Маслова Л.А. Москва-2008 Количественные методы в финансах Риски

Маслова Л.А. Москва-2008 Количественные методы в финансах Риски в финансовой и инвестиционной деятельности

Развитие инструментов управления рисками

VaR Из всех видов рисков, с которыми сталкиваются финансовые организации, рыночный риск (market risk), возникающий из-за изменения рыночных цен, наиболее легко может быть измерен с использованием методологии Value-at-Risk (VaR). Для других видов рисков (кредитного, операционного) методология VaR также может использоваться, но ее применимость ограничена. Привлекательность VaR состоит в том, что он одинаково хорош как для оценки риска отдельной позиции, так и для портфеля активов. Кроме того, VaR позволяет учесть эффект от диверсификации, а также вероятность неблагоприятного изменения цен в легкой для интерпретации денежной оценке. Один из наиболее важных аспектов "стоимости под риском" заключается в том, что в отличие от анализа сценариев или стресс-тестинга, которые показывают, какой убыток понесет фирма в случае наступления определенного сценария, "стоимость под риском" устанавливает вероятность потери в стоимостном выражении.

VaR Value-at-Risk (VaR) - это выраженная в данных денежных единицах, (базовой валюте актива ) оценка максимальных, ожидаемых в течение данного периода времени с данной вероятностью потерь данного портфеля (открытых позиций) под воздействием рыночных факторов риска. VaR отвечает на вопрос: как много можно потерять с вероятностью «p» процентов за определенный промежуток времени. VaR позволяет оценивать риск широкого круга инструментов и портфелей, сравнивать и суммировать различные виды рисков С помощью VaR можно оценить как рыночный, так и кредитный, а также операционный и страховой риски. VaR оценивает риск в денежных единицах, что делает различные рисковые позиции сравнимыми и понятными для менеджеров любого уровня. Поскольку VaR исчисляется в денежных единицах и учитывает не все, но большую часть возможных рисков, этот показатель можно также интерпретировать как капитал, необходимый для поддержания определённого уровня деятельности, связанной с риском.

Недостатки методологии VaR VaR изначально определяется как максимальная сумма средств, которую может потерять инвестор за определенный период времени при заданном уровне вероятности Часто указывается ещё на две возможные сферы применения VaR: в качестве лимита операционного риска и средства предотвращения особо крупных потерь. Также с помощью VaR нельзя определить, насколько адекватна выбранная ценовая модель для определённого вида бизнеса. Наконец, VaR едва ли может предотвратить потери в результате больших открытых позиций в периоды экстремальной рыночной турбулентности.

Рыночный риск

Модели расчета VaR

VaR для портфеля включается в себя два основных элемента: чувствительность стоимости рыночного портфеля к изменению ставки рыночного процента (фактора риска); распределение вероятности изменения процентной ставки за определенный временной интервал.

Что нужно знать для расчета VaR? Стоимость рыночной позиции MV (Market Value Вариация фактора риска Горизонт инвестирования Уровень значимости Распределение изменений рыночного фактора (частотная гистограмма Расчет возможных потерь

Расчет VaR портфеля. Стоимость портфеля в конце инвестиционного периода равна Абсолютное отклонение от среднего значения стоимости в значении равно где - реальное значение доходности, которая реализуется с некоторой вероятностью, зависящей от функции распределения доходностей. Для нормального распределения минимальное значение отклонение от средней ожидаемой стоимости портфеля VaR равно если же горизонт инвестирования равен дням, то VaR равен

Расчет VaR портфеля .. Пример. Пусть имеется портфель из 1 млн. 10 летних купонных облигаций . Цена облигации 105 евро, дюрация 7 лет, стандартное отклонение 0,15%. Найти VAR при = 2,326, которая соответствует вероятности в 99%. Решение. Расчет VaR при малых изменения доходности проводится по формуле подставляя данные из условия получим

Дельта-нормальное приближение Стоимость актива имеет различную зависимость от факторов риска . При малых изменениях рыночных факторов для получения линейной зависимости от факторов риска можно воспользоваться аппроксимацией нелинейной функции путем разложения ее в ряд Тейлора где - фактор риска, который является случайной величиной.

Дельта-нормальное приближение VaR Дельта-гамма - нормальным приближение имеет вид Для облигаций изменение стоимости при изменении доходности имеет вид VaR для облигаций при малых изменениях доходности равно

Дельта-нормальное приближение VaR Для нормального распределения доходности и при условии, что они являются совместно нормально распределенными величинами для VaR получим в дельта – нормальном приближении следующее выражение Дельта- нормальное приближение лучше всего подходит для расчета VaR коротких горизонтов, для которые зависимость цены актива от факторов риска можно считать линейной и доходность портфеля распределена по нормальному закону. Дельта- нормальное приближение лучше всего подходит для расчета VaR коротких горизонтов, для которые зависимость цены актива от факторов риска можно считать линейной и доходность портфеля распределена по нормальному закону.

Дельта-нормальное приближение VaR VaR применяется при расчёте для больших, хорошо диверсифицированных портфелей, состоящих из потребительских кредитов, кредитных карт или ипотечных инструментов. Расчёт VaR применяется для оценки стоимости открытой позиции по акциям. В модели CAPM каждый раз, рассматривая стандартное отклонение для анализа риска по модели CAPM, инвесторы фактически рассчитывали VaR. Метод нормально распределённых активов лежит в основе системы RiskMetrics™, которая включает два основных компонента: систему методов для отнесения того или иного инструмента к стандартной рисковой позиции, а также технологии работы с ковариационными матрицами

Вариационно - ковариционный метод Рис. 5.3. Распределение ежедневных доходностей индекса S@P500 за 1998 год

Вариационно - ковариционный метод

Вариационно - ковариционный метод Статистические характеристики

Вариационно - ковариционный метод Плотность распределения вероятности нормального распределения имеет вид Вероятность того, что значение случайной величины будет меньше некоторого значения находится из условия вероятность того, что значение доходности будет больше для данных значений и будет равна 0,975. =0,975

VaR Стоимость под риском или стоимость возможных потерь VAR состоит из произведения элементов: рыночной стоимости позиции ; вариации актива ; коэффициента (уровня значимости) , задающего вероятность с которой рассчитывается VaR. Значение определяется уровнем риска , который готов взять на себя инвестор. Банк для Bank of America, для того, чтобы поддерживать рейтинг надежности AA3, отвечающий вероятности и дефолта в 0,03%, а вероятности отсутствия потерь соответственно в 99.97% должен иметь резервный капитал по VaR модели, соответствующий значению = 3,432. Чем выше рейтинг, тем больший должен быть резервный капитал по оценке VaR.

Таблица рейтингов надежности и соответствующих значений

Выбор горизонта инвестирования VAR представляет максимальные потери только, если позиция, вызывающая эти потери находится это внутри горизонта инвестирования При выборе горизонта инвестирования следует учесть следующие факторы: Ликвидность рыночной позиции. . Размер позиции. Субъективный.

Выбор горизонта инвестирования Если дневные доходности являются независимыми и случайно распределеннными величинами со средним и дисперсией То доходность за Т дней также нормально распределена со средним и дисперсией . Стандартное отклонение за период Т равно Для 10 дневного стандартного отклонения , используя однодневную получим. Это преобразование соответствует требованиям Базельского комитета для определения размеров капитала резервируемого с точки зрения рыночного риска на последние 10 рабочих дней..

Выбор горизонта инвестирования Для оценки вариации за другие периоды на основе ежедневной вариации необходимо Отсутствие автокорреляций. (изменения в день t не зависели от дня (t-1), а также не влияли на следующий день) .

Расчет VaR портфеля через дисперсию Для расчета вариации портфеля применятся модель Марковитца. Вариация портфеля равна В матричной форме вариация равна Подставляя в формулу VaR выражение для стандартного отклонения портфеля, получим В матричной форме формула имеет вид

Расчет VaR портфеля через дисперсию Для портфеля из двух бумаг VaR портфеля имеет простой вид Пример. Оценить риск портфеля, состоящего из двух денежных позиций в валюте. Имеется длинная позиция в долларах стоимостью 50 млн. евро. и короткая в японских йенах эквивалентная сумме в 10 млн. евро. Решение. Пусть ежедневная вариация длинных позиций EUR/USD and EUR/YEN равны 2% и 3% соответственно, а коэффициент корреляции между ними равен 0,6. Найдем VaR долларовой позиции с вероятностью 99,5%, соответствующее α = 2,576. Дневной VaR для долл. равен 502,5762% 2,576 млн. евро Для йены VaR равен млн.евро Отрицательное значение означает, что это короткая позиция и когда, когда отношение Euro/Yen падает, то потерь нет. Окончательно для всего портфеля получим

Расчет VaR портфеля через дисперсию Пример. Для портфеля из трех активов и вероятности 95% ( найти денежное значение VaR. Полученное значение означает, что потери более чем в 41466, 33$ ожидаются в 5% дней из 20 торговых, т.е. один раз

Расчет VaR портфеля по рыночной модели CAPM По модели CAPM дисперсия портфеля равна: Согласно модели CAPM дисперсия акции связана с ее бета следующим соотношением Ковариация между активами равна: Для портфеля из двух бумаг VaR равно Упрощая получим:

Расчет VaR портфеля по рыночной модели CAPM Пример. На основе данных таблицы рассчитать VaR из трех бумаг для , что соответствует вероятности 99% по двум формулам: вариаций-ковариаций (5.19) и по рыночной модели CAPM Рассчитаем VaR портфеля через бета акций 2,3620,087(101,4+151,2+200,8) = 7,817

VaR Рассчитаем портфеля по формуле Для этого рассчитаем VaR каждой акции по формуле Производя вычисления по формуле получим для портфеля = 9,587

Условия применения вариационно-ковариационного метода Ковариационно-вариационный метод расчета VaR можно применять, если факторы риска (доходности) имеют нормальное распределение со средним значением близким к нулю и постоянной дисперсией на данном временном интервале. VaR является линейной функций факторов риска. VaR портфеля рассчитывается либо по рыночным факторам (бета) либо через ковариационную матрицу отсутвуют автокорреляции доходностей активов. Одной из причин отклонения от нормального распределения является монетарная политика. Но, наиболее серьезной ограничением для выше изложенного вариационно-ковариационного метода являются толстые хвосты. Это приводит к большим потерям, чем рассчитанные VaR по этой методике

Поиск решений по преодолению этих проблем. Преодолеть толстые хвосты можно, например, применяя распределение Стьюдента, композицию из двух нормальных распределений или модель Броуновского движения Вариационно-ковариационное приближение предполагает, что рыночные доходности имеют нормальное распределение с постоянной доходностью и дисперсией .Такой ситуации удовлетворяет так называемая модель Броуновского движения где – мгновенное изменение доходности среднее значением ежегодной доходности, вариацией, – Винеровский (случайный) процесс, имеющий нормальное распределение со средним 0 и вариацией . В этом предположении считается , что доходность состоит из постоянной известной средней μ и неизвестной компоненты – шум ( ), который является нормально распределенной случайной величиной.

Сравнение методов оценки VaR. Существует множество методов оценки VaR. Однако на практике используются не все методы. Результаты исследования Британской финансовой службы показало, что 42% банков исаользуют ковариационные матрицы, 31% банков используют метод анализа предыдущих данных, а 23 % используют метод Монте-Карло. У всех методов имеются преимущества и недостатки. Кроме того, они взаимосвязаны. Так метод Монте-Карло для анализа линейных переменных с нормально распределенными доходностями должен давать тот же результат, что и метод дельта -нормального распределения