МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ПОДДЕРЖКИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ Лекции

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ПОДДЕРЖКИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ Лекции 6 -7. Нечеткие модели.

Принятие решений в условиях неопределенности Исторически первым способом учета неопределенности было изобретение вероятностей Лица, специализирующиеся на азартных играх, были заинтересованы в оценке частот тех или иных исходов выпадения игральных костей или комбинаций карт, чтобы, реализуя серию из достаточного числа игр, придерживаться определенных фиксированных игровых стратегий ради достижения некоторого (пусть даже небольшого) выигрыша. При этом с самого начала было ясно, что исследованная частота тех или иных исходов не есть характеристика единичного события (одной игры), а полного их множества, позднее названного генеральной совокупностью событий.

Наиболее оправданным применение оказалось там, где речь шла об однородных событиях массового характера, а именно – в теории массового обслуживания и в технической теории надежности. Однако, начиная с 50 -х годов, в академической науке появились работы, Однако ставящие под сомнение тотальную применимость вероятностной теории к учету неопределенности. Авторы этих работ закономерно отмечали, что классическая вероятность аксиоматически определена как характеристика генеральной совокупности статистически однородных случайных событий. В том случае, если статистической однородности нет, то применение классических вероятностей в анализе оказывается незаконным. Реакцией на эти вполне обоснованные замечания стали фундаментальные работы Сэвиджа, Пойа, Кайберга, Фишберна, де Финетти и других, где обосновывалось введение неклассических вероятностей, не имеющих частотного смысла, а выражающих познавательную активность исследователя случайных процессов или лица, вынужденного принимать решения в условиях дефицита информации.

Так появились субъективные (аксиологические) вероятности. При этом подавляющее большинство вероятности научных результатов из классической теории вероятностей перекочевало в теорию аксиологических вероятностей. Однако появление неклассических вероятностей не было единственной реакцией на возникшую проблему. Необходимо отметить также всплеск интереса к минимаксным подходам. Минимаксные подходы ставят своей целью отказаться от учета неопределенности «весовым методом» . То есть, когда оценивается некий ожидаемый интегральный эффект, его формула не представляет собой свертки единичных эффектов, когда в качестве весов такой свертки выступают экспертные оценки или вероятности реализации этих эффектов.

Из всего поля допустимых реализаций (сценариев) минимаксные методы выбирают два, при которых эффект принимает последовательно максимальное или минимальное значение. При этом лицу, принимающему решения (ЛПР), ставится в обязанность отреагировать на ситуацию таким образом, чтобы добиться наилучших результатов в наихудших условиях. Считается, что такое поведение ЛПР является наиболее оптимальным. Оппонируя минимаксным подходам, исследователи замечают, что ожидаемость наихудших сценариев может оказаться крайне низкой, и настраивать систему принятия решений на наихудший исход означает производить неоправданно высокие затраты и создавать необоснованные уровни всевозможных резервов.

Дальнейшие попытки решить проблему выбора оптимальной стратегии при разумных затратах привели к появлению теории нечетких множеств, множеств впервые фундаментально описанной в работах Лотфи А. Заде в 60 -х годах XX века. Первоначальным замыслом этой теории было построение функционального соответствия между нечеткими лингвистическими описаниями (типа «высокий» , «теплый» и т. д. ) и специальными функциями, выражающими степень принадлежности значений измеряемых параметров (длины, температуры, веса и т. д. ) упомянутым нечетким описаниям. Были введены так называемые лингвистические вероятности – вероятности, заданные не количественно, а при помощи нечеткосмысловой оценки. Впоследствии диапазон применимости теории нечетких множеств существенно расширился. Сам Заде определил нечеткие множества как инструмент построения теории возможностей. С тех пор научные категории случайности и возможности, вероятности и ожидаемости получают теоретическое разграничение.

Основы нечетких моделей Элементами мышления человека являются не числа, а элементы некоторых нечетких множеств или классов объектов, для которых переход от «принадлежности к классу» к «непринадлежности» не скачкообразен, а непрерывен. В основе процесса мышления человека лежит не традиционная двузначная или даже многозначная логика, а логика с нечеткой истинностью, нечеткими связями и нечеткими правилами вывода. Поэтому для действенного анализа гуманистических систем нужны подходы, для которых точность, строгость и математический формализм не являются чем-то необходимым и в которых используется методологическая схема, допускающая нечеткости и частичные истины.

Основы нечетких моделей 190 180 170 160 150 Классический подход Нечеткий подход высокий низкий

Основы нечетких моделей Нечеткие модели имеют следующие отличительные черты: черты § Использование так называемых «лингвистических» переменных, вместо числовых переменных или в дополнение к ним; Простые отношения между переменными описываются с помощью нечетких высказываний; Сложные отношения между переменными описываются нечеткими алгоритмами. § § Применение нечетких моделей целесообразно в случаях, когда имеется недостаточность и неопределенность знаний об исследуемой системе, например если: § получение информации: сложно, трудно, долго, дорого, невозможно, источником основной информации являются: экспертные данные, эвристические описания процессов функционирования, информация о системе разнокачественная, или оценка параметров проводится с использованием разных шкал. § §

Базовые и нечеткие значения переменных Система – совокупность абстрактных сущностей или объектных переменных. v v В качестве объектной переменной может выступать: одно значение из базовых; одно или несколько значений из нечетких.

Множество базовых значений Дата Температура Цена или зарплата Множество нечетких значений

При этом различные элементы из множества нечетких значений в различной степени могут быть применимы к конкретному элементу из множества базовых значений. Например, для каждого дня недели из множества базовых значений «Пн, Вт, Ср, Чт, Пт, Сб, Вс» можно выбрать одно или несколько значений из множества «начало недели, середина недели, конец недели» , при этом такой выбор будет характеризоваться различной степенью применимости:

Базовое значение Понятие не применимое возможное допустимое подходящее ПН Середина недели конец недели нет начало недели ВТ конец недели середина недели начало недели нет СР начало недели конец недели нет середина недели ЧТ начало недели конец недели середина недели нет ПТ начало недели середина недели нет конец недели нет СБ начало недели середина недели нет конец недели ВС начало недели середина недели нет конец недели

Основные определения Функция принадлежности нечёткого множества задает степень принадлежности каждого элемента х пространства рассуждения U к данному нечёткому множеству А. По сути, функция принадлежности нечёткого множества представляет собой обобщение характеристической функции классического множества, которая принимала значения 0 или 1. 1 0, 7 0, 5 х1 х2 х3 х4 х5 х Функция принадлежности количественно градуирует принадлежность элементов фундаментального множества пространства рассуждения нечёткому множеству А. Значение « 0» означает, что элемент не включен в нечёткое множество, « 1» – описывает полностью включенный элемент. Значения между « 0» и « 1» характеризуют нечётко включенные элементы.

Нечеткое множество А – совокупность пар , где U – область Носитель (основа) S(A) нечеткого множества А – четкое множество таких точек в U, для которых Если на всем S(A), то А – обычное четкое множество.

Высота h(A) нечеткого множества А – величина супремума для значений функции принадлежности множества А области рассуждений U. 1 Если , то множество А называется нормальное, иначе – субнормальное. х3 Нечеткое множество А называется пустым, если пустым Нечеткое множество А называется унимодальным – если только для единственного. х

Непустое субнормальное множество А можно нормализовать по правилу: правилу 1 0, 7 0, 5 х1 х3 Точка перехода нечеткого множества А – элемент х5 х Четкое множество А*, ближайшее к нечеткому множеству А задается при помощи функции принадлежности

Нечеткое множество А называется одноточечным, если его носитель состоит одноточечным из единственной точки, обозначается . Следовательно, любое нечеткое множество А можно рассматривать как объединение составляющих его одноточечных множеств а при бесконечном числе элементов:

Нечеткие множества А и В равны, если значение функции равны принадлежности любого элемента к множеству А равно значению функции принадлежности этого элемента к множеству В. 1 0, 5 х1 х3 х5 х Нечеткое множество А содержится в нечетком множестве В (является подмножеством В) если значение функции принадлежности любого элемента к множеству А меньше или равно значению функции принадлежности этого элемента к множеству В. высокий 1 0, 9 громадный 0, 2 150 160 170 180 190 200 210 рост

Операция «пересечение» Пересечение множеств в теории четких множеств — это множество, состоящее из элементов, которые принадлежат одновременно всем данным множествам. Для определения пересечения нечетких множеств наибольшей популярностью пользуются следующие три группы операций: Максиминная Алгебраическая Ограниченная

Операция «объединение» Объединение множеств в теории четких множеств — это множество, содержащее в себе все элементы исходных множеств. Для определения объединения нечетких множеств наибольшей популярностью пользуются следующие три группы операций: Максиминная Алгебраическая Ограниченная

Операции «концентрирование» и «растяжение» Степенью е нечеткого множества А называется нечеткое множество Операция концентрации В общем случае: В частном случае: Операция растяжения В общем случае: В частном случае: Результатом применения операции концентрирования к нечеткому множеству А является уменьшение степени принадлежности элементов к этому множеству, и происходит оно в квадратичной зависимости. В естественном языке применение операции концентрирования к значению лингвистической переменной соответствует использованию усиления «очень» . очень Операция растяжения повышает степень нечеткости описания В естественном языке применение операции концентрирования к значению лингвистической переменной соответствует использованию слов «достаточно» или «более-менее» . достаточно более-менее μ х

Операция отрицание Пусть задано некоторое отображение . Это отображение будет называться оператором отрицания в теории нечетких множеств, если выполняются следующие условия: 1. 2. Классическое отрицание Квадратичное отрицание Отрицание Сугено Дополнение порогового типа

Лингвистическая переменная Лингвистическая переменная – переменная, значением которой являются слова или предложения естественного или искусственного языка. Например, «возраст» – лингвистическая переменная, если она принимает значения «молодой» , «немолодой» , «старый» , «не очень старый» и т. д. Лингвистическая переменная описывается набором , где х – название переменной Т(х) – совокупность ее лингвистических значений (терм-множеств), т. е. множество названий лингвистических значений переменной х, причем каждое из таких значений является нечеткой переменной со значениями из универсального множества U U – универсальное множество G – синтаксическое правило, порождающее термины множества Т(х), т. е. названия значений переменной X M – семантическое правило, которое ставит в соответствие каждой нечеткой переменной ее смысл M( ), т. е. нечеткое подмножество M( ) универсального множества U

Пример Рассмотрим лингвистическую переменную с именем х = «температура в комнате» . Тогда комнате» оставшуюся четверку , можно определить так: 1) универсальное множество U=[5, 35]; 2) терм-множество T={ «холодно» , «комфортно» , «жарко» } с соотв функциями принадлежности 3) синтаксическое правило G, порождающее новые термы с использованием квантификаторов «и» , «или» , «не» , «очень» , «более-менее» и других; 4) семантическое правило М будет являться процедурой, ставящей каждому новому терму в соответствие нечеткое множество из X по правилам, заданным в таблице: Квантификатор не t очень t более-менее t Аи. В А или В Функция принадлежности

Приближенные рассуждения Под приближенными рассуждениями понимается процесс, при котором из нечетких посылок получают некоторые следствия, возможно, тоже нечеткие. Приближенные рассуждения лежат в основе способности человека понимать естественный язык, разбирать почерк, играть в игры, требующие умственных усилий, в общем, принимать решения в сложной и не полностью определенной среде. Эта способность рассуждений в качественных, неточных терминах отличает интеллект человека от интеллекта вычислительной машины. Основным правилом вывода в традиционной логике является правило modus ponens, согласно которому мы судим об истинности высказывания В ponens по истинности высказываний А и А→В. Например, если А — высказывание «Джон в больнице» , В — высказывание «Джон болен» , то если истинны высказывание «Джон в больнице» и правило «Если Джон в больнице, то он болен» , то истинно и высказывание «Джон болен» .

Правило modus ponens Пусть А и В — нечеткие высказывания и — соответствующие им функции принадлежности. Тогда импликации А→В будет соответствовать некоторая функция принадлежности. В традиционной (четкой) логике Тогда В нечеткой логике существует НЕСКОЛЬКО правил расчета функции .

Импликация Larsen Lukasiewicz Mamdani Standard Strict (Godel) Gaines Kleene-Dienes-Lu

Нечеткая база знаний Логико-лингвистические методы описания систем основаны на том, что поведение исследуемой системы описывается в естественном (или близком к естественному) языке в терминах лингвистических переменных. Входные и выходные параметры системы рассматриваются как лингвистические переменные, а качественное описание процесса задается совокупностью высказываний следующего вида: L 1: если A 11 и/или A 21 и/или. . . и/или A 1 m, то B 11 и/или. . . и/или B 1 n, L 2: если A 21 и/или A 22 и/или. . . и/или A 2 m, то B 21 и/или. . . и/или B 2 n, . . Lk: если Ak 1 и/или Ak 2 и/или. . . и/или Akm, то Bk 1 и/или. . . и/или Bkn, где Aij, i=1, 2…, k j=1, 2, …, m — нечеткие высказывания, определенные на значениях входных лингвистических переменных, а Bij, i=1, 2…, k j=1, 2, …, m — нечеткие высказывания, определенные на значениях выходных лингвистических переменных. Эта совокупность правил носит название нечеткой базы знаний

Нечеткий логический вывод Нечетким логическим выводом (fuzzy logic inference) называется аппроксимация зависимости Y=f(X 1, X 2, …, Xn) каждой выходной лингвистической переменной от входных лингвистических переменных и получение заключения в виде нечеткого множества, соответствующего текущим значениям входов, с использованием нечеткой базы знаний и нечетких операций (основу нечеткого логического вывода составляет композиционное правило Заде). Функциональная схема процесса нечеткого вывода в упрощенном виде:

Этапы нечеткого логического вывода 1) этап фаззификации С помощью функций принадлежности всех термов входных переменных и на основании задаваемых четких значений из универсумов входных лингвистических переменных определяются степени уверенности в том, что выходная лингвистическая переменная принимает конкретное значение. Эта степень уверенности есть ордината точки пересечения графика функции принадлежности терма и прямой х=четкое значение лингвистической переменной. 2) этап непосредственного нечеткого вывода На основании набора правил – нечеткой базы знаний – вычисляется значение истинности для предпосылки каждого правила на основании конкретных нечетких операций, соответствующих конъюнкции или дизъюнкции термов в левой части правил. В большинстве случаев это либо максимум, либо минимум из степеней уверенности термов, вычисленных на этапе фаззификации, который применяется к заключению каждого правила. Используя один из способов построения нечеткой импликации, получается нечеткая переменная, соответствующая вычисленному значению степени уверенности в левой части правила и нечеткому множеству в правой части правила.

Этапы нечеткого логического вывода 3) этап композиции Все нечеткие множества, назначенные для каждого терма каждой выходной лингвистической переменной, объединяются вместе, и формируется единственное нечеткое множество – значение для каждой выводимой лингвистической переменной. Обычно используются функции MAX и SUM. 4) этап дефаззификации (необязательный) Используется тогда, когда полезно преобразовать нечеткий набор значений выводимых лингвистических переменных к точным. Имеется достаточно большое количество методов перехода к точным значениям.

Методы дефаззификации COG (Center Of Gravity) – «центр тяжести» . Физическим аналогом этой формулы является нахождение центра тяжести плоской фигуры, ограниченной осями координат и графиком функции принадлежности нечеткого множества. Если множество , то центр тяжести определяется по формуле MOM (Mean Of Maximum) – «центр максимумов» . При использовании метода центра максимумов требуется найти среднее арифметическое элементов универсального множества, имеющих максимальные степени принадлежностей. First Maximum – «первый максимум» – максимум функции принадлежности с наименьшей абсциссой.

Пример Пусть есть некоторая система, например, реактор, описываемая тремя параметрами: температура, давление и расход рабочего вещества. Все показатели измеримы, и множество возможных значений известно. Также из опыта работы с системой известны некоторые правила, связывающие значения этих параметров. Предположим, что сломался датчик, измеряющий значение одного из параметров системы, но знать его показания необходимо хотя бы приблизительно. Тогда встает задача об отыскании этого неизвестного значения (пусть это будет давление) при известных показателях двух других параметров (температуры и расхода) и связи этих величин в виде следующих правил: если Температура низкая и Расход малый, то Давление низкое; если Температура средняя, то Давление среднее; если Температура высокая или Расход большой, то Давление высокое. В нашем случае Температура, Давление и Расход – лингвистические переменные.

Температура. Универсум (множество возможных значений) – отрезок [0, 150]. Начальное множество термов {Высокая, Средняя, Низкая}. Функции принадлежности термов имеют следующий вид: Давление. Универсум – отрезок [0, 100]. Начальное множество термов {Высокое, Среднее, Низкое}. Функции принадлежности термов имеют следующий вид:

Расход. Универсум – отрезок [0, 8]. Начальное множество термов {Большой, Средний, Малый}. Функции принадлежности термов имеют следующий вид: Пусть известны значения: Температура = 85 Расход = 3, 5. Произведем расчет значения давления. Последовательно рассмотрим этапы нечеткого вывода

Этапы нечеткого логического вывода 1) этап фаззификации С помощью функций принадлежности всех термов входных переменных и на основании задаваемых четких значений из универсумов входных лингвистических переменных определяются степени уверенности в том, что выходная лингвистическая переменная принимает конкретное значение. Эта степень уверенности есть ордината точки пересечения графика функции принадлежности терма и прямой х = четкое значение лингвистической переменной.

Сначала по заданным значениям входных параметров найдем степени уверенности простейших утверждений вида «лингвистическая переменная А есть терм лингвистической переменной А» . Получаем следующие степени уверенности: Температура Высокая – 0, 7 Температура Средняя – 1 Температура Низкая – 0, 3 85 85 85 Расход Большой – 0 Расход Средний – 0, 75 Расход Малый – 0, 25 3, 5

Этапы нечеткого логического вывода 2) этап непосредственного нечеткого вывода На основании набора правил – нечеткой базы знаний – вычисляется значение истинности для предпосылки каждого правила на основании конкретных нечетких операций, соответствующих конъюнкции или дизъюнкции термов в левой части правил. В большинстве случаев это либо максимум, либо минимум из степеней уверенности термов, вычисленных на этапе фаззификации, который применяется к заключению каждого правила. Используя один из способов построения нечеткой импликации, получается нечеткая переменная, соответствующая вычисленному значению степени уверенности в левой части правила и нечеткому множеству в правой части правила.

Вычислим степени посылок правил: 1. Температура низкая и Расход малый: min(Температура Низкая, Расход Малый) = min(0. 3, 0. 25) = 0, 25 2. Температура Средняя: 1 3. Температура Высокая или Расход Большой: max(Температура Высокая, Расход Большой) = max(0. 7, 0) = 0, 7 Каждое из правил представляет из себя нечеткую импликацию. Степень уверенности посылки мы вычислили, а степень уверенности заключения задается функцией принадлежности соответствующего терма. Поэтому, используя один из способов построения нечеткой импликации, мы получим новую нечеткую переменную, соответствующую степени уверенности в значении выходных данных применении к заданным входным соответствующего правила.

1. Температура низкая и Расход малый = 0, 25 Давление - низкое 2. Температура Средняя = 1 Давление - среднее 3. Температура Высокая или Расход Большой = 0, 7 Давление - высокое Используя определение нечеткой импликации как минимума левой и правой частей (по определению Mamdani, при других способах вычисления импликации решение другое), имеем:

Этапы нечеткого логического вывода 3) этап композиции Все нечеткие множества, назначенные для каждого терма каждой выходной лингвистической переменной, объединяются вместе, и формируется единственное нечеткое множество – значение для каждой выводимой лингвистической переменной. Обычно используются функции MAX и SUM. 4) этап дефаззификации (необязательный) Используется тогда, когда полезно преобразовать нечеткий набор значений выводимых лингвистических переменных к точным. Имеется достаточно большое количество методов перехода к точным значениям.

Методы дефаззификации COG (Center Of Gravity) – «центр тяжести» . Физическим аналогом этой формулы является нахождение центра тяжести плоской фигуры, ограниченной осями координат и графиком функции принадлежности нечеткого множества. Если множество , то центр тяжести определяется по формуле MOM (Mean Of Maximum) – «центр максимумов» . При использовании метода центра максимумов требуется найти среднее арифметическое элементов универсального множества, имеющих максимальные степени принадлежностей. First Maximum – «первый максимум» – максимум функции принадлежности с наименьшей абсциссой.

Теперь необходимо объединить результаты применения всех правил. Метод первого максимума: давление = 50 Применяя метод первого максимума к полученной функции принадлежности, получаем, что значение давления = 50. таким образом, если мы знаем, что температура равна 85, а расход рабочего вещества – 3, 5, то можем сделать вывод, что давление в реакторе равно примерно 50. На лабораторной работе значение давления необходимо считать методом COG (Center Of Gravity)