Математическая логика Введение Формальная логика одна

Математическая логика

Введение Формальная логика — одна из древнейших наук. Отдельные фрагменты ее начали разрабатываться в VI в. до нашей эры в Древней Греции и Индии. Основателем этой науки считается гениальный древнегреческий ученый Аристотель, который систематизировал логические формы и правила мышления. Логика, основанная на учении Аристотеля, существовала до начала XX в. , после чего в ней произошла научная революция, связанная с широким применением методов так называемой символической, или математической логики.

Современная математическая логика — это та же самая логика Аристотеля, но только громоздкие словесные выводы заменены в ней математической символикой. Эта дисциплина изучает вопросы применения математических методов для решения логических задач и построения логических схем, которые лежат в основе работы любого компьютера.

АЛГЕБРА (ЛОГИКА) ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Высказывания и операции над ними Логическими высказываниями являются утвердительные предложения, о которых можно судить, истинны они или ложны. Высказывание не может быть истинным и ложным одновременно. Логика высказываний рассматривает эти предложения не с точки зрения их смысла, содержания, а только с точки зрения их истинности или ложности.

Понятие высказывания Высказывание – это одно из неопределяемых (первичных) понятий математики, смысл которого может быть проиллюстрирован нестрогими рассуждениями. Понятия истина и ложь, которые используются в 'определении‘ высказывания, также являются неопределяемыми. По этой причине не существует строгого математического алгоритма приписывания произвольным предложениям значений истина и ложь. На интуитивном уровне этот “алгоритм” можно описать так: (1): уяснить смысл высказывания, (2): убедиться, что объекты и их отношения, о которых идёт речь, можно сравнить с действительностью, (3): если установленные в высказывании отношения между объектами согласуются с действительностью, то высказывание считается “истинным”, в противном случае – “ложным”.

Пример предложения, которое не является высказыванием Классический пример утверждения, не являющегося высказыванием, таков: Все, что написано в этой рамке, есть ложь. Допустим, что это утверждение истинно, тогда это противоречит смыслу слов в рамке. То же противоречие возникает, если предположить, что оно ложно. Таким образом, невозможно определить истинно или ложно данное утверждение.

Любое определение – не высказывание Любое определение не является высказыванием, т. к. весь его смысл сводится к введению синонима для какого-либо перечня свойств объекта. Например, определение «прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого один из углов прямой» вводит синоним “прямоугольный треугольник” для словосочетания “треугольник, у которого один из углов прямой”. Таким образом, красному предложению нельзя приписать ни одно из значений истина или ложь.

Примеры высказываний 1) 2) 3) 4) 5) Санкт –Петербург стоит на Неве Иваново — столица России Карась – не рыба Число 6 делится на 2 и на 3 Студенты гуманитарных специальностей изучают информатику и математику 6) 3 > 5 7) Число 10 является нечетным 8) На улице идет дождь 9) Все простые числа – нечетные 10) Проблема Гольдбаха имеет положительное решение 11) Да здравствует свобода! 12) Имярек – студент факультета Ми. КН

Простые и составные высказывания Высказывание называется простым (элементарным, атомарным), если оно рассматривается нами как некое неделимое целое. Обычно к простым относятся высказывания, не содержащие логических связок. Сложным (составным) называется высказывание, составленное из простых с помощью логических связок.

Формальный аналог понятия высказывания Припишем истинному высказыванию значение истинности, равное 1, а ложному – значение истинности, равное 0. По аналогии с элементарной алгеброй, где любое число является константой, высказывание – это логическая константа, величина которой равна 1 или 0. Высказывания будем обозначать большими латинскими буквами А, В, С, D и т. д. с индексами или без. Будем различать высказывания и высказывательные (пропозициональные) переменные, которые будем обозначать малыми латинскими буквами a, b, c, d, … с индексами или без. Высказывание – это логическая константа, а высказывательная переменная – это переменная, принимающая одно из значений 1 или 0. Высказывательную переменную, принимающую только истинное значение, будем обозначать 1, а только ложное – 0.

Высказывательная форма •

Основные логические операции В логике над высказываниями производятся следующие основные операции (логические связки): отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция, неравнозначность. Они рассматриваются как средство вычисления логического значения сложного высказывания по логическим значениям составляющих его простых высказываний.

Отрицание (логическая связка «не» ) • А 0 1 1 0

Логическое умножение (конъюнкция) •

Логическое сложение (дизъюнкция) Дизъюнкция двух высказываний А и В — это сложное логическое высказывание, которое ложно только в случае ложности всех составляющих высказываний, в противном случае оно истинно. Таким образом, дизъюнкция истинна, когда истинно хотя бы одно из составляющих ее высказываний. Обозначается: A∨B или А+В. Эта запись читается: «А или В» . Таблица истинности дизъюнкции: А 0 0 1 1 В 0 1 A∨B 0 1 1 1

Логическое следование (импликация) В математических доказательствах часто пользуются сложными высказываниями, образованными с помощью слов «если…, то…» . В таких конструкциях высказывание, расположенное после слова «если» , называется посылкой, а высказывание, расположенное после слова «то» , называется следствием или заключением. Импликацией двух высказываний А и В называется высказывание, обозначаемое символом А →В, которое ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно. Иногда встречается обозначение А ⊃В. Читается: «если А, то В» ( «А влечет В» , «из А следует В» ).

Таблица истинности импликации А 0 0 1 1 В 0 1 А В 1 1 0 1

Логическое тождество (эквиваленция) Эквиваленцией (эквивалентностью, равнозначностью) двух высказываний А и В называется высказывание, обозначаемое символом А В (или А↔В), которое истинно тогда и только тогда, когда истинностные значения высказываний А и В совпадают, и ложно — в противном случае. Таблица истинности для эквивалентности имеет вид: А В А↔В 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Интерпретация логической связки эквиваленция Логическая операция А↔В соответствует словосочетанию «А тогда и только тогда, когда В» и читается: «А эквивалентно В» ( «равнозначно » , «для того, чтобы А необходимо и достаточно, чтобы В» ). Когда мы говорим «А тогда и только тогда, когда В» , то имеем в виду, что оба утверждения А и В одновременно истинны, либо одновременно ложны. В математике такого рода теоремы называются критериями. Например, критерий делимости на 3 формулируется так: натуральное число n делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр числа n делится на 3.

Исключающее «или» (неравнозначность) Неравнозначностью двух высказываний А и В называется высказывание, истинное, когда истинностные значения А и В не совпадают, и ложное — в противном случае. Обозначается: А⊕B. Читается: «либо А, либо В» (либо понимается — в разделительном смысле). Таблица истинности для неравнозначности имеет вид: А В А⊕B 0 0 1 1 0 1 0 0

Формулы алгебры высказываний

Алфавит алгебры высказываний Алфавит языка алгебры высказываний состоит из следующих символов: пропозициональные переменные А, В, С, …, логические связки ¬ - отрицание, &, - конъюнкция, ∨ - дизъюнкция, ⊕ - исключенное или, → - импликация, ↔ - эквиваленция скобки (, ), [, ]

Логические формулы Логическая формула определяется индуктивно по следующей схеме: 1) Всякая пропозициональная переменная есть формула. 2) Если А — формула, то ¬A является формулой. 3) Если А и В — формулы, то выражения (A&В), (A∨В), (A→В), (A⊕В), (А↔В) также являются формулами. 4) Других формул, кроме построенных по правилам трех предыдущих пунктов, нет.

Соглашение об упрощении записи формул Чтобы упростить запись формул (снять некоторое количество скобок), примем ряд соглашений об упрощении записи формул: 1) Наружные скобки в записи формул можно опускать. 2) Считается, что конъюнкция «сильнее» дизъюнкции, а обе они «сильнее» неравнозначности, импликации и эквиваленции. 3) Отрицание «сильнее» всех других операций. Поэтому часть скобок, определяющих порядок действий, можно опускать. 4) Скобки, определяющие порядок действий, в ассоциативном случае можно опускать. 5) Конъюнкцию можно обозначать знаком «» или знак конъюнкции опускать.

Примеры

Представить логическими формулами следующие высказывания: 1. «Сегодня суббота или воскресенье» . Решение. Пусть А: «сегодня суббота» и В: «сегодня воскресенье» . Тогда утверждение «сегодня суббота или воскресенье» представимо формулой: A⊕B 2. «Идет снег или дождь» . Решение. Пусть А: «идет снег» и В: «идет дождь» . Тогда логическая формула для высказывания «идет снег или дождь» имеет вид: . A ∨ B 3. «Если идет дождь, то крыши мокрые» . Решение. Пусть А: «идет дождь» и В: «крыши мокрые» . Тогда «если идет дождь, то крыши мокрые» представимо формулой: A →B

4. «Что в лоб, что по лбу» . Решение. Пусть А: «в лоб» и В: «по лбу» . Тогда «что в лоб, что по лбу» может иметь вид: A↔B 5. «В квартире грязно и холодно» . Решение. Пусть А: «в квартире грязно» и В: «в квартире холодно» . Тогда «в квартире грязно и холодно» представимо логической формулой: A&B 6. «Если допоздна работаешь с компьютером и при этом пьешь много кофе, то утром просыпаешься в дурном настроении или с головной болью» . Решение. . (A&В) →С ∨Е

Пусть даны высказывания: А: «число 9 делится на 3» В: «число 10 делится на 3» Требуется определить значения истинности следующих высказываний: 1. В → А 2. ¬ A → B 3. ¬ B→ ¬A 4. ¬ B & A 5. A↔B

Логические (булевы) функции высказываний В алгебре высказываний каждая пропозициональная переменная и каждая формула принимает одно из двух значений: 1 (истина) или 0 (ложь). Таким образом, каждая логическая формула задает логическую функцию — функцию от логических переменных, которая сама может принимать только два логических значения 1 или 0.

Таблица истинности логической функции •

Соглашение о записи логических функций •

Задание функций с помощью логических формул Каждую логическую функцию можно задать с помощью формулы. Особую роль в алгебре высказываний играют логические функции одной и двух переменных — унарные и бинарные логические операции. Среди них: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция, неравнозначность (сумма по модулю 2) и др. Эти функции очевидным образом интерпретируются естественными логическими связками «не» , «или» и т. д. , широко используемыми при описании систем, явлений, формализации рассуждений и пр.

Пример •

Таблица истинности А 0 В 0 С 0 1 1 2 1 3 0 4 1 5 0 6 0 7=F 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1

Равносильность формул Назовем эквивалентными (или равносильными) формулы, которые задают равные функции (от одного и того же числа переменных). Равносильность формул в алгебре логики обозначается знаком тождественного равенства ≡ (или символом ). Стандартный метод установления равносильности двух формул: 1) для каждой формуле строится таблица истинности; 2) полученные таблицы сравниваются по каждому набору значений переменных.

Основные эквивалентные соотношения (законы) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. A≡А (закон тождества) A&0 ≡ 0 A 0 ≡A A&1 ≡A A 1 ≡ 1 ¬(¬A) ≡A (закон двойного отрицания) A&(¬A) ≡ 0 (закон логического противоречия)

Основные эквивалентные соотношения (законы) 8) A∨(¬A)≡ 1 (закон исключенного третьего) 9) A& A ≡ A(идемпотентность конъюнкции) 10) A ∨A ≡ A(идемпотентность дизъюнкции) 11) A&В ≡ В&A(коммутативность конъюнкции) 12) A∨В ≡ В∨A(коммутативность дизъюнкции) 13)(A&B)&C A&(B&C) (ассоциативность конъюнкции) 14) (A B) C A (B C) (ассоциативность дизъюнкции)

Основные эквивалентные соотношения (законы) •

Основные эквивалентные соотношения (законы) 22) A≡ (A B) &(A ¬B) (второй закон расщепления) 23) A→В≡¬B→¬A (закон контрапозиции) 24) A→В ≡¬ A∨B≡¬(A&¬В) 25) A B≡(¬A ∨B)&(¬B∨A)≡ (А&B)∨(¬A&¬B) 26) A⊕B ≡ (A&¬B)∨(¬A&В) 27) A∨B≡¬ A→B≡¬(¬A&¬B) 28) A&B≡¬(A→¬B)≡¬(¬A ¬B)

Эквивалентные (тождественные) преобразования формул Эквивалентным (или тождественным) преобразованием формулы называют переход к любой формуле, эквивалентной данной. Для преобразований применяется ряд правил. Правило подстановки состоит в замене всех вхождений некоторой переменной А некоторой формулой F. Это правило применяется к эквивалентным соотношениям для получения новых эквивалентных соотношений.

Эквивалентные (тождественные) преобразования формул По определению, подформула — это часть формулы, сама являющаяся формулой. Правило замены подформул позволяет, используя известные эквивалентные соотношения, получать формулы, эквивалентные данной (в частности, упрощать формулы). Если некоторая формула F содержит G в качестве подформулы, то можно заменить G на эквивалентную ей H. Полученная с помощью такой замены новая формула E эквивалентна исходной F.

Пример •

Полные системы логических функций

Определение полной системы логических функций •

Определение стандартного базиса •

Другие полные системы функций •

•

Полнота системы { , } •

Базисом Жегалкина Определение. Система функций { , &, 1} называется базисом Жегалкина. В случае использования базиса Жегалкина вместо символа & используется символ умножения ∙ Теорема. Система функций { , ∙, 1} полна. Доказательство. Полнота следует из тождеств: ¬ A≡A 1 и A B≡A⋅B A B ∎

Иванович Жегалкин Ива нович Жега лкин (22. 06 (3. 07) 1869 г. , Мценск, Российская империя — 28. 03. 1947 г. , Москва) — российский и советский математик и логик. Из его открытий наибольшую известность получил так называемый полином Жегалкина.

Тавтологии Выполнимые формулы

Тавтологии и противоречия Формулу, значения которой для любого набора переменных есть 1, будем называть тождественно истинной формулой (или тавтологией). Формулу, значения которой для любого набора переменных есть 0, будем называть тождественно ложной формулой (или противоречием). Для доказательства того, что данная формула является тавтологией или противоречием достаточно построить таблицу истинности. Для тавтологии последний столбец таблицы состоит только из единиц, а для противоречия – только из нулей.

Выполнимые и опровержимые формулы Формула называется выполнимой, если существует такой набор значений переменных, при котором эта формула принимает значение 1. Формула называется опровержимой, если существует такой набор значений переменных, при котором эта формула принимает значение 0.

Важнейшие тавтологии •

Важнейшие тавтологии •

Важнейшие тавтологии •

Важнейшие тавтологии •

Примеры

1. Выяснить, являются ли следующие формулы тождественно истинными: •

2. Выяснить, являются ли следующие формулы выполнимыми: •

Нормальные формы

Элементарный конъюнкции •

Дизъюнктивные нормальные формы •

Основная теорема о ДНФ Теорема. Каждую логическую формулу можно привести эквивалентными преобразованиями к ДНФ (т. е. для любой формулы А можно найти такую формулу В, находящуюся в ДНФ, что А ≡ В). Доказательство. Конструктивное доказательство дает следующий алгоритм.

Алгоритм построения эквивалентной ДНФ 1) Заменяем операций импликации, эквиваленции и неравнозначности через логические связки: ¬, & и ∨ с помощью эквивалентных соотношений: A→В ≡¬ A∨B A B≡(¬A ∨B)&(¬B∨A)≡ (А&B)∨(¬A&¬B) A⊕B ≡ (A&¬B)∨(¬A&В)

Алгоритм построения эквивалентной ДНФ •

Алгоритм построения эквивалентной ДНФ 3) Применяя закон дистрибутивности A&(B C) (A&B) (A&C), преобразуем формулу к дизъюнкции элементарных конъюнкций. 4) Постоянно избавляемся от двойных отрицаний: ¬(¬A) ≡A

Пример •

Совершенные дизъюнктивные нормальные формы •

Основная теорема о СДНФ •

Алгоритм построения эквивалентной СДНФ •

Алгоритм построения эквивалентной СДНФ 3) Убираем члены дизъюнкции, содержащие переменную вместе с ее отрицанием, а из одинаковых членов дизъюнкции удаляем все, кроме одного. 4)

Алгоритм построения эквивалентной СДНФ •

Алгоритм построения эквивалентной СДНФ 5) Если среди членов полученной дизъюнкции окажутся одинаковые элементарные конъюнкции, то из каждой серии таковых оставляют по одной.

Примеры построения СДНФ •

Алгоритм, устанавливающий равносильность или неравносильность двух заданных формул. Этот алгоритм состоит в следующем: исследуемые формулы приводят к совершенным ДНФ, содержащим все переменные, которые есть в обеих формулах, и смотрят, совпадают полученные выражения или нет; если совпадают, то формулы равносильны, если нет — они неравносильны.

Построение СДНФ с помощью таблицы истинности •

Правило построения единичной элементарной конъюнкции •

Правило построения СДНФ по таблице истинности СДНФ данной выполнимой формулы F представляет собой дизъюнкцию всех единичных элементарных конъюнкций, построенных по таблице истинности с помощью предыдущего правила.

Пример •

Пример •

Элементарные дизъюнкции •

Конъюнктивные нормальные формы Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) называется произвольная конъюнкция элементарных дизъюнкций. Конъюнктивные нормальные формы можно получить из ДНФ путем замены в них знаков & на ∨, а ∨ на &. Ясно, что каждую логическую формулу можно привести эквивалентными преобразованиями к КНФ.

Совершенные конъюнктивные нормальные формы •

Основная теорема о СКНФ Теорема. Каждую опровержимая логическая формула может быть приведена эквивалентными преобразованиями к СКНФ. Доказательство. Опровержимая логическая формула принимает хотя бы на одном наборе значений переменных значение 0. Далее для доказательства можно применить алгоритм построения СКНФ с помощью нулевых совершенных элементарных дизъюнкций. ∎

Пример •

Пример •

Проблема разрешения и методы ее решения

Проблемой разрешения для алгебры высказываний называют следующую проблему: существует ли алгоритм, позволяющий для произвольной логической формулы в конечное число шагов выяснить, является ли она тождественно истинной (или тождественно ложной)? Ясно, что эта проблема имеет положительное решение, так как всегда можно составить таблицу истинности для данной логической формулы. Но для больших формул эти таблицы громоздки и их использование затруднительно. Поэтому для установления тождественной истинности или ложности формул часто используют другую процедуру распознавания, связанную с приведением формулы к КНФ или ДНФ.

Критерий тождественной истинности формулы Для того чтобы формула алгебры высказываний была тождественно истинной, необходимо и достаточно, чтобы в равносильной ей КНФ были тождественно истинны все элементарные дизъюнкции.

Критерий тождественной истинности элементарной дизъюнкции Для того чтобы элементарная дизъюнкция была тождественно истинной, необходимо и достаточно, чтобы в ней существовала хотя бы для одной переменной пара — переменная и ее отрицание.

Критерий тождественной ложности формулы Для того чтобы формула алгебры высказываний была тождественно ложной, необходимо и достаточно, чтобы в равносильной ей ДНФ все элементарные конъюнкции были тождественно ложны.

Критерий тождественной ложности элементарной конъюнкции Для того чтобы элементарная конъюнкция была тождественно ложной, необходимо и достаточно, чтобы в ней существовала хотя бы для одной переменной пара — переменная и ее отрицание.

Гипотезы и следствия в алгебре высказываний

Гипотезы •

Следствия •

Теоремы о гипотезах и следствиях •

Теоремы о гипотезах и следствиях 6. Совершенная ДНФ не имеет никаких других гипотез (не содержащих букв, не входящих в эту ДНФ), кроме дизъюнкций некоторых ее слагаемых или равносильных им выражений. 7. Совершенная КНФ не имеет никаких других следствий (не содержащих букв, не входящих в эту ДНФ), кроме конъюнкций некоторых ее сомножителей или равносильных им выражений.

Примеры

Пример 1 На вопрос, кто из трех студентов изучал логику, был получен ответ: если изучал первый, то изучал и третий, но неверно, что если изучал второй, то изучал и третий. Кто изучал логику? Решение. Рассмотрим высказывания А: «логику изучал первый» В: «логику изучал второй» С: «логику изучал третий» .

Пример 1 •

Пример 2 Определить, кто из четырех студентов сдал экзамен, если известно, что: 1) если первый сдал, то и второй сдал; 2) если второй сдал, то третий сдал или первый не сдал; 3) если четвертый не сдал, то первый сдал, а третий не сдал; 4) если четвертый сдал, то и первый сдал.

Пример 2 •

Пример 2 •