Макстермы Макстерм полная сумма или дизъюнктивный терм

Макстермы • Макстерм (полная сумма или дизъюнктивный терм) n переменных – это булево выражение, которое имеет форму суммы всех булевых переменных или их дополнений, то есть макстерм состоит из суммы n литералов по 1 му литералу на каждую переменную.

Макстермы • Теорема. Среди 2 n различных макстермов для n переменных х1, х2… хn ни одна из пар макстермов не представляет собой эквивалентные булевы выражения. Доказательство: Так как xe = e · x + e · x, то если xi = ei, то xi ei = 0. Значит, для макстерма M=Me 1 e 2…en подстановка xi=ei для i=1, 2, …, n дает сумму n термов, все из которых равны 0, следовательно, макстерм равен 0. Любой другой макстерм содержит хотя бы 1 литерал дополнение для xi из M. А замена хотя бы 1 го литерала макстерма M на его дополнение (0 1) делает макстерм M единичным. Т. о. , для любых 2 х различных макстермов существует по крайней мере 1 набор значений переменных, для которого значения макстермов различны и, следовательно, ни какие 2 различных макстерма не являются эквивалентными.

, Конъюнктивные формы представления логических функций • Теорема. Любая таблично заданная, отличная от 1, логическая функция может быть представлена аналитически в виде произведения ее макстермов, на которых она равна 0. , где i – номера наборов, на которых функция равна 0. Определение. Элементарной дизъюнкцией называется дизъюнкция литералов (переменных или их отрицаний), взятых не более чем по одному разу. Например, дизъюнкции являются элементарными. Причем первая элементарная дизъюнкция имеет ранг (число литералов) 2, вторая - 3, а третья - 0. Следующие дизъюнкции: не являются элементарными.

Определение. Элементарная дизъюнкция булевой функции содержащая n литералов, называется полной. Например, КНФ имеет длину, равную 3. Для произвольной булевой функции F существует, вообще говоря, много различных реализующих ее КНФ, отличающихся друг от друга длиной, числом вхождений литералов и т. д. Определение. Две (или несколько) КНФ, реализующих одну и ту же булеву функцию F , называются эквивалентными (или равносильными). Определение. КНФ булевой функции F, состоящая только из полных элементарных дизъюнкций, называется совершенной КНФ (СКНФ). Например, СКНФ функции F заданной вектором значений таблицы истинности w(F)=(01100111). Отметим, что СКНФ является единственной (с точностью перестановки множителей) для конкретной булевой функции F. Любую булеву функцию F, заданную формулой, можно с помощью основных равносильностей преобразовать к КНФ, а затем к СКНФ.

Пример. Привести к виду СКНФ булеву функцию Решение. С помощью основных равносильностей преобразуем к КНФ: В данном примере сначала выразили функцию только с помощью операций дизъюнкции, конъюнкции и отрицания, а затем несколько раз применили формулу , группируя переменные таким образом, чтобы каждый раз одна скобка в конъюнкции сокращалась по формуле .

СКНФ состоит из конъюнкций полных элементарных дизъюнкций наборов переменных , на которых функция принимает значение 0. Переменные берутся без отрицания, если им соответствует в таблице истинности 0, с отрицанием, если 1. • Свойства СКНФ – СКНФ не имеет двух одинаковых макстермов – Ни один макстерм СКНФ не содержит двух одинаковых множителей – Ни один макстерм СКНФ не содержит вместе с переменной ее отрицание

Определение. Полином функции F, состоящий только из полных элементар ных конъюнкций, называется совершенной ПНФ (СПНФ). По аналогии с СДНФ такое представление конкретной булевой функции F явля ется единственным. Рассмотрим на примерах построение СПНФ, используя преобразование СДНФ булевой функции.

Основным достоинством представления булевых функций в виде канонического поли нома Жегалкина является то, что в этом представлении любая булева функция задается с помощью всего двух логических операций: конъюнкции и сложения по модулю два, что сокращает набор различных элементов для синтеза логических схем. Опишем метод построения канонического полинома Жегалкина P(F) путем преобразования СДНФ для произвольных булевых функций n пе ременных , заданных посредством таблицы истинности. F Предварительно отметим основные свойства логической операции сложения по модулю два, которые используются при описании метода.