Математическая статистика 14 Интервальное оценивание План лекции

Математическая статистика 14. Интервальное оценивание

План лекции 1. Повторение 2. Интервальное оценивание 2

Вспомним задачу • Существует некий ГОСТ 18267 -82, по которому рельс считается относящимся к 1 -му классу, если его твердость находится в диапазоне от 341 до 388 неких единиц по Бринеллю; • и еще какой-то ГОСТ, определяющий, что рельс относится ко 2 -му классу при твердости от 311 до 341. • Уже выполнено 2 измерения одного и того же рельса. Результаты: 351 и 370. • Проводим 3 -е измерение твердости и определяем вероятности того, что рельс относится по-прежнему к 1 -ому классу или теперь ко 2 -ому классу. 3

Вспомним решение • Мы сделали обоснованное предположение, что твердость на поверхности одного и того же рельса изменяется в соответствии с нормальным законом распределения. • Мы посчитали, что в качестве точечной оценки вероятности можно использовать следующую: 4

Вспомним решение • Рассчитали: • Получили: 5

Добавим • …, что значения 341 и 388 являются оценками квантилей порядка 0, 07 и 0, 98, соответственно, т. е. • Если необходимо, например получить квантиль порядка 0, 99, то воспользуемся формулой: где z 0, 99 – квантиль нормированного нормального распределения порядка 0, 99 (если в таблицах). • 6

Опять проблема? 7

Во-первых… 8

Во-вторых… 9

Оценивание с помощью доверительного интервала 10

Общие сведения 11

Общие сведения 12

Общие сведения 13

Общие сведения 14

Общие сведения 15

Построение доверительного интервала для математического ожидания 16

Доверительн. интервал для МО 17

Доверительн. интервал для МО 18

Доверительн. интервал для МО (1) (2) 19

Доверительн. интервал для МО 20

Доверительн. интервал для МО 21

Доверительн. интервал для МО (2) (3) (4) 22

Доверительн. интервал для МО (3) (4) 23

ДИ для МО (известна дисперсия) (5) … 24

ДИ для МО (известна дисперсия) (6) 25

ДИ для МО (известна дисперсия) (7) 26

ДИ для МО (известна дисперсия). ) (8) 27

ДИ для МО (известна дисперсия) Поскольку (7) (9) 28

ДИ для МО (известна дисперсия) (9) 29

Задача 30

Решение (8) 31

ДИ для МО (НЕ известна дисперсия) 32

ДИ для МО (НЕ известна дисперсия) t (10) 33

ДИ для МО (НЕ известна дисперсия) (10) (11) 34

О степенях свободы 35

О степенях свободы 36

Распределение Стьюдента для малых (<30) выборок (10) 37

Распределение Стьюдента для малых (<30) выборок • Видим, что распределение Стьюдента определяется параметром n – объемом выборки (или, что то же, числом степеней свободы m = n – 1) и не зависит от неизвестных параметров математического ожидания и дисперсии. • Эта особенность является его большим достоинством. 38

Распределение Стьюдента для малых (<30) выборок • Для случайной величины t можно записать: (12) 39

Распределение Стьюдента для малых (<30) выборок (12) (6) (13) 40

Распределение Стьюдента для малых (<30) выборок • Случайные величины: мат. ожидание и дисперсия, – заменяются неслучайными выборочными значениями соответствующих характеристик, найденными по выборке. • Значения tα, m табулированы, • причем при n > 30 tα, m приблизительно равно z 1 – α/2. 41

Распределение Стьюдента для малых (<30) выборок 42

Распределение Стьюдента для малых (<30) выборок 43

Задача 44

45

Самостоятельно читаем • Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов/В. Е. Гмурман. — 9 -е изд. , стер. — М. : Высш. шк. , 2003. — 479 с: ил. ISBN 5 -06 -004214 -6 Часть 3, гл. 15, 16 • Ивановский Р. И. Теория вероятностей и математическая статистика. Основы, прикладные аспекты с примерами и задачами в среде Mathcad: Учебное пособие. – СПб. : БХВ-Петербург, 2008. – 528 с. : ил. + CD-ROM. ISBN 978 -5 -9775 -0199 -6 • Спирин Н. А. , Лавров В. В. Методы планирования и обработки результатов инженерного эксперимента: Конспект лекций (отдельные главы из учебника для вузов). Под общ. ред. Спирина Н. А. – Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2004. – 257 с. ISBN 5 -321 -00319 -X Глава 3 46

КОНЕЦ 47