Математические методы моделирования в геологии Работайте работайте а

Математические методы моделирования в геологии Работайте, работайте, а понимание придёт потом! Ж. Л. Даламбер 2014 Лекция 2

Условие состоятельности, несмещенности и максимальной эффективности точечных оценок (ТО) числовых характеристик случайной величины (СВ) Из генеральной совокупности большого/бесконечного объема можно выделить много выборок с разными точечными оценками. Необходимо, чтобы ТО ( ) были близки к (T) ИСТИННЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ генеральной совокупности. ТО должны удовлетворять условиям ….

Условие состоятельности, несмещенности и максимальной эффективности ТО числовых характеристик СВ Несмещенная - оценка, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки (не имеющая систематической ошибки). В соответствии с условием несмещенности математическое ожидание оценки должно быть равно оцениваемому параметру: математическое ожидание точечной оценки, Т истинный параметр генеральной совокупности

Условие состоятельности, несмещенности и максимальной эффективности ТО числовых характеристик СВ Рассмотрим соответствие этому условию выражений для значений средней Выражения удовлетворяют условию [], могут быть использованы для ТО средней.

Условие состоятельности, несмещенности и максимальной эффективности ТО числовых характеристик СВ Соответствует ли условию ТО дисперсии? точечная оценка дисперсии Выражения НЕ удовлетворяют условию [], ТО смещена относительно (T) ИСТИННОГО ЗНАЧЕНИЯ дисперсии генеральной совокупности Другая, несмещенная оценка Другая

Условие состоятельности, несмещенности и максимальной эффективности ТО числовых характеристик СВ Состоятельная оценка – оценка, сходящаяся по вероятности к оцениваемому параметру с увеличением объема выборки. Эта оценка может обладать систематической ошибкой при малом объеме выборки, при увеличении объема выборки до бесконечности величина ошибки асимптотически уменьшается до нуля. - дисперсия точечной оценки Для точечной оценки средней Оценка средней СОСТОЯТЕЛЬНА. Оценка дисперсии также СОСТОЯТЕЛЬНА

Условие состоятельности, несмещенности и максимальной эффективности ТО числовых характеристик СВ Максимально эффективная оценка, обладающая минимально возможной дисперсией при фиксированном числе наблюдений. Такая оценка (если она не смещена) наиболее предпочтительна - обеспечивает максимально тесную группировку результатов около ИСТИННОГО ЗНАЧЕНИЯ неизвестного параметра. На практике не всегда удается удовлетворить всем требованиям - выбору оценки должно предшествовать ее критическое рассмотрение со всех точек зрения.

Статистические распределения. Теоретические функции распределения (интегральная, дифференциальная) и формы их изображения. Частота - число появлений события в серии. Относительная частота (частость) - отношение числа появлений события к общему числу опытов в серии. При увеличении числа опытов (объема выборочной совокупности) частость события сходится к его вероятности. Вариационный ряд (ряд распределения) последовательность наблюденных значений дискретной случайной величины (СВ), записанных в возрастающем порядке, и соответствующих им частостей. Вероятность отдельного значения непрерывной величины равна НУЛЮ, повторение некоторых значений - ограниченная точность измерения признака. Ряд распределения непрерывной СВ последовательность интервалов (в которые попадают наблюденные значения) и соответствующие частоты.

Статистические распределения. Ряд распределения непрерывной СВ При увеличении числа опытов (объема выборочной совокупности) частость события сходится к его вероятности.

Статистические распределения. Теоретические функции распределения (интегральная, дифференциальная) и формы их изображения. Закон (функция) распределения - соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями непрерывной СВ и соответствующими им вероятностями. Вероятностный закон - закон распределения. Форма - соответствие каждому значению СВ определенной вероятности (мера возможности данного события).

Статистические распределения. Теоретические функции распределения (интегральная, дифференциальная) и формы их изображения. Функция распределения F(х) выражает вероятность того, что выборочное значение СВ Х окажется меньше некоторого предела, ограниченного х, где х – данная переменная.

Статистические распределения. Теоретические функции распределения (интегральная, дифференциальная) и формы их изображения. Функция плотности распределения f(x) -вероятность попадания выборочного значения СВ Х в заданный интервал от х до х + х.

Статистические распределения. Теоретические функции распределения (интегральная, дифференциальная) и формы их изображения. Дифференциальная функция представляет собой первую производную от Аналитическое выражение кривой интегральной функции плотности распределения

Эмпирические графики функции плотности распределения f(х) и функции распределения F(х) НЕПРЕРЫВНЫХ СВ. По выборочным данным вероятности СС оцениваются по их частостям, рассчитанным для интервалов значений СВ. Эмпирические графики f(х) (гистограммы, полигоны) - по Y: частости, по Х: значения СВ (интервалы). Эмпирические графики F(х) (кумуляты) - по Y: накопленные частости, (суммы частостей по всем классам, где Х меньше заданной переменной х), по о. Х: значения СВ (интервалы).

Эмпирические графики f(х) и F(х) НЕПРЕРЫВНЫХ СВ. Геологические факторы, определяющие вид распределения.

Эмпирические граф. функций f(х) и F(х) ДИСКРЕТНЫХ СВ. . Для дискретной СВ, которая может принимать значения х1, х2, …хn F(х): хi<х – суммирование распространяется на все те возможные значения дискретной величины, которые меньше х. F(х) возрастает скачками при переходе через точки её возможных значений. Величина скачка – вероятность значения х, через которую перешла CВ Х

Эмпирические граф. функций f(х) и F(х) ДИСКРЕТНЫХ СВ. . Эмпирические графики f(х) (гистограммы) - по Y: - частости, по Х: значения СВ. Эмпирические графики F(х) (кумуляты) - по Y: накопленные частости, по Х: значения СВ.

Нормальное распределение. Функция плотности вероятности нормального распределения ПВНР. Построение кривой ПВНР. Распространённый вид распределения г/г/ф параметров – нормальное распределение (распределение Гаусса): - функция ПВНР 2 параметра – М(х) и дисперсия. В идеале: кривая ПВНР симметричная колообразная с колокол максимумом в , мода и медиана совпадают. На практике: говорят: «данная кривая представлена для совокупности, распределение данных которой приближено к нормальному» .

Нормальное распределение. Функция плотности вероятности нормального распределения ПВНР. Вероятность значений, отличающихся от М(х) больше, чем на 3 σ мала, попадание их в выборку ограниченного объема можно считать событием практически невозможным (правило «трех сигм» ). Большинство выборочных значений (95, 45 %) будет находится в интервале от -2σ до +2 σ.

Нормальное распределение. Функция ПВНР. Построение кривой ПВНР.

Моменты нормального распределения. Асимметрия и эксцесс, связь их значений с формой кривой ф-и ПВНР. Значения параметров совокупности (средней, дисперсии) – частные случаи этих общих характеристик. Различают моменты начальные, центральные, нормированные. Начальные моменты вычисляют по формулам (для невзвешенных и сгруппированных данных соответственно):

Моменты нормального распределения. Асимметрия и эксцесс, связь их значений с формой кривой ф-и ПВНР. Начальные моменты (для невзвешенных сгруппированных, соответственно): и

Моменты нормального распределения. Асимметрия и эксцесс, связь их значений с формой кривой ф-и ПВНР. Центральные моменты - средние значения степеней отклонений СВ от математического ожидания:

Моменты нормального распределения. Асимметрия и эксцесс, связь их значений с формой кривой ф-и ПВНР. Нормированные моменты. К = 1, 2, 3, 4 (порядок).

Моменты нормального распределения. Асимметрия и эксцесс, связь их значений с формой кривой ф-и ПВНР. Асимметрия отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратического отклонения

Моменты нормального распределения. Асимметрия и эксцесс, связь их значений с формой кривой ф-и ПВНР. Эксцесс ДЛЯ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭКСЦЕСС И АСИММЕТРИЯ РАВНЫ НУЛЮ

Логнормальное распределение г/гф данных. Основные параметры логнормального распределения. Построение кривой функции плотности вероятности логнормального распределения (ПВЛР). Для некоторых СВ рассеяние около средней возрастает с увеличением значения переменной. СВ имеет резко асимметричный характер. Полигональная кривая распределения проницаемости пласта А горизонта ДI Зеленогорской площади Ромашкинского месторождения

Логнормальное распределение г/гф данных. Основные параметры логнормального распределения. Построение кривой функции ПВЛР. Дисперсия логарифмов значений Среднее значение логарифмов

Построение кривой функции ПВЛР

Основные параметры логнормального распределения

Основные параметры логнормального распределения ДЛЯ ЛОГНОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭКСЦЕСС И АСИММЕТРИЯ БОЛЬШЕ НУЛЯ

. Если все кажется легким – это безошибочно доказывает, что работник весьма мало искусен и что работа выше его разумения. Л. да Винчи.