Математические и логические основы информатики МЛОИ Факультет Прикладная

Математические и логические основы информатики (МЛОИ) Факультет «Прикладная информатика» Кафедра «Компьютерных технологий и систем» Курс - 1, семестр -1 Лекций -22 часа Лабораторных занятий - 32 часа Отчетность – экзамен

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА ОСНОВНАЯ: 1. Андреева Е. В. , Босова Л. Л. , Фалина И. Н. Математические основы информатики. Учебное пособие. - М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005 2. Колесников Н. Г. Математические и логические основы компьютерных систем. - Куб. ГАУ, 2000 3. Лихтарников Л. М. , Сукачева Т. Г. Математическая логика. Курс лекций. Задачник-практикум и решения. - СПб. : Издво "Лань", 1998. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ: 1. Кук Д. , Бейз Г. Компьютерная математика. – М. : Наука, 1990. 2. Никольская И. Л. Математическая логика. -М. : Высшая школа, 1981. 3. Эдельман С. Л. Математическая логика. -М. : Высшая школа, 1975.

Лекция № 1 Арифметические основы информатики Учебные вопросы: 1. Виды систем счисления. 2. Порядок представления системах счисления. чисел в позиционных 3. Правила перевода чисел из недесятичной системы счисления в десятичную и обратно. 4. Специальные приемы перевода

1. Виды систем счисления Системы счисления непозиционные традиционные позиционные смешанные нетрадиционные

Примеры позиционных систем счисления Система счисления Основание Базис Двоичная (D 2) 2 0, 1 Троичная (D 3) 3 0, 1, 2 Восьмеричная (D 8) 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Шестнадцатеричная (D 16) 16 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F Факториальная НЕТ 1 - Й РАЗРЯД: 0, 1 2 - Й РАЗРЯД: 0, 1, 2 3 - Й РАЗРЯД: 0, 1, 2, 3 … Фибоначчиева НЕТ 0, 1 Уравновешенная троичная 3 -1, 0, 1

2. Порядок представления чисел в позиционных системах счисления Традиционные позиционные системы счисления Любое рациональное число A можно представить в виде: an-1 an-2…a 2 a 1 a 0 a-1 a-2…a-m где ai – цифры базиса. Это свернутая форма записи числа. Разложим десятичное число в виде полинома: A = an-110 n-1+a n-210 n-2+…+a 2 102 +a 1101+a 0100+ + a -1101+a 10 -2+…+a 10 -m -2 -m где n – число знаков в целой части числа А, m - в дробной Это развернутая форма записи числа. Например: 140610 = 1 103 + 4 102 + 0 101 + 6 100; 2, 80110 = 2 100 + 8 10 -1 + 0 10 -2 + 1 10 -3

Примеры представления десятичных чисел в нетрадиционных позиционных системах счисления Десятичная система счисления Факториальная система счисления Фибоначчиева система счисления 10 120 ф 50 ф 26 ф 10010 fib 1110 fib 30 500 ф 406 ф 1001101 fib 1010001 fib 1111010 fib 120 ф = 0 x 1!+2 x 2!+1 x 3! = 10 50 ф = 0 x 1!+5 x 2! = 10 26 ф = 6 x 1!+2 x 2! = 10 10010 fib = 2+8 =10 1110 fib = 2+3+5 =10 500 ф = 0 x 1!+0 x 2!+5 x 3! = 30 406 ф = 6 x 1!+0 x 2!+4 x 3! = 30 1001101 fib= 1+3+5+21 = 30 1010001 fib= 1+8+21 = 30 111101 fib= 1+3+5+8+13 = 30

Основные законы традиционных позиционных систем счисления § любая их этих систем счисления однозначно определяется основанием и базисом; § любое натуральное число, большее 1, может служить основанием новой системы счисления; § основание никогда не входит в базис системы; § представление чисел в любых системах определено единственным образом; § любое число единственным образом может быть разложено в полином по степеням основания системы с коэффициентами из ее базиса.

3. Правила перевода чисел из недесятичной системы счисления в десятичную Общий вид полиномиального представления числа в q-ричной системе счисления будет следующим: А(q) = bn-1 qn-1 + bn-2 qn-2 +…+ b 2 q 2 + b 1 q 1 + b 0 q 0 + b-1 q -1 + b-2 q -2 +…+ b -mq -m. Примеры перевода чисел из недесятичных систем счисления в десятичную : 1101, 012 = 1 23+1 22+0 21+1 20+0 2 -1+1 2 -2 = =8+4+0+1+0+0, 25 = 13, 2510 7168 = 7 82+1 81+6 80 =7 64+1 8+6 1 = 46210 A 5, С 16 = 10 161+5 160+12 16 -1 = =10 16+5 1+12/16=165, 7510

Правила перевода целых чисел из десятичной системы счисления в недесятичные

Правила перевода дробных чисел из десятичной системы счисления в недесятичные

4. Специальные приемы перевода чисел из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную, и обратно Правило перевода чисел из двоичной системы в восьмеричную Двоичное число разбивается влево и вправо от запятой (отделяющей целую часть число от его дробной части) на триады. Самая левая и самая правая триады при необходимости дополняются слева и справа необходимым количеством нулей. Каждая триада заменяется соответствующей ей восьмеричной цифрой. В результате получается искомое восьмеричное число. Пример: переведите в восьмеричную систему двоичное число 10101001001, 100100001(2).

Таблица десятичных эквивалентов Десятичный эквивалент Системы счисления D 8 - D 2 D 16 - D 2 0 0 – 0000 1 1 – 0001 2 2 – 010 2 – 0010 3 3 – 011 3 – 0011 4 4 – 100 4 – 0100 5 5 – 101 5 – 0101 6 6 – 110 6 – 0110 7 7 - 111 7 – 0111 8 8 – 1000 9 9 – 1001 10 A – 1010 11 B – 1011 12 C – 1100 13 D – 1101 14 E – 1110 15 F - 1111

Правило перевода чисел из восьмеричной системы в двоичную Каждая восьмеричная цифра числа заменяется соответствующей ей двоичной триадой (см. табл. ) Запятая в числе (если она есть) остается на месте. В результате получается искомое двоичное число. Пример: переведите в двоичную систему восьмеричное число 167, 54(8).

Перевод чисел из двоичной системы в шестнадцатеричную Двоичное число разбивается влево и вправо от запятой (отделяющей целую часть число от его дробной части) на тетрады. Самая левая и самая правая тетрады при необходимости дополняются слева и справа необходимым количеством нулей. Каждая тетрада заменяется соответствующей ей шестнадцатеричной цифрой (см. табл. ). В результате получается искомое шестнадцатеричное число. Пример: переведите в шестнадцатеричную систему число 10101001001, 100100001(2).

Правило перевода чисел из шестнадцатеричной системы в двоичную Каждая шестнадцатеричная соответствующей ей цифра двоичной числа тетрадой заменяется (см. табл. ). Запятая в числе (если она есть) остается на месте. В результате получается искомое двоичное число. Пример: переведите в двоичную систему шестнадцатеричное число A 6 F, D 4(16).

Правило перевода чисел из шестнадцатеричной системы в восьмеричную и обратно Каждая шестнадцатеричная цифра числа заменяется соответствующей ей двоичной тетрадой (см. табл. ). Запятая в числе (если она есть) остается на месте. Полученное двоичное число разбивается влево и вправо от запятой (отделяющей целую часть число от его дробной части) на триады. Самая левая и самая правая триады при необходимости дополняются слева и справа соответствующим количеством нулей. Каждая триада заменяется соответствующей ей восьмеричной цифрой (см. табл. ). В результате получается искомое восьмеричное число.