Математическая логика Ревягина Т Л Правила пользования

Математическая логика Ревягина Т. Л.

Правила пользования презентацией Возврат к предыдущему слайду Переход к следующему слайду Подчёркнутое Гиперссылка слово Выход в содержание

Содержание Предисловие Что такое логика? - История изучения - Высказывания Алгебра логики - Действия над высказываниями - Приоритет выполнения операций - Законы алгебры логики Примеры решения задач Предикаты Заключение

Предисловие В повседневной жизни мы часто сталкиваемся с ситуациями, когда не знаем, как прийти к выводу из предпосылок и получить истинное знание о предмете размышления. Логика служит одним из инструментов почти любой науки.

Предмет логики Логика (др. -греч. «λογική» — «искусство λογική рассуждения» ) — наука, изучающая законы и формы мышления.

История Реализация идеи Лейбница Как самостоятельная наука Впервые в истории идеи о принадлежит английскому учёному Д. логика оформилась в трудах построении логики на Булю. Он создал алгебру, в которой буквами обозначены высказывания. греческого философа математической основе были Аристотеля (384 -322 г. г до высказаны немецким математиком Введение символических обозначений в н. э. ). Он систематизировал Г. Лейбницем (1646 -1716) в конце XVII логику имело для этой науки такое же решающее значение, как и введение известные до него сведения, и века. Он считал, что основные буквенных обозначений для эта система стала понятия логики должны быть математики. Именно благодаря впоследствии называться обозначены символами, которые введению символов в логику была формальной или соединяются по особым правилам. получена основа для создания новой Аристотелевой логикой. Это позволит всякое рассуждение науки – МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ заменить вычислением.

Высказывания Понятие высказывания является исходным понятием математической логики. Высказывание – утвердительное предложение, относительно которого можно сказать истинно оно или ложно. Обычно высказывания обозначаются заглавными латинскими буквами, а само предложение заключается в фигурные скобки.

Алгебра высказываний Отрицание Дизъюнкция Конъюнкция Действия над высказываниями Эквиваленция Импликация

Приоритет выполнения операций 4 Аν(В 1 3 2 5 1 С) ∧ А → (ВνС) 1. Действия в скобках 2. Отрицание 3. Конъюнкция 4. Дизъюнкция 5. Импликация, эквиваленция

Законы математической логики Коммутативность Аν В А ∧В Ассоциативность А ν (В ν С ) А ∧ В ∧ ) ( С Дистрибутивность А∧ ВνС ( ) А ν (В ∧ С ) Законы де Моргана АνВ ∧

Законы алгебры логики 1. А = А 2. А ν А = А 3. А ∧ А = А 4. А ν А = 1 5. A ν (A ν A) = 1 6. A ∧ (A ∧ A) = A 7. 0= 1 8. A ν 0 = A 9. A ∧ 0 = A 10. A ∧ A = 0 1 – тождественно-истинное высказывание 0 – тождественно-ложное высказывание

Отрицанием высказывания А называется такое высказывание, что В ложно, когда А истинно и В истинно, когда А ложно. А=В А А 1 0 0 1

Дизъюнкция Дизъюнкцией высказываний А и В называется такое высказывание АνВ, ложное лишь в том случае, если оба высказывания А и В ложные. А и и л В и л и АνВ и и и л л л A ≡{Луна - спутник Земли} В ≡{Солнце- спутник Земли } АνВ ≡ {Луна - спутник Земли или Солнце - спутник Земли}

импликация А В А→В и и л л л и и л Импликацией высказываний А и В называется такое высказывание А→В, ложное лишь в том случае, когда высказывание А – истинное и В – ложное. л и A ≡ {Лето жаркое}, B ≡ {Зима будет холодной} А→В ≡ {Eсли лето жаркое, то зима будет холодной. }

конъюнкция Конъюнкцией высказываний А и В называется такое высказывание А∧В, истинное лишь в том случае, если оба высказывания А и В истинные. 11 а класс А и и л В и л и А∧В и л л л А∧В ≡ {Наталья и Людмила учатся вместе в 11 а классе} A ≡{Наталья учится в 11 а классе} В ≡{Людмила учится в 11 а классе}

эквиваленция Эквиваленцией высказываний А и В называется такое высказывание А В, истинное когда А и В – оба истинные или оба ложные высказывания. A ≡{Убийство раскрыто}, B ≡{Есть свидетели} А В 1 1 0 0 1 0 Для того чтобы раскрыть убийство необходимо и достаточно найти свидетелей. А В 1 0 0 1

Тогда, слушайте Вы готовы ? загадку! Я не слышу!! Так точно, Да, капитан! Согласно инструкции я должен находиться на судне всегда, за исключением случаев, когда с судна выгружают груз, если же груз не выгружают, то рулевой никогда не отсутствует, если не отсутствую и я. В каких случаях рулевой обязан присутствовать на судне?

Разгадали? Давайте проверим Пусть А≡{Капитан присутствует на судне}, В≡{С судна выгружают груз}, С≡{Рулевой присутствует на судне}, тогда (В → А) и (B→ (A→C)) – истинные высказывания. Конъюнкция истинных высказываний истинна, т. е. (B→A)∧(B→ (A→C))=(Bv. A)(B→(Av. С))= (Bv. A)(Bv (Av. С))= Bv. A(Av. С)= Bv. Lv. AC= B→AC. Проанализировав полученное, выяснили, что рулевой присутствует на судне, если с судна не выгружают груз. Ответ: рулевой присутствует на судне, если с судна не выгружают груз.

Предикаты Утверждение, зависящее от переменной, заданной на определенном множестве и обращающееся в верное высказывание при конкретном значении переменной, называется неопределенным высказыванием или предикатом. d A(х) ≡ {d=x+34}

Множеством истинности предиката Р(х), заданного на множестве М, называют множество таких значений х, при которых высказывание Р(х) истинно. A ≡{Город Х находится в Российской Федерации} -города Российской Федерации.

ПРЕДИКАТЫ Для предикатов характерны те же действия, что и для К примеру, система уравнений есть конъюнкция предикатов: высказываний, а именно: х-1=5; Р 1(х)=х-1=5; х =36; Р 2(х)=х =36; Конъюнкция х=6; Р 1(х) ∧Р 2(х)=6; х=-6; (х-1=5)∧ (х =36); Дизъюнкция х=6; (х=6) ∧((х=-6 )ν(х=6)); х=6 Импликация Эквиваленция и др. 2 2 2 Ответ: {6}

Кванторы Одним из способов получения высказываний из предикатов является навешивание кванторов. Для этого перед предикатом пишут кванторы – слова, описывающие его множество истинности. Е А Квантор всеобщности Квантор существования

квантор существования « ∃» Квантор существования — это символ, обозначающий единственное существование и читается как «существует» или «для некоторого» . Из предиката {Студент 15 -й группы сдал тест по математике на 100 баллов } получаются высказывание: {Найдется такой студент в 15 -й группе , который сдаст тест по математике на 100 баллов}

квантор всеобщности «∀» Квантор всеобщности — это символ, обозначающий всеобщность и читается как «для любого» или «для всех» . Из предиката {Студент 15 -й группы сдал тест по математике на 100 баллов } получаются высказывание: {Все студенты 15 -й группы сдали тест по математике на 100 баллов}

Заключение Таким образом, мы познакомились с основными понятиями алгебры логики, научились выполнять операции с высказываниями, определенными и неопределёнными. Надеемся, эта презентация поможет Вам окунуться в мир логики и абстрактного мышления.

Использованная литература Шабунин М. И. Математика. Алгебра. Начала анализа. http: //ru. wikipedia. org