Мастер-класс Решение задач с помощью неравенств

Мастер-класс. «Решение задач с помощью неравенств» .

2) 1 -й этап - поиск пути решения. Составление плана решения задачи, пожалуй, является главным шагом на пути ее решения. Правильно составленный план решения задачи почти гарантирует правильное ее решение. Но составление плана может оказаться сложным и длительным процессом. Поэтому крайне необходимо предлагать ученику ненавязчивые вопросы, советы, помогающие ему лучше и быстрее составить план решения задачи, фактически определить метод её решения: а) Известна ли решающему какая-либо подобная задача? Аналогичная задача? Если такая задача известна, то составление плана решения задачи не будет затруднительным. Другими словами можно ли применить метод сведения к ранее решенным. Но такая задача известна далеко не всегда. В этом случае может помочь в составлении плана решения совет. б) Подумайте, известна ли вам задача, к которой можно свести решаемую. Если такая задача известна решающему, то путь составления плана решения данной задачи очевиден: свести решаемую задачу к решенной ранее. Может оказаться, что родственная задача неизвестна решающему и он не может свести данную задачу к какой-либо известной. План же сразу составить не удается.

3) 2 -й этапи терпеливо. Но при этом ученику (решающему задачу) полезно следовать некоторым советам: а) Проверяйте каждый свой шаг, убеждайтесь, что он совершен правильно. Иными словами, нужно доказывать правильность каждого шага ссылками на соответствующие, известные ранее математические факты, предложения. б) При реализации плана поможет и совет: "Замените термины и символы их определениями". Так, термин "параллелограмм" заменяется его определением: "Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны", термин "предел числовой последовательности" для доказательства, например, того предложения, что предел суммы двух последовательностей, имеющих пределы, равен сумме пределов этих последовательностей, можно заменить, и вполне успешно, его определением.

Во многих текстовых задачах однозначное решение можно найти только в том случае, если учесть неравенства, вытекающие из условий. В ряде задач только с помощью неравенств удается получить дополнительные соотношения и тем самым найти решение. Наконец, существуют текстовые задачи, рассчитанные не умение составлять не только уравнения, но и неравенства, и с их помощью получать ответы на поставленные в задачах вопросы.

Задача № 1. Две трубы, действуя вместе в течение одного часа, наполняют водой 3/8 бассейна. Если сначала первая труба наполнит одну восьмую часть бассейна, а затем вторая при выключенной первой доведет объем до 3/8 бассейна, то на это потребуется 2, 5 часа, если первую трубу включить на час, а вторую – на полчаса, то они наполнят бассейн более чем на четверть. За какое время наполняет бассейн каждая труба?

Решение задачи. I. Составление математической модели. х л/час – производительность первой трубы; у л/час – производительность второй трубы; V л – объем бассейна. Тогда условие задачи можно записать следующим образом х + у = V,

Требуется определить t = V/x, T = V/y. Тогда систему можно переписать так Математическая модель готова.

II. Работа с математической моделью. 1)Из второго уравнения имеем t = 20 – 2 T. 2) Подставляем в первое уравнение, получаем уравнение относительно T 3 T 2 - 34 T + 80 = 0. Корни данного уравнения: T = 8 или T = 10/3. 3) Тогда решениями данной системы первых двух уравнений являются и Последнему неравенству системы удовлетворяет лишь первое решение.

III. Ответ на вопрос задачи. Первая труба заполнит бассейн за 4 часа, а вторая – за 8 часов. Ответ: 4 часа, 8 часов.

Задача № 2. Из города А в 9 часов утра выехал велосипедист и двигался с постоянной скоростью 12 км/ч. Спустя 2 часа вслед за ним из А выехал мотоциклист, который при начальной скорости 22 км/ч двигался равнозамедленно, так, что за час его скорость уменьшается на 2 км/ч. Автомобилист, едущий им навстречу в город А с постоянной скоростью 50 км/ч, сначала встретил мотоциклиста, а потом велосипедиста. Успеет ли автомобилист к 19 часам этого дня прибыть в город А?

Решение задачи. I. Составление математической модели. 1 час 22 км/ч 20 км/ч 2 часа 12 км/ч 50 км/ч По условию задачи автомобилист встретит сначала мотоциклиста, а затем велосипедист. Следовательно, мотоциклист некоторый участок пути пройдет впереди велосипедиста. Именно на этом участке пути произойдут их встречи с автомобилистом. Найдем этот участок. Пусть х ч – время, отсчитываемое от 9 часов утра, тогда 12 х км – путь пройденный велосипедистом, а - км – путь пройденный мотоциклистом. Приравнивая эти два пути, найдем соответствующие значения х, при которых мотоциклист и велосипедист обгонят друга. 12 х =

II. Работа с математической моделью. 12 х = t 2 – 14 t + 48 = 0, t 1 = 6, t 2 = 8. III. Ответ на вопрос задачи. Следовательно, мотоциклист обгонит велосипедиста в 15 часов дня на расстоянии 72 км от города А, а затем велосипедист обгонит мотоциклиста в 17 часов на расстоянии 96 км от города А. Итак, автомобилист, двигающийся со скоростью50 км/ч, ранее 17 часов был на расстоянии менее 96 км от города А, следовательно, он успеет к 19 часам прибыть в город А. Ответ. Успеет.

Задача № 3. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 18 км, в 8 часов выходит пешеход, в 11 часов выезжает велосипедист. Известно, что пешеход прибыл в пункт В не позже, чем в 12 часов 30 минут, а велосипедист прибыл в пункт В не позже пешехода. Считая скорости пешехода и велосипедиста постоянными, определить скорость велосипедиста, если она не более, чем на 8 км/ч превышает скорость пешехода. в 11 часов в 9 часов В A 18 км Необычность условий этой задачи состоит в том, что на их основе нельзя составить ни одного уравнения, а решение сводится к рассмотрению системы неравенств.

Решение задачи. Составление математической модели. х км/ч – скорость велосипедиста, а км/ч – разность скоростей велосипедиста и пешехода, (х – а) км/ч – скорость пешехода. Тогда получим I. х – а > 0, ,

II. Работа с математической моделью. Преобразуем полученную систему x > a > 0, Из второго неравенства, учитывая первое, получим х ≥ а + 4.

Рассмотрим третье неравенство. Корни квадратного трехчлена х2 – ах – 6 а есть Х 1, 2 = Применяя метод интервалов с учетом первого неравенства, получим x 1 a х2 x a

Чтобы существовали такие значения х, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство а+4≤ или а+8≤ откуда а ≥ 8. Учитывая, что по условию а ≤ 8, получим, что а = 8. При этом последнее неравенство для х дает откуда х = 12. III. Ответ на вопрос задачи. Скорость велосипедиста 12 км/ч. Ответ: 12 км/ч

Задача № 4. На реке, скорость течения которой равна 4 км/ч, в направлении её течения расположены пристани А, В, С, причем расстояние от А до В вдвое меньше, чем расстояние от В до С. От пристани В в один и тот же момент по направлению к пристани С отправлены плот (плывущий относительно берегов со скоростью течения реки) и катер. Дойдя до пристани С, катер разворачивается и движется по направлению к пристани А. Найти все значения собственной скорости катера (т. е. скорости катера в стоячей воде), при которых катер приходит в пункт А не раньше, чем плот приходит в пункт С.

Решение задачи. I. Составление математической модели. Пусть х км/ч – скорость катера в стоячей воде, у км - расстояние от пристани А до пристани В. ч – время движения катера из В в С, - время движения катера из В в С и обратно из С в А против течения. По условию ≥.

II. Работа с математической моделью. ≥ Применим метод интервалов, учитывая, что x > 4. + -4 + -2 4 + 12 х

Получим, что 4 < x ≤ 12. III. Ответ на вопрос задачи. Собственная скорость движения катера в стоячей воде должна быть в интервале (4; 12] км/ч. Ответ: (4; 12] км/ч.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!