Математические методы моделирования в геологии 2014 Лекция 5

Математические методы моделирования в геологии 2014 Лекция 5 .

Проверка статистических гипотез о законе распределения Статистические методы решения геологических задач. Вопрос о сходстве или различии геологических объектов проверяется ГИПОТЕЗА о равенстве числовых характеристик и их свойств. Статистическая гипотеза – это предположение о свойствах случайных величин СВ, которое мы хотим проверить по имеющимся данным. Вид или к отдельные параметры распределения СВ.

Проверка статистических гипотез о законе распределения Возможны ошибочные заключения (ограниченный объем и случайный характер). Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной. В результате проверки гипотезы может быть принято правильное или неправильное решение. Ошибки м. б. двух видов: 1) Правильная гипотеза не принята – ошибка ПЕРВОГО рода 2) Ложная гипотеза принята – ошибка ВТОРОГО рода

Проверка статистических гипотез о законе распределения Гипотезы Проверяемая нулевая Н 0 : μ 1 = μ 2; Альтернативная конкурирующая Н 1 : μ 1 ≠ μ 2

Проверка статистических гипотез о законе распределения Если эмпирическое значение попадет в область T 0 то принимаем гипотезу Н 0, если в область T 1 принимаем гипотезу Н 1 Доверительная вероятность Р, определяющая область, в пределах которой правильность принятого решения будет событием практически достоверным. Доверительная область (T 0) соответствующая ей область. Уровень значимости вероятность α=1 -р соответствующая уровню вероятности практически невозможного события, а ее область – критической T 1.

Проверка статистических гипотез о законе распределения Уровень значимости α определяет вероятность ошибки первого рода (правильная гипотеза не принята) и, казалось бы, надо брать α как можно меньше. Рассмотрим альтернативу Н 1: μ 1≠μ 2. Малое значение α при условии, что верна Н 1 будет способствовать ошибочному решению (принятию неверной гипотезы Н 0). Это ошибка второго рода, она тем больше, чем меньше α. Вероятность ошибки второго рода обозначается β. Вероятность 1 β называется мощностью критерия относительно конкурирующей гипотезы. Надо стремиться, чтобы 1 - β была как можно больше. Нужна «золотая середина» . золотая середина

Проверка статистических гипотез о законе распределения Выбор уровня значимости α произволен, ей присваивают одно из стандартных значений: 0, 001; 0, 01; 0. 05. Если вероятность того, что при прыжке с парашютом с самолета парашют не раскроется, равна 0, 01, то такие парашюты применять нельзя, т. к. будет погибать каждый сотый парашютист. При решении геологических задач эта вероятность может считаться достаточно малой. Принятие уровня значимости равным 0, 01 означает, что в одном значимости случае из ста мы рискуем отвергнуть правильную гипотезу. Вероятность ошибки второго рода β принимается равной 5 % ( обычно очень трудно оценить).

Проверка статистических гипотез о законе распределения Одна из наиболее распространенных задач проверка соответствия изучаемой совокупности НОРМАЛЬНОМУ закону распределения. Показателем симметрия. нормального распределения является его Приближенная оценка близости распределения к нормальному вытекает из средних квадратических оценок его асимметрии и эксцесса (соблюдения неравенств):

Проверка статистических гипотез о законе распределения Соответствие совокупности выбранному закону распределения может быть проверено также по критерию Пирсона: где значение критерия; fj – число элементов совокупности, попавших в j-й интервал; Fj – теоретическое число элементов совокупности, соответствующее выбранному закону распределения; n – число интервалов.

Проверка статистических гипотез о законе распределения Если для принятого уровня значимости α при n – 1 степенях свободы теоретическое значение окажется меньше наблюдаемого, то гипотеза о соответствии выбранному закону распределения принимается, т. е. принимается выбранный закон распределения удовлетворительно описывает изучаемую совокупность. Теоретические частоты в каждом интервале. Значения функции плотности вероятности нормального и логнормального распределений соответственно для j-го интервала. Критерий можно использовать и для оценки соответствия совокупностей распределениям других видов.

Проверка гипотез о близости совокупностей Наиболее определенный ответ на вопрос о существенности различий средних и может быть получен путем оценки доверительного интервала распределения их точечных оценок. При сравнении оценок средних случайных величина t распределена по закону Стьюдента с степенями свободы.

Проверка гипотез о близости совокупностей Гипотеза о равенстве средних при выбранном уровне значимости принимается, если.

Проверка гипотез о близости совокупностей Важным показателем близости рассматриваемых совокупностей является несущественность различия их дисперсий. Их отношение распределено по закону который называется распределением Фишера.

Проверка гипотез о близости совокупностей Параметры этого распределения: N 1 – число степеней свободы числителя и N 2 – число степеней свободы знаменателя. Задаваясь уровнем значимости и учитывая число степеней свободы N 1 и N 2, можно определить значение квантиля. Если различие точечных оценок дисперсий несущественно и гипотеза о близости анализируемых совокупностей принимается. График плотности вероятности распределения Фишера

Распределение дискретных совокупностей Биноминальный закон распределения (схема Бернулли) Пусть вероятность совершения события есть р, а вероятность того, что событие не произойдёт q=1 -p. Совершение события считаем успехом, а его отсутствие – неудачей. Тогда число успехов имеет биноминальное распределение. Параметром биноминального распределения является вероятность успеха р. Формула для вероятности k успехов в n испытаниях: В этой формуле р – параметр распределения, n – объем совокупности, k – текущее значение признака, С - биноминальные коэффициенты, которые при k=1, 2, 3, … образуют ряд коэффициентов разложения бинома Ньютона. (→ распределение биноминальное).

Распределение дискретных совокупностей Биноминальный закон распределения - сочетание (1) - относится к используемым в комбинаторике комбинациям, подчиненным определенным условиям, которые можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества В геологии рассчитывают вероятность проявления единичного значения изучаемого признака в случае, когда дискретные совокупности могут быть описаны биноминальным распределением по формуле

Распределение дискретных совокупностей Биноминальный закон распределения - Средним значением (математическим ожиданием) биноминального распределения называют величину: дисперсией стандартным отклонением совокупности Из формул очевидно, что с увеличением п коэффициенты А и Е биноминального распределения стремятся к нулю. При этом само распределение приближается к нормальному. При фиксированном п графики функций биноминального распределения в зависимости от р приведены на рисунках При р =0. 5 биноминальное распределение становится симметричным

Распределение дискретных совокупностей Биноминальный закон распределения P=22/79=0, 28 1 -p=1 -0, 28=0, 72 Особенность этого распределения является то, что с увеличением k вероятность возрастает, достигает максимума при наивероятнейшем значении k =M и затем снова убывает. На Павловской площади Ромашкинского месторождения N=79 скважинами на разных участках площади пройден горизонт ДII. При этом оказалось, что в К=22 скважинах горизонт ДII представлен неколлекторами. Допустим, что требуется пробурить специально на горизонт ДII еще n=5 скважин. Спрашивается, каково наиболее вероятное число M скважин, могущих попасть в зоны отсутствия коллекторов горизонта ДII. Данные 79 уже пробуренных скважин показывают, что вероятность попадания любой новой скважины в зону отсутствия коллектора характеризуются величиной р

Распределение дискретных совокупностей Биноминальный закон распределения Особенность этого распределения является то, что с увеличением k вероятность возрастает, достигает максимума при наивероятнейшем значении k =M и затем снова убывает. P=22/79=0, 28 В нашем примере n=5; k=0, 1, 2, 3, 4, 5. 1 -p=1 -0, 28=0, 72 Вероятность того, что ни одна скважина не График биноминального попадет в зону отсутствия коллекторов распределения на равна примере изучения вероятности попадания новой скважины в зону отсутствия коллектора

Распределение дискретных совокупностей Закон распределения Пуассона Если число испытаний велико, а вероятность появления случайного события в каждом испытании очень мала, то для описания вероятностей того, что событие А в серии из п испытаний произойдет k раз, используется распределение Пуассона. Совокупность может быть описана формулой Пуассона, где – Р- вероятность; λ – единственный параметр распределения, вычисляемый по формуле

Распределение дискретных совокупностей Закон распределения Пуассона Рассмотрим особенности распределения Пуассона на примере распределения нефтегазопроявлений, полученных во время опробования отложений баталпашинской свиты Ставропольского края. Гистограмма нефтегазопроявлений при опробовании отложений баталпашинской свиты отдельных площадей Ставропольского края при k=0 при k=1 при k=2 при k=3 при k=4 P(0; 0, 89)= 0, 410655753; P(1; 0, 89)= 0, 36548362; P(2; 0, 89)= 0, 162640211; P(3; 0, 89)= 0, 048249929; P(4; 0, 89)= 0, 010735609. Анализ гистограммы позволил выделить пять основных продуктивных пласта (III, IV, V, VII), с которыми связано большинство нефтегазопроявлений, и в том числе практически промышленные притоки нефти и газа. Вероятность нефтегазопроявлений в каждом из комплексов можно оценить по формуле Пуассона, теоретическую частоту -. Например, теоретическая частота нефтегазопроявлений в III пласте баталпашинской свиты (k=0) равна при фактической частоте, равной 40. Распределение Пуассона в целом удовлетворительно описывает изучаемые совокупности и позволяет оценить вероятность нефтегазопроявлений и перспективность каждого из комплексов на современной стадии их изучения, при современной глубине поисковых и разведочных скважин.