макросистемный мир Биологическая система Физическая система части и целое темп индивидуальное и коллективное микро- и макродинамика молекулы газа пчелы мед макроструктура Экономическая система Транспортная система Преобразование транспортный поток микродвижения цены на товар экономические агенты 2
Содержание курса Введение Математические модели стационарных макросостояний (MCC) • Принципы построения, характеристики, вариационный принцип, условия оптимальности • Параметрические свойства мсс с полным и неполным использованием ресурсов • Вычислительные методы мультипликативного типа, классификация, сходимость • Управление стационарными состояниями, двухуровневая оптимизация, численные методы • Структура, элементы, модели поведения • Примеры: физика, химия, биология, экономика, транспорт ТЕОРИЯ МАКРОСИСТЕМ И ЕЁ ПРИМЕНЕНИЯ Прикладные задачи • Транспортные потоки • Региональная динамика • Компьютерная томография • Робастное оценивание при малых данных • Пространственная демоэкономика Математические модели нестационарных макросостояний(МНС) • Принципы построения динамических моделей • Динамические системы с энтропийным оператором (ДСЭО), численные методы • Оценивание параметров ДСЭО по реальным данным, робастность оценок, • Управление ДСЭО, структуры, методы, алгоритмы 3
Лекция 1 1. 1 Феноменологическое определение макросистемы Система (детерминированное поведение) Элемент (недетерминированное поведение) Макросистема – динамическая система • С большим количеством элементов • Состояние (поведение) элементов – недетерминировано • Состояние (поведение) системы как целого – детерминировано (квазидетерминировано) 1. 2 Модели поведения элементов Стохастическое Поведение элемента, так и совокупности элементов, предполагается случайным и характеризуется терминами теории вероятности и теории случайных процессов Целесообразное Поведение элемента характеризуется максимизацией собственной функции полезности, а их совокупности – максимизацией общей функции полезности Хаотическое Поведение элемента, так и совокупности элементов моделируется траекториями динамического хаоса 4
1. 3 Структура макросистемы Лекция 1 Абстрактная система – преобразователь информации, вещества, энергии, действующих на ее входе , в их аналоги на выходе X система Н Y вход X Преобразование «вход-выход» характеризуется отображением Н выход U Н 1 вход Y Н 2 состояние Декомпозиция отображения Н на отображение «вход-состояние» Н 1 и «состояние-выход» Н 2 выход макросистема X Н 11 вход элемент s 1 G стохастическое состояние G t 1 s 2 s 3 Пространство микроуровня (стохастических состояний G(t)) G(t) Н 12 U Н 2 состояние U 1 U 2 Un Y выход U(t) Распределение элементов по подмножествам U(t) Y=F(Y, U) Траектории макросостояний Дуализм макросистемы моделируется декомпозицией отображения Н 1 на отображение «вход-стохастическое состояние» Н 11 и отображение «стохастическое состояние» Н 12 Н 11 : ансамбли траекторий элементов Н 12 : распределения количеств элементов по подмножествам Н 2 : динамика макросостояний 5
Лекция 1 1. 4 Примеры реализации макросистемной модели 1. 4. 1 Магнитные материалы спин домены спин + N-доменов • Взаимодействие доменов слабое • Смена ориентации (спина) случайная Большое количество реализаций детерминированное направление магнитного поля Магнитный материал - система из N частиц каждая из которых имеет спин, равный ± , и магнитный момент µ 0. Такими частицами являются электроны или атомы, имеющие непарный электрон. Наличие у частицы спина означает, что измерение составляющей момента количества движения (относительно выделенного направления в пространстве) может дать только два возможных значения: + или (где h – постоянная Планка). Система из N частиц со спином похожа на N намагниченных стержней с моментом µ 0 , направленным либо влево, либо вправо. Частицы находятся на достаточно большом расстоянии друг от друга и взаимодействие между ними мало. Изменение ориентации их магнитных моментов происходит случайным образом и независимо от других частиц. В результате реализации большого количества случайных ориентаций возникает определенное направление магнитного поля. 6
Лекция 1 1. 4. 2 Экономический обмен Регион № 1 Пространственно распределенная потребители экономическая система содержит N регионов, каждый из которых производит товар одного типа, используя товары других регионов. Обмен товарами происходит на Регион № 2 рынке и предполагается, что пара «производитель-потребитель» образуется на рынке случайно и независимо от других подобных пар. При этом существуют различные Поток 1→ 4 регламентирующие правила, свойственные рыночной экономической системе. Многочисленные реализации указанных товарных обменов приводят к устойчивым товарным Детерминированное межрегиональным потокам распределение товарных Регион № 4 производители Регион № 3 Большое количество реализаций 1 1 4 Поток 1← 4 потоков 2 3 7
Лекция 1 1. 4. 3 Пассажирские транспортные потоки Коммуникационная сеть Транспортная система является одним из важнейших видов Транспортные коммуникаций. Современное решения представление о ней пассажиров складывается из трех компонент: сети, транспортных средств и Время поездки ресурсов. Последние две являются источниками потока в транспортной сети. Коммуникационная сеть определяет топологию связей между местами жительства и местами работы. В пассажирской транспортной системе элементы Большое количество пассажиры обладают значительной «свободой воли» при транспортных решений выборе маршрута поездки. Городская транспортная Детерминированное система позволяет пассажиру выбирать различные распределение маршруты в зависимости от своих предпочтений и транспортных потоков воздействий внешней среды. Индивидуальное решение о выборе пути следования обусловлено набором многих факторов, часто Транспортные потоки недетерминированных. Многочисленная реализация таких индивидуальных выборов порождает распределение потоков в транспортной сети. Поскольку поток есть некоторая интегральная характеристика системы, то в нем недетерминизм проявляется в существенно меньший степени, чем в поведении элемента пассажира. Места жительства Места работы % пассажиров 8
1. 4. 4 Компьютерная томография Лекция 1 Схема томографического исследования Скрытый образ Y l Объект O q(l) F(x, y) – плотность образа Детектор D F(x, y) q(l) - средняя интенсивность в направлении l X Источник S Процесс абсорбирования фотонов Слой в объекте детектор Поток фотонов отражение абсорбирование переход в слой Большое число N 1 N 2 переход в ячейку реализаций … Nm … Детерминированнное распределение поглощения фотонов в объекте N 11 N 12 … … N 1 m N 21 N 22 … … N 2 m … … … Nn 1 Nn 2 … … Nnm Случайные события Исследуемый объект скрыт от прямого визуального наблюдения: пространственная структура кристалла, конфигурация внутренних органов человека, структура звездных скоплений, география месторождений полезных ископаемых и т. д. Томография – один из методов исследования таких объектов. Изображение объекта получают по его проекциям. Источник S излучает поток рентгеновских фотонов в направлении l. Часть излучаемых фотонов отражается от объекта. Но некоторое количество проходит через объект и попадает на детектор D. Для каждого фотона нельзя предсказать что с ним произойдет: будет ли он поглощен в объекте, отразится от его границ, или попадет в детектор. Эти процессы зависят от свойств объекта и энергии фотона. И то и другое непредсказуемо. Удобной моделью этих процессов является стохастическая модель: для каждого значения энергии фотона существует вероятность прохождения объекта, т. е. вероятность попадания его на детектор. Скрытый образ характеризуется функцией плотности F(x, y). Поскольку количество N фотонов пучке большое, то в результате в каждой ячейке объекта сосредотачивается определенное количество фотонов, которое зависит от плотности ячейки объекта. Распределение абсорбированных фотонов трансформируется в изображение - скрытый образ объекта. F(x, y) 9
1. 4. 5 Химическая кинетика Лекция 1 ES P 1 S Химическая реакция А 1 E ES ES P 3 S S E P 2 E А 3 реактор А 2 - молекулы катализатора - молекулы P 1 - молекулы P 2 - молекулы P 3 реактор реакции Е – общий катализатор P 1, P 2, P 3 продукты химической реакции А 1 А 2 … … Аn N 1 N 2 … Nn Детерминированное размещение молекул катализатора Случайное попадание молекул катализатора в реакции В химическом реакторе происходят реакции, в которых участвуют различные исходные вещества S и общий для все реакция катализатор Е. Молекулы катализатора Е присоединяются к молекулам исходного вещества S. Образованный молекулярный комплекс SE в результате химической реакции превращается в молекулу продукта Р, а молекула катализатора Е освобождается. Если этот продукт конечный, то его молекулы накапливаются в реакторе. Если он промежуточный, то он используется в качестве исходного вещества в других реакциях. Молекулы катализатора случайным образом попадают в соответствующие реакции. В результате реализаций многочисленных событий возникает детерминированное распределение количеств молекул катализатора по реакциям. Это распределение определяет скорость химических реакций в реакторе, и следовательно, скорость получения конечного продукта. 10
Скачать презентацию макросистемный мир Биологическая система Физическая система части и
Введение и лекция 1.pptx