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Matemáticas II Departamento de Economía Aplicada Universidad de La Laguna Proyecto: OPEN COURSE WARE 2012 Profesores que participan en el Proyecto: Marianela Carrillo Fernández Domingo Israel Cruz Báez Concepción González Concepción Juan Carlos Moreno Piquero Celina Pestano Gabino (Coordinadora) José Enrique Rodríguez Hernández
Sistema de ecuaciones lineales x - 3 y + 4 z =-13 3 x - y + 2 z = -3 -3 x + 5 y - z = 9
Resolver un sistema de ecuaciones lineales x - 3 y + 4 z =-13 3 x - y + 2 z = -3 -3 x + 5 y - z = 9 Forma de resolverlo: 1. Sistema tradicional 2. Mediante Álgebra Matricial
2. Mediante Álgebra Matricial x - 3 y + 4 z =-13 3 x - y + 2 z = -3 -3 x + 5 y - z = 9 AX = B
2. Mediante Álgebra Matricial Si A es cuadrada y | A | 0 : 1. AX=B X=A-1 B Regla de Cramer
2. Mediante Álgebra Matricial Si A es cuadrada y | A | 0 : 1. AX=B X=A-1 B Regla de Cramer:
2. Mediante Álgebra Matricial Si A es cuadrada y | A | 0 : 1. AX=B X=A-1 B Regla de Cramer:
2. Mediante Álgebra Matricial Si A es cuadrada y | A | 0 : 1. AX=B X=A-1 B Regla de Cramer:
2. Mediante Álgebra Matricial Si A es cuadrada y | A | 0 : 1. AX=B X=A-1 B Regla de Cramer 2. Método de Gauss A*=(A | B)
2. Mediante Álgebra Matricial Si A es cuadrada y | A | 0 : 1. AX=B X=A-1 B Regla de Cramer 2. Método de Gauss A*=(A | B)
2. Mediante Álgebra Matricial Si A es cuadrada y | A | 0 : 1. AX=B X=A-1 B Regla de Cramer 2. Método de Gauss A*=(A | B) 12 z = -24 z = -2 -4 y +11 z = -30 y = 2 x -3 y +4 z = -13 x = 1
2. Mediante Álgebra Matricial En general, para cualquier A, con rango A=rango A*=h
¿Cuándo un sistema de ecuaciones tiene solución?
¿Cuándo un sistema de ecuaciones tiene solución? Si tiene solución, ¿Cuántas tiene?
Discutir las soluciones de un Sistema de Ecuaciones Lineales:
Discutir las soluciones de un Sistema de Ecuaciones Lineales: Th. Rouché-Frobenius Un sistema tendrá solución cuando: Si rango A = rango A* Si rango A* El sistema tiene solución El sistema no tiene solución Las soluciones serán: Si rango A = rango A* = n SCD (única solución) Si rango A = rango A* < n SCI (infinitas soluciones)
Estudio por método de Gauss: rang A = rang A*=3 < n SCI (infinitas soluciones) rang A = rang A*=2 < n SCI (infinitas soluciones) rang A =2 rang A*=3 SI (no tiene solución)
Ejemplos: Estudio por método de Gauss: rang A = rang A* si a, b 0 rang A = rang A*= 3 SCD si a =0 o b =0 rang A=2 SCI
Ejemplos: Estudio por método de Gauss: rang A = 2 b si a 0 rang A*= 3 SI si a =0 rang A*= 2 SCI
¿Un sistema homogéneo tiene solución?
Sistema homogéneo: AX=0 rango A = rango A* El sistema tiene solución Si rango A = rango A* = n SCD (solución trivial)
Aplicación económica: Modelo Input-Output Ecuaciones que lo caracterizan: AX + D = X (I – A)X = D Si |I – A| 0 X = (I – A)-1 D Matriz inversa de Leontief
Aplicación económica: Modelo Input-Output Ecuaciones que lo caracterizan: AX + D = X (I – A)X = D X = (I – A)-1 D Sistema Ec. Lineal (I-A)X = B Matriz Coeficiente Matriz Variables Matriz Términos indep.
Resumen sobre resolución de sistemas Un sistema de ecuaciones lineales: X=A-1 B AX = B |A| 0 Cramer Gauss A*=(A | D) Un modelo I/O: X=(I – A)-1 D (I – A)X = D |I-A| 0 Cramer Gauss A*=(I – A | D)