Матан
Глобальные св-ва функций, непрерывных на отрезке • • Если свойство функции связано со всей ее областью определения, то это свойство естественно назвать глобальным. Теорема (Коши о существовании корня). Если функция, непрерывная на отрезке [a, b], принимает на его концах значения разных знаков (f(a) · f(b)<0), то на отрезке существует такая точка х0, что f(x 0)=0. Теорема (Больцано-Коши о промежуточном значении). Если функция g : [a, b]->R непрерывна на отрезке [a, b], g(a)=A, g(b)=B, то для любого числа С, лежащего между А и В, найдётся точка с, принадлежащая отрезку [a, b], в которой g(c)=C. Теорема (первая теорема Вейерштрасса). Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на нем Теорема (вторая теорема Вейерштрасса). Функция, непрерывная на отрезке, принимаетна этом отрезке свое максимальное иминимальное значение. Заметим, что теоремы Вейерштрасса неверны, если в условиях этих теорем отрезок [a, b] заменить на интервал (a, b). Достаточно рассмотреть функции Для функции f 1(x) неверна первая теорема Вейерштрасса, для функции f 2(x) -вторая. Равномерно непрерывные функции. Теорема (Кантора о равномерной непрерывности). Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на этом отрезке.
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, в форме Пеано • Формула Тейлора показывает поведение функции в окрестностях некоторой точки a.
Интеграл Римана с переменным верхним пределом
Существование первообразной непрерывной функции
Формула Ньютона-Лейбница
Ряды Фурье • • Ряд Фурье — в математике — способ представления произвольной сложной функции суммой более простых. В общем случае количество таких функций может быть бесконечным, при этом чем больше таких функций учитывается при расчете, тем выше оказывается конечная точность представления исходной функции. В большинстве случаев в качестве простейших используются тригонометрические функции синуса и косинуса, в этом случае ряд Фурье называется тригонометрическим, а вычисление такого ряда часто называют разложением на гармоники. Тригонометрическим рядом Фурье называют функциональный ряд вида или, более сжато Постоянные числа , и ( ) называются коэффициентами тригонометрического ряда. Если ряд (1) сходится, то его сумма есть периодическая функция с периодом , так как и являются периодическими функциями с периодом . Если периодическая функция с периодом — кусочно-монотонная и ограниченная на отрезке , то тригонометрический ряд Фурье, построенный для этой функции, сходится во всех точках. Сумма полученного ряда равна значению функции в точках ее непрерывности. В точках разрыва сумма ряда равняется среднему арифметическому пределов функции справа и слева.
Функции комплексного переменного • • • Определение. Если А – некоторое множество комплексных чисел z (геометрически – множество точек комплексной плоскости), и каждому числу z А поставлено в соответствие по некоторому закону число w В (где В – также множество комплексных чисел), то говорят, что на множестве А определена функция комплексного переменного z (или отображение множества А в В ). Функции комплексного переменного есть естественное распространение в комплексную область обычных для анализа элементарных функций. Однако, при таком распространении функции иногда приобретают новые свойства. Например, показательная функция комплексного переменного ez оказывается периодической, функции sin z и cos z перестают быть ограниченными, приобретают смысл логарифмы отрицательных чисел и т. д.
Показательная функция (компл. ), синус, косинус • Показательная функция ez = ex (cos y + i sin y). Из определения показательной функции следует, что она не обращается в нуль ни при каком z. Функция ez обладает периодом 2 , так как при изменении z на 2 i значение функции не изменяется. • Синус и косинус Из определения тригонометрических функций вытекает, что cos z – чётная функция, а sin z – нечётная функция. Из определения же следует, что cos z и sin z обладают периодом 2 , так как при изменении z на 2 i аргументы показательных функций в правых частях формул изменяются на ± 2 i – величины периодов показательной функции, а значит значение функций не изменится.
Скачать презентацию Матан Глобальные св-ва функций непрерывных на отрезке
Матан.pptx