Математическая статистика Изучает величины значения которых зависят от

Математическая статистика Изучает величины, значения которых зависят от контролируемых и случайных (неконтролируемых) факторов. ξ=μ+ε μ - положение центра или математическое ожидание случайной величины, ε - случайные колебания относительно центра (дисперсия, среднее арифметическое отклонение от центра или разброс значений).

В большинстве природных явлений присутствуют две составляющие : детерминированная - ее значение зависит от факторов, контролируемых в ходе эксперимента случайная – ее значение зависит от неконтролируемых факторов в статистике их называют случайными.

Наблюдения содержат выделяющиеся значения, величина которых существенно превышает ошибки измерений или природную изменчивость переменных. Результаты определения содержания металлов в пробах грунтов (мг/кг). Сеть опробования 200 * 200 м Сомнительные значения Грубые промахи ? ?

Проблема выделяющихся значений

Размер выборки невелик Как в этом случае получить устойчивые оценки центра распределения ? Оценки математического ожидания N Mean Median Ni 7 W 7 121 143 100 30

Концентрации N 2 O, CO 2 и CH 4 , а также дейтерия (индикатора температуры) по данным ледяного керна «Восток»

Сложное распределение Две группы наблюдений, отличающиеся положениями центра и разбросом

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В большинстве явлений присутствуют и детерминированная, и случайная составляющая, Основная задача - выделить закономерности на фоне случайных изменений. События и их вероятности Событие -- это всякий факт, который может произойти или не произойти в результате опыта. Вероятность p(А) есть численная мера возможности события А Для невозможного события p(А) = 0. Для достоверного события p(А) = 1 Измерения вероятности n(A)/N→p(A ), если N→∞

Типы случайных величин Выделяют два типа случайных величин: дискретные - принимают только определенные значения (численность населения); непрерывные – принимают любые вещественные значения (содержание химических элементов). Генеральная совокупностью и выборка Множество возможных значений случайных величин называют генеральной совокупностью. Часть генеральной совокупности называют выборкой. Оценки положения центра и разброса значений случайной величины по выборке и генеральной совокупности, как правило, отличаются. Сформировать представительную выборку непросто. При отсутствии информации о совокупности наилучшим вариантом является случайный выбор.

Функция распределения F(x)

ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТИ Существует, если есть производная функции распределения. Используется при изучении распределения есть производная F(x)

Доверительные интервалы Оценки квантили и доверительной вероятности в Statistica

Часто используемые квантили Медиана –положение центра Квартили – оценки изменчивости 50%

Двусторонний доверительный интервал Вероятность попадания случайной величины в интервал b

Калькулятор Statistica для определения доверительных интервалов

Варианты записи наблюдений Результаты измерений параметра В порядке поступления 24, 8 32, 5 20, 1 19, 6 Вариационный ряд 19, 6 20, 1 24, 8 32, 5 Ранги наблюдений 1 2, 5 4 5 Формат записи Результат вычислений запасов металла - 11476577 т Выбор шкалы: ~ 11, 476577 млн т. Отбрасывание «лишних» знаков и округление (до четного): ~11, 5 млн т или ~12 млн т.

ЭМПИРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Простейшей формой описания данных является таблица. Сводные таблицы используют для свертки данных. Обычно, число интервалов группирования принимают равными √n. Минимальная длина интервала должна быть в 3 -4 раза больше погрешности измерений параметра.

График эмпирического распределения случайной величины

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Часто используют распределения: нормальное, логнормальное, биномиальное, Пуассона, Стьюдента, 2 - квадрат и Фишера. Нормальное распределение или распределение Гаусса f(x)=exp[(x−μ)/2σ]2 / (σ√ 2π∙) Функция двух параметров: математического ожидания - μ стандартного отклонения - σ

Стандартное нормальное распределение Любое нормальное распределение приводится к стандартному заменой переменной

Плотность распределения и функция нормального распределения с параметрами μ = 0 и σ = 1 μ 2σ

Распределение в вероятностном масштабе Mean 2σ Алгоритм…….

Вероятностный калькулятор в Statistica Оценка двустороннего интервала Оценка одностороннего интервала

Логнормальное распределение Probability Density Function y=lognorm(x; 0; 1) 0, 7 0, 6 р=0, 5 0, 4 р=0, 25 0, 3 р=0, 75 0, 2 0, 1 0, 0 0 1 2 3 4 5

Распределение Пуассона Плотность вероятности распределения Пуассона

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, СВЯЗАННЫЕ С НОРМАЛЬНЫМ

Распределение Стьюдента Аналитическое описание распределения не приводится из -за сложности формулы. Здесь важно , что оно описывает распределение переменной t, которая равна где x – случайная величина, имеющая нормальное распределение с параметрами x 0= μ=0 и σ=1; ν - число степеней свободы; n – число наблюдений x, которые участвовали в расчетах величины t. Если μ≠ 0 и σ≠ 1, делают замену переменных Число степеней свободы определяется количеством независимых переменных в выборке, по которой вычисляли значение t: ν = n, если μ известно; ν = n – 1, если используют оценку μ*, полученную по выборке. В этом случае n-е измерение является зависимым, так как его можно вычислить, зная μ* xn = nμ*−∑n− 11 xi. .

Плотность вероятности распределения Стьюдента

F–распределение (Фишера) 1 -α/2=0, 25 1 -α/2=0, 75

Распределение χ2 (хи–квадрат)

Сопоставление эмпирического и теоретического распределений

Характеристики случайных величин

Моменты случайной величины Начальные моменты Центральные моменты Первый начальный момент математическое ожидание (МО) или среднее значение

Второй центральный момент дисперсия D, стандартное (среднеквадратическое) отклонение σ

Робастные методы оценивания

Диаграмма «ящик с усами» с оценками характеристик распределения и в горных породах