Математические методы моделирования в геологии СВ 2014 Лекция

Математические методы моделирования в геологии СВ 2014 Лекция 9

Группирование геологических объектов. Математическое моделирование и прогноз дискриминантным методом (дискриминантный анализ). Геометрическая интерпретация метода распознавания образов. Разделения (дискриминация) и классификация (анализ образов). Пример. Две группы проб сланцев. Известно, что часть из них образовались в пресноводном, часть в морском бассейнах. Это можно определить на основании исследования остатков ископаемых организмов. В пробах измерено содержания V, B, Fe. 1. Задача – найти линейную комбинацию этих переменных (формулу, функцию), которая даст максимально возможное различие между двумя группами (морские и пресноводные). 2. Формула используется для отнесения новых образцов к первой (пресноводные) или второй (морские) группе. Т. е. новые образцы сланца, не содержащие диагностических ископаемых остатков, можно будет разделить на две заранее заданные группы на основе линейной дискриминантной функции.

Математическое моделирование и прогноз дискриминантным методом (дискриминантный анализ). Геометрическая интерпретация метода распознавания Классификация внутренне замкнута, т. е. , в отличие от дискриминантного анализа, она не зависит от априорных сведений между пробами. В дискриминантном анализе число групп задается заранее, в то время как число групп, которые получаются в результате классификации не может быть заранее определено. Каждая проба из исходного множества в дискриминантном анализе принадлежит одной из заданных групп. В большинстве задач классификации проба может войти в любую из групп, возникающих в результате классификации.

Математическое моделирование и прогноз дискриминантным методом (дискриминантный анализ). Геометрическая интерпретация метода распознавания Задача разделения (дискриминации) сводится к подбору параметров дискриминантной функции таким образом, чтобы разным классам соответствовали разные значения функции. На рисунке - схематическое разделение объектов на классы А и В. Для априорно заданных объектов определяется дискриминантная функция D=a. X+b. Вычисляется граничное значение D 0. Далее - отнесение неизученных объектов к классам А и В. Например объект 1 при D 1>D 0 относят к классу А, а объект 2, для которого D 2

Геометрическая интерпретация метода распознавания На практике чаще встречаются задачи разделения многомерных объектов, охарактеризованных не двумя, а тремя или более тремя более признаками В наиболее общем случае геометрическая интерпретация дискриминантной функции представляет собой гиперплоскость в k-мерном признаковом пространстве. Каждый объект - точка этого пространства. Необходимо провести в этом пространстве такую гиперплоскость (дискриминантную гиперплоскость), которая: q обеспечивала бы максимальное различие между множествами объектов, принадлежащих к разным классам; q сводила бы к минимуму рассеяние внутри каждого множества.

Геометрическая интерпретация метода распознавания. Аналитически гиперплоскость в k-мерном пространстве имеет вид: D=a 1 X 1+a 2 X 2+. . . +ak. Xk. Задача - отыскать коэффициенты a 1, a 2, . . . ak, которые обеспечивали бы требуемые условия разделения. Существует граничное значение, которое делит область значений дискриминантной функции на два подмножества. Отнесение неизученного объекта к тому или иному классу: • Значения показателей подставляются как аргументы в построенную на эталонной выборке дискриминантную функцию. • Если значение дискриминантной функции изучаемого объекта больше граничного значения D 0 то функции изучаемого объекта относят к классу А, в противном случае – к классу В.

Математическое моделирование и прогноз дискриминантным методом (дискриминантный анализ). Исходные геологические данные позволяют выделить в многомерной совокупности два класса А и В, каждый из i объектов которых охарактеризован j значениями признаков Представим эти исходные данные в матричной форме: где N 1 – число объектов, объектов входящий в класс А; N 2 – число объектов, входящих в класс В; k – число признаков, признаков характеризующих каждый объект.

Математическое моделирование и прогноз дискриминантным методом (дискриминантный анализ). Следующий этап построения дискриминантной функции - составление матриц центрированных сумм квадратов и смешанных произведений:

. , Математическое моделирование и прогноз дискриминантным методом (дискриминантный анализ). Вычисляем выборочную матрицу: Обращение этой матрицы позволяет вычислить коэффициенты дискриминантной функции: Для обращения матрицы М найдем ее детерминант и убедимся, что: Как известно, обратная матрица имеет вид: здесь Eij – алгебраическое дополнение элементов матрицы М, определяемый по формуле: где Mik – соответствующий алгебраическому дополнению минор.

Математическое моделирование и прогноз. дискриминантным методом (дискриминантный анализ). , Коэффициенты дискриминантной функции вычисляют по формуле: где cpj – элементы обратной матрицы М-1, Xjcp- средние значения соответствующего признака. Отсюда дискриминантная функция имеет вид: где Xp – текущее значение р-го признака.

Математическое моделирование и прогноз. , дискриминантным методом (дискриминантный анализ). Граничное значение дискриминантной функции, при котором происходит разделение на классы, вычисляем по формуле: ПРОГНОЗ: если фактические значения дискриминантной функции больше граничного значения Dо, т. е. D > Do, этот объект относится к классу А; если D < Do, то объект принадлежит к классу B.

. , Математическое моделирование и прогноз дискриминантным методом (дискриминантный анализ). Надежность разделения проверяют с помощью критерия Фишера при R = A = B. Если - гипотеза о равенстве средних для классов А и В отвергается при уровне значимости α. С вероятностью 1–α можно считать разделение на классы надежным.