Математическая модель механики твердо деформированного тела Полная

Математическая модель механики твердо деформированного тела

Полная математическая модель механики твердо деформированного тела состоит из трех частей: • уравнения равновесия, • геометрические соотношения • физические соотношения.

I. Уравнения равновесия

- xdydz + ( x + dx x)dydz - yxdxdz + ( yx + dy yx)dxdz – - zxdxdy + ( zx + dz zx)dxdy + Xdxdydz = 0,

•

II. Геометрические соотношения.

В теле выберем некоторую точку А с координатами (x, y, z). После нагружения и деформации точка А переместилась в точку А 1 с координатами (х1, у1, z 1) на малую величину r ( х, у, z). Введем обозначения: х = х1 – х = U, у = у1 – у = V, z = z 1 – z = W, где U, V, W – перемещения вдоль координатных осей Х, У, Z.

•

Пусть отрезок d. S имеет проекции по координатным осям (dx, dy, dz) и направляющие косинусы l, m и n. dx=l d. S dy=m d. S dz=n d. S Найдем длину отрезка d. S через проекции: d. S 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 Продифференцируем это выражение: 2 d. S = 2 dx dx + 2 dy dy + 2 dz dz

•

•

•

•

• Y d. S dx C’ Y X C A dx U B 1 dx. V A 1 dy C 1 К V B d y. U X

III. Физические соотношения.

•

• 1 1 2 2 3 3

• 2 1 3

•

•

•

Таким образом, рассмотрев три части математической модели, мы имеем 15 уравнений (3 уравнения равновесия, 6 формул Коши, 6 уравнений обобщенного закона Гука) и 15 неизвестных (3 перемещения по координатным осям, 3 нормальных напряжения, 3 касательных напряжения, 3 линейных деформации, 3 угловых деформации). Построение математической модели механики твердо деформированного тела – предмет изучения линейной теории упругости. Полученная математическая модель не является ещё полной, так как часть уравнений (формулы Коши и уравнения равновесия) имеют дифференциальный вид. Их нужно интегрировать. В результате чего появляются постоянные интегрирования, то есть дополнительные неизвестные. В обыкновенных дифференциальных уравнениях это константы, для уравнений в частных производных это функции. Поэтому необходимо существование дополнительных условий. Это так называемые граничные условия – условия на границе данного тела (на поверхности). Граничные условия бывают трех типов: силовые, геометрические и смешанные.

Деформированное состояние тела

•

•

Главные деформации - это линейные деформации в направлении, перпендикулярном главным площадкам деформации. Главными площадками деформации являются такие площадки, в которых угловые деформации равны нулю. Главные площадки расположены по трем взаимно перпендикулярным осям, которые называются главными осями деформированного состояния.