Математическая теория координации Общая теория координации для систем

Математическая теория координации. Общая теория координации для систем оптимизации при отсутствии ограничений Подготовили: студенты группы ИК 92 Кобылинский Б. А. Котляренко И. О. Остапова А. А. Чернявский Д. Ю.

ФОРМИРОВАНИЕ ЛОКАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ КАЧЕСТВА И ИХ МОДИФИКАЦИЯ Получение локальных функций качества Способом получения локальных функций качества является выделение тех частей глобальной функции качества, которые зависят только от локальных переменных. Для выполнения этой задачи имеются два пути. Локальные ограничения

ФОРМИРОВАНИЕ ЛОКАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ КАЧЕСТВА И ИХ МОДИФИКАЦИЯ Декомпозиция Другой путь получения локальных функций качества состоит в декомпозиции глобальной функции качества. При этом приниимается во внимание соотношение между входами и выходами всего процесса. Модификация локальных функций качества Этот принцип может понадобиться по двум причинам: • когда каждому локальному решающему элементу задается заранее только одна функция качества; • когда для каждого локального решающего элемента имеется семейство функций качества, то система не обязательно будет координируема с помощью принципа координации.

ФОРМИРОВАНИЕ ЛОКАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ КАЧЕСТВА И ИХ МОДИФИКАЦИЯ Модификации с помощью пар «вход - выход» Если локальные функции качества получаются путем наложения ограничений на пары «вход – выход» , то представляется естественным использовать эти пары «вход – выход» как средства для модификации и, следовательно, координации.

ФОРМИРОВАНИЕ ЛОКАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ КАЧЕСТВА И ИХ МОДИФИКАЦИЯ Операторы оценки эффекта косвенного эффекта управляющих воздействий Укажем теперь, как можно использовать операторы оценки косвенного эффекта управляющих воздействий для модификации локальных функций качества.

КООРДИНИРУЕМОСТЬ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ПРИНЦИПА СОГЛАСОВАНИЯ Под координируемостью с использованием тех или иных припципов согласования понимается следующее:

КООРДИНИРУЕМОСТЬ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ПРИНЦИПА СОГЛАСОВАНИЯ Системы с межуровневой согласованностью Теорема 5. 12 Припцип согласования взаимодействий применим для рассматриваемой двухуровневой систсмы тогда и только тогдa, когда для нее применим принцип согласования функций качества. Теорема 5. 13 Двухуровневая системa координации на основе принципа согласования взаимодействий тогда и только тогда, когда она координируема на основе принципа согласования функций качества. Теорема 5. 14 Принцип согласования взаимодействий применим для всякой двухуровневой системы, обалдающей межуровневой согласованностью.

КООРДИНИРУЕМОСТЬ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ПРИНЦИПА СОГЛАСОВАНИЯ Теорема 5. 15 Предположим, что для каждого координирующего сигнала β в рассматриваемой двухуровневой системе и любого i, 1 ≤ I ≤ n, имеет место всякий раз, когда существует его правая часть. Тогда наличие в системе сежуровневой согласованности как необходимо, так и достаточно для применимости принципа согласования взаимодействий. Теорема 5. 16 Для того, чтобы система была координируемой при использовании этого принципа, она должна обладать локальной согласованностью. Теорема 5. 17 Предположим, что удовлетворяются условия теоремы 5. 15. Тогда наличие в системе локальной согласованности будет как необходимым, так и достаточным условием для координируемости на основе принципа согласования взаимодействий.

КООРДИНИРУЕМОСТЬ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ПРИНЦИПА СОГЛАСОВАНИЯ Теорема 5. 18 Предположим, что система удовлетворяет условиям теоремы 5. 15. Тогда наличие в системе одновременно межуровневой и локальной согласованности необходимо и достаточно для кординируемости на основе принципа согласования взаимодействий Системы, обладающие свойством монотонности Теорема 5. 19 Принцип согласования взаимодействий применим для любой двухуровневой системы, обладающей свойством монотонности. Теорема 5. 20 Предположим, что двухуровневая система при некотором координирующем сигнале обладает монотонной межуровневой функцией ψ. Тогда принцип согласования взаимодействий применим, если модификация локальных функций качества является ψ -согласованной.

КООРДИНИРУЕМОСТЬ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ПРИНЦИПА СОГЛАСОВАНИЯ Теорема 5. 21 Двухуровневая система, обладающая свойством монотонности, координируема на основе принципа согласования взаимодействий, только если выполняется следующее равенство: (5. 29) Теорема 5. 22 Предположим, что межуровневые функции двухуровневой системы строго монотонны. Тогда условие (5. 29) необходимо и достаточно для координируемости на основе принципа согласования взаимодействий. Теорема 5. 23 Предположим, что межуровневые функции данной двухуровневой системы строго монотонны, и неравенство: выполняется для всех (m, u) из M x U. Тогда существование седловой точки g является одновременно необходимым и достаточным условием для координируемости.

КООРДИНИРУЕМОСТЬ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ПРИНЦИПА СОГЛАСОВАНИЯ Теорема 5. 24 Пусть в данной двухуровневой системе, обладающей свойством монотонности, групповая операция на множестве оценок сохраняет порядок. Тогда любой компенсирующий координирующий сигнал β должен удовлетворять неравенству: Теорема 5. 25 Допустим, что двухуровневая система обладает аддитивной глобальной функцией качества и используются модификации локальныx функций качества с нулевой суммой. Тогда, для того чтобы данный координирующий сигнал β был компенсирующим, необходимо и достаточно, чтобы β удовлетворяло неравенству:

Координируемость при использовании принципа прогнозирования взаимодействия

Два случая: 1)Координация путем изменения целей не используется. 2)Координация путем изменения целей в соответствии с прогнозом связующих входов.

Координируемость при фиксированных целях • Соответствующие целевые свойства, необходимые для координируемости, представляют собой свойства ограниченной согласованности. • Результаты более или менее сходно с теми, которые относятся к связи свойств безусловной согласованности с координируемостью на основе принципов согласования

Теоремы:

Пример

Координируемость при использовании модификации целей

Пример

Теоремы

Пример

Процесс координации В случае оптимизирующих систем кординация двухуровневой системы достигается подачей оптимального координирующего воздействия на локальные решающие элементы; следовательно, проблема синтеза состоит в том, чтобы найти преобразование, которое на основе информации, посту нающей от нижележащих уровней (локальных решающих эле ментов подпроцессов), позволяет найти оптимальное коорди нирующее воздействие. Рассмотрим два подхода к этой проблеме. Первый подход основан на применимости припципа координации и приводит к итеративной процедуре. подразумевающей участие решающих элементов обоих уровней. При втором подходе задача, решаемая на вышестоящем уровне (задача, которую координатор решает для получения оптимального координирующего воздей ствия), определяется как оптимизационная задача без какой либо непосредственной связи с принципами координации.

Двухуровневая система принятия решений

Пример

Оптимизационный подход

Использование кажущейся глобальной целевой функции при формулировании задачи вышестоящего уровня