют достоверным. Примером достоверного события является извлечение черного шара из ящика, в котором лежат только черные шары. Достоверному событию противоположно невозможное событие, которое в данных условиях не может произойти, например, извлечение белого шара из ящика с черными шарами. Случайное событие может произойти или не произойти. Например, извлечение белого шара из ящика, в котором лежат белые и черные шары. События являются несовместимыми, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. Например, образец в результате длительных статических испытаний при заданных условиях либо разрушится, либо не разрушится. Одновременное появление этих двух событий исключено. События называют равновозможными, если есть основания считать, что одно из них не более возможно, чем другое. Если в ящике находится одинаковое количество тщательно перемешанных шаров разного цвета, то возможность вынуть шар любого цвета одинакова. Равновозможны выпадания “герба” и “надписи” при бросании монеты.

3. 2. Относительная частота и вероятность случайных событий Вероятность события А – это мера его объективной возможности появиться. Ее обозначают Р(А). Встает вопрос, как измерить эту возможность? Точное значение вероятности события на практике чаще всего получить нельзя. Поэтому за приближенное значение вероятности берется относительная частота события. Пусть провели n опытов. В этом случае событие А появилось n. А раз. Относительной частотой (или частостью) события А называют отношение числа опытов, в которых появилось событие А, к числу всех произведенных испытаний: w(A) = n. А/n. Поскольку число возникновений события не может быть отрицательным и больше, чем число всех опытов, то значения 0 w(A) 1. Для достоверного события w(A) =1, для невозможного события w(A) =0. При небольшом числе испытаний n относительная частота события w(A) непредсказуема, ее значение случайно.