Математическая модель процесса теплопроводности ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Металлический

Математическая модель процесса теплопроводности

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Металлический стержень нагревается в центральной части до заданной температуры Т и остывает до заданной температуры за время t. Определить динамику изменения температуры в процессе остывания стержня. Т

При прекращении нагревания происходит остывание стержня, причем в центре он остывает быстрее, на краях медленнее. Процесс изменения температуры в стержне описывается дифференциальным уравнением теплопроводности, где а – коэффициент теплопроводности 200 К 300 К 400 К 600 К 800 К Алюминий 237 240 230 220 Бронза алюминиев = ая 105 = 130 145 Ванадий 31 30. 7 31. 3 33. 3 36 Вольфрам 185 174 159 137 125 Железо 94 80 70 55 43 Золото 323 317 311 298 284 Кобальт 122 100 85 67 58 Константан = 22 24 32 = Латунь = 110 = 140 150 Медь 413 401 393 379 366

Исходные данные для решения Начальные условия: U(t, x)= U(tn, x) = U(x) – распределение температуры на конечный момент времени на поверхности стержня. Краевые условия: U(t, x) = U(t, 0) = const = T 1 - температура на левом конце стержня. U(t, x) = U(t, 1) = const = T 2 – температура на правом конце стержня. Таким образом математическая модель процесса остывания стержня после неравномерного нагревания будет иметь вид: U(t, x)=U(0, x) = U(x) U(t, x) = U(t, 0) = const = T 1 U(t, x) = U(t, 1) = const = T 2

Решение уравнения теплопроводности в частных производных (параболическое) U(t, x)= U(0, x) = U(x) U(t, x) = U(t, 0) = const = T 1 U(t, x) = U(t, 1) = const = T 2 Для решения воспользуемся численным методом решения дифференциальных уравнений в частных производных, в частности, методом сеток. ( перед запуском видео установить режим – экран-переключение программ)

Для решения уравнения теплопроводности воспользуемся методом сеток. Допустим, что стержень имеет малое сечение и рассмотрим изменение температуры по длине стержня Х и по времени t, поэтому сетку построим в этих координатах. Длину стержня по Х разобьём на М частей, Ось времени разобьём на N частей Шаг по Х будет равен 1/М Шаг по времени будет равен T/N

Запишем уравнение теплопроводности в виде разностей используя разностную аппроксимацию D H D-Коэфф. теплопров. Ƭ =T/N – шаг по времени H=1/M – шаг по длине Для данного случая используем второй способ разностной аппроксимации, поскольку у нас есть начальные значения распределения температуры в момент времени t = 0.

Запишем уравнения теплопроводности для всех узлов и добавим начальные и краевые условия. Получим систему линейных уравнений, где неизвестные – значения температуры Ui, j по длине стержня в заданный момент времени. Решив СЛАУ найдем Ui, j D D H I = 1, j = 0 I = 2, j = 0 ……………. . U(0, x) = U(x) U(t, 0) = T 1 U(t, 1) = T 2 H

Исследование математической модели процесса остывания стержня Для исследования математической модели процесса остывания стержня математическую модель преобразуют в алгоритм используя среды моделирования (Скайлаб, Маткад и др. ) или пишется программа на подходящем языке программирования таким образом, чтобы входными параметрами были переменные, которые изменяются, например, длина стержня L, материал (коэффициент D или закон изменения коэффициента теплопроводности D(T)), время t, температура первоначального нагрева U(0, x), температура или закон изменения температуры на концах стержня. U(t, 0), U(t, L) и другие необходимые параметры, а выходным параметром будет распределение температуры по длине стержня во времени. Меняя входные параметры можно исследовать, как будет изменяться распределение температуры от входных параметров. L, D, t, T, U(0, x), U(t, 0), U(t, L) U(t, x) End