ЛОГІКИ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ Класичні логіки 1 -го порядку

ЛОГІКИ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ Класичні логіки 1 -го порядку: функції та предикати – скінченноарні (фінарні), причому предикати – тотальні базові функції та предикати – тотальні п-арні. Логічні композиції: – логічні зв’язки , та , &, – операції квантифікації (квантори) x та x. В неявному вигляді – композиції суперпозиції. Квантори застосовні тiльки до імен компонентів даних (предметних iмен). 1

Семантичні моделі класичної логіки: класичні алгебраїчні системи (АС) з фінарними функціями та фінарними тотальними предикатами. АС – це пара A = (A, Fn. A Pr. A). Тут A – носiй, або основа АС. Виділимо в АС базові функції та предикати. Їх імена – функціональні символи (ФС) та предикатні символи (ПС) Fs – множина ФС, Ps – множина ПС, = Fs Ps – сигнатура Може виділятися Спs Fs – множина константних символів I – тотальне однозначне I : Fn. A Pr. A. I задає Fs Fn. A та Ps Pr. A A = ((A, Fn. A Pr. A), I) – АС з доданою сигнатурою , або -АС. Позначення: A = (A, I, ); A = (A, ), якщо I мається на увазі. P Pr. A такий: I(p) = P – значення ПС p при інт. I на АС A. I(p) позн. p. A G Fn. A така: I(g) = G – значення ФС g при інт. I на АС A. I(g) позн. g. A. Базові функції та предикати класичної логіки п-арні. З кожним ФС та ПС зв’язане натуральне число – його арність Арність h. A pівна арності символу h. 2

АС A = (A, ) – підсистема АС B = (B, ) (B – надсистема A): A B і для всіх h h. A h. В : для всіх а А h. В (а)=h. А(а). У цьому випадку B – розширення A, а A – звуження B. Множина С А утворює підсистему C = (C, ) АС A = (A, ), якщо C замкнена відносно всіх f. A, де f . Приклад 1. Для (N, {+, =}) Nнеп N незамкнена щодо +, не утв. п/c. Множина Nпар N утворює власну п/с АС (Nпар, {+, =}) Якщо (A 1, ) та (A 2, ) – п/с АС (A, ), то або (А 1 А 2, ) – п/с АС (A , ), або А 1 А 2 = . Підсистема (А 1 А 2, ) – перетин підсистем (A 1, ) та (A 2, ). Теорема 1. Перетин М носіїв всіх п/с АС (A, ) або утворює п/с (М, ), або . 3

{A } J – множина всіх підмножин A, замкнених відн. базових f. A, f . M замкнена відносно всіх базових f. A Нехай a 1, . . . , an M a 1, . . . , an A J. A замкнені відносно f. A (a 1 , . . . , an) A J. Звідси Таку АС (М, ) назвемо найменшою підсистемою АС (A, ). Якщо містить конст. символи, то (A, ) має найменшу підсистему. Нехай {A } J - множина носіїв всіх підсистеми A=(A, ). В А множина – найменша, замкнена відносно всіх базових функцій системи A=(A, ). С визначає АС (С, ) – підсистему АС (A, ), породжену множиною В Якщо С=А, то АС (A, ) породжується підмножиною В А. Приклад 2. Система (N, {+, =}) породжується мн-ю {0, 1}. Приклад 3. N = (N, {0, 1, +, , =}) породжується мн-ю {0, 1}. N не має власних підсистем. Приклад 4. (Z+, {+, =}) має п/с (k. Z+, {+, =}) k Z+. 4

Мови класичної логіки 1 -го порядку Мови 1 -го порядку – для форм. опису та дослідження логік 1 порядку Алфавiт класичної мови 1 -го порядку: – множина предметних імен (змiнних) x, y, z, . . . ; – множина Fs функцiональних символів f 0, f 1, f 2, . . . заданої арностi; – множина Рs предикатних символів p 0, p 1, p 2, . . . заданої арностi; – символи логiчних операцiй (композицій) , та х. Може виділятися підмножина константних символів Спs Fs. Спеціальний ПС рівності = (якщо = Рs) завжди інтерпретуємо як предикат рівності, рівність трактуємо як тотожність. Предметнi імена та , , , = – логiчні символи ФС та ПС (окрім =) – нелогiчні символи. =Fs Ps – сигнатура мови 1 -го порядку. Терми – для позначення об’єктiв Формули – для запису тверджень. 5

Множина Тr термів: 1) кожні х V та c Спs – терми; такі терми – атомарні; 2) якщо t 1, . . . , tn – терми, f – n-арний ФС, то ft 1. . . tn – терм. Атомарна формула: pt 1. . . tn, де p – n-арний ПС, t 1, . . . , tn – терми. Множина Fr формул: 1) кожна атомарна формула є формулою; 2) якщо та – формули, то та – формули; 3) якщо – формула, x – предметне iм’я, то x – формула. & , , – скорочення , , . x – скорочення формули x . Пріоритет: ФС; ПС: х, , &, , , . Пишемо f(t 1. . . tn) та p(t 1. . . tn) замість ft 1. . . tn та pft 1. . . tn Якщо f чи бінарний, пишемо t 1 ft 2 чи t 1 pt 2 пишемо t 1 t 2 замість = t 1 t 2 6

Два рiвнi вiдмiнностi мов 1 -го порядку: 1) варiанти мови однієї сигнатури (рiзні набори символiв базових логiчних операцiй, способи запису термiв i формул) 2) iстотно рiзнi мови, що вiдрiзняються сигнатурами. Мова L’ сигнатури ’ – розширення мови L сигнатури , якщо ’ . У цьому випадку L – звуження мови L’. 7

В формулi x або x формула – область дiї квантора по x. x або x – кванторний префiкс. Входження x в зв’язане, якщо воно – в областi дiї деякого квантора по x, iнакше таке входження x в вiльне. Якщо iснує вiльне входження x в , то x – вiльне ім’я (змiнна) формули . Формулу iз вiльними x 1, . . , xn позначаємо (x 1, . . , xn). Наприклад, z u(x+z=y+u) z=0 має вільні змінні x, y, z. Терм замкнений, якщо він не мiстить предметних імен Приклади: кожний константний символ; (1+0) 1 Формула замкнена, якщо вона не має вiльних імен. Приклади: 1+0=0+1; х y(y>x) 8

Приклади мов 1 -го порядку Приклад 1. Мова арифметики Lar визнач-ся ar = {0, 1, +, , =} Терм мови арифметики – арифметичний Формула мови арифметики – арифметична 1+1 – замкнений арифметичний терм; x (y+z) – арифметичний терм; z(x+z=y) – арифметичнa формула. Приклад 2. Mова теорiї множин Lset визначається set = { , =} Наприклад, z x – атомарна формула, z(z x z y) – формула, x y(y x) – замкнена формула мови Lset. Приклад 3. Мова теорiї впорядкованих множин Lord визначається сигнатурою ord ={<, =}, де < та = – бiнарнi предикатнi символи. Наприклад, x

Зв’язанi iмена в формулах можна замiнювати iншими іменами Колiзiя – ситуацiя, коли вiльнi імена стали зв’язаними. Наприклад, із z(x+z=y) отримуємо: t(x+t=y) – немає колізії x(x+x=y) – є колізія Вiльнi входження предметних імен можна замiнювати термами. – формула, отримана iз замiною всiх вiльних входжень x 1, . . . , xn на терми t 1, . . . , tn вiдповiдно. Аналогічно для термів Rm. Формули x, y[a, b] та ( x[a])y[b] рiзнi. Наприклад: якщо – це x y, то x, y[y, z] – це y z, ( x[y])y[z] – це z z. При замiнi вiльних входжень імен термами можливi колiзiї, коли вiльне ім’я стає зв’язаним. Наприклад, нехай – це z(x+z=y). Тоді x[u] – це z(u+z=y), x[z] – це формула z(z+z=y); маємо колiзiю. Терм t допустимий для замiни вiльного x в , якщо х не знаходиться в областi дiї нiякого квантора по деякому імені, яке входить до t. 10

Семантика мови 1 -го порядку Інтерпретацiя, або модель мови L сигнатури – це АС з доданою сигнатурою A = (A, I, ). A – область iнтерпретацiї. Предметнi імена iнтерпретуємо як iмена елементів (змінні) на A. Символи логiчних операцiй – вiдповiднi логiчнi операцiї. Константні символи – як функції-константи на A, тобто як конкретні елементи множини А. ПС та ФС iнтерпретуємо як предикати та функцiї вiдповiдної арностi на A, причому = – завжди як предикат рiвностi на A. Конкретна інтерпретація мови L на АС A = (A, I, ) визначається відображенням I : Fn. A Pr. A. Значення символiв с, f, p позначаємо с. A, f. A, p. A : I(c) = c. A , I(f) = f. A , I(p) = p. A. 11

I продовжимо до відображення J : Tr Fr Fn. A Pr. A: – J(х)=’x; – J(ft 1. . . tn) =I(f)(J(t 1), . . . , J(tn)) = f. A (J(t 1), . . . , J(tn)); – J(рt 1. . . tn) =I(р)(J(t 1), . . . , J(tn)) = р. A(J(t 1), . . . , J(tn)); – J( ) = J( ); – J( ) = (J( ), J( )) – J( x ) = x(J( )); Кожний терм з вільними v 1, . . . , vn інтерпретується як {v 1, . . . , vn}-арна функція на А; кожна формула з вільними v 1, . . . , vn інтерпретується як {v 1, . . . , vn}-арна функція на А. Кожний замкнений терм інтерпретується як функція-константа на А, кожна замкнена формула – як предикат-константа на А. J(t) та J( ) позначаємо як t. A та A. 12

Формула істинна при інтерпретації A, або істинна на A, якщо предикат A є істинним. Це позначаємо A |=. Тоді Х-арний предикат A такий: d AХ маємо A(d)=T. Формула всюди iстинна, якщо iстинна при кожнiй iнтерпретацiї. Те, що всюди істинна, позначимо |=. Формула виконувана при інтерпр. A, або виконувана на A, якщо предикат A є виконуваним. Тоді Х-арний предикат A такий: A(d)=T для деякого d AХ Формула виконувана, якщо виконувана при деякiй iнтерпретацiї. 13

Приклад 1. Формула x=x всюди iстинна. Приклад 2. x y(x=y) iстинна якраз на всiх 1 -елементних АС; x y(x=y) iстинна якраз на всiх k-елементних АС, де k>1. Замикання формули з вiльними iменами x 1, . . . , xn – це замкнена формула x 1. . . xn. Семантична теорема замикання: Теорема 1. A |= , де – замикання . 14

Виразність. Арифметичні предикати, множини, функції Предикат Р на А виразний в АС A = (A, I, ) ф-ю , якщо Р – це A Пр-т Р на А виразний в АС A = (A, I, ), якщо існує ф-ла : Р – це A Область істинності виразного в A предикату – виразна в АС A множина. Функція виразна в АС A, якщо її графік – виразна в A множина. Ф-ла виражає функцiю f, якщо виражає пр-т "y=f(x 1, …, xn)" Приклад 1. Предикати"х=0" та "х=1" виразні в АС (N, { , =}), (Q, { , =}), (R, { , =}) відп. формулами y(x y=х) та y(x y=y). Приклад 2. Предикат "х=0" в АС (N, {+, =}), (Z, {+, =}), (R, {+, =}) виражає формула х+х=х. Приклад 3. Предикат "х=1" в АС (N, {+, =}) виражається формулою u v(x=u+v u=u+u v=v+v) & x=x+x. Приклад 4. "|x–y|=2" в (Z, {|x–y|=1, =}) виражає z(|x–z|=1&|z–y|=1& x=y. Приклад 5. "|x–y|=3" в (Q, {y=x+3, =}) виражає y=x+3 х=y+3. Приклад 6. "z=x+1" в (Z, {<, =}) виражає (x

Cтанд. iнтерпретацiя (cтанд. модель) Lar– це АС N = (N, ar). Істинна арифм. формула (ІАФ) – ар. формула, яка iстинна на N. – кожна всюди iстинна арифметична формула є IАФ, – не кожна ІАФ всюди iстинна. x(x+1=0) є ІАФ, але не iстинна на АС Z = (Z, ar), R = (R, ar). Предикати, множини, функції, виразні в N = (N, ar) – арифметичні Приклад 7. Арифметичними є такі предикати та функції: 1) "x парне" та "x ділиться на у" виражаються y(x=y+y) та z(x=y z) 2) "x є простим числом" виражається y z(x=y z y=1 z=1)& x=1 3) "x y" та "x

Тавтологiї. Логічний наслідок, логічна еквівалентність Тавтологiї – формули, якi мають структуру тавтологiй мови ПЛ. Формула пропозиційно нерозкладна, якщо вона атомарна або x. Нехай Fr 0 – множина всiх пропозиційно нерозкладних формул мови L. Iстиннiсна оцiнка мови L – довiльне : Fr 0 {T, F}. Продовжимо до вiдображення : Fr {T, F}: – ( )=T ( )=F; – ( )=T ( )=T або ( )=T. Формула мови L тавтологiя, якщо ( ) = T для кожної iстиннiсної оцiнки мови L. Кожна тавтологiя – всюди iстинна, але зворотне невiрне. Наприклад, x=x 17

На множинi формул введемо відношення: – тавтологiчного наслiдку ╞ , тавтологiчної еквiвалентностi т – логiчного наслiдку |=, логiчної еквiвалентностi – слабкого логiчного наслiдку ||= – тавтологiчний наслiдок (позн. ╞ ), якщо – тавтологiя. та тавтологiчно еквiвалентнi (позн. т ), якщо ╞ та ╞ . є логiчним наслiдком (позн. |= ), якщо всюди iстинна. та логiчно еквiвалентнi (позн. ), якщо |= та |=. формули та всюди iстиннi. є слабким логiчним наслiдком формули (позн. ||= ), якщо для кожної iнтерпретацiї A iз A |= випливає A |=. є логiчним наслiдком множини формул { 1, . . . , n}, що позн. { 1, . . . , n}|= , якщо 1&…& n |=. Замість ╞ , |= та ||= пишемо ╞ , |= та ||=. 18

Основні властивості відношень ╞, |=, ||= та : 1) тавтологія ╞ ; 2) всюди істинна |= ||= ; 3) ╞ |= ; але не завжди |= ╞ ; 4) |= ||= ; але не завжди ||= |= ; 5) т тавтологія 6) |= ; 7) відношення ╞ , |= та ||= рефлексивні і транзитивні; 8) відношення рефлексивне, транзитивне і симетричне. Для 3) та 4) маємо контрприклади: Для 3: x y(x=y)|= y x(x=y), але невiрно x y(x=y)╞ y x(x=y). Для 4: (x=0)||= x(x=0) але невiрно (x=0)|= x(x=0). За теоремою замикання (x=0)||= x(x=0). Але (x=0)N(0)=T та ( x(x=0))N=F, тому (x=0 x(x=0))N(0)=F (x=0)| x(x=0). Тeорeма 2. Якщо х не вільне в , то ||= x . 19

Логічний наслідок для множин формул є логічним наслідком в АС A, якщо для всіх d AX із того, що А(d)=T для всіх , випливає, що ΨА(d)=Т для деякої Ψ . Це позначаємо |=А . є логічним наслідком , якщо |=А для всіх АС A = (А, I) тієї ж сигнатури. Це позначаємо |= . | існують АС A = (А, I) та d VA такі: А(d)=T для всіх та ΨА(d)=F для всіх Ψ . Відношення |= рефлексивне, але нетранзитивне. Теорема 3. (заміни еквівалентних). Нехай . Тоді , |= та |= , . Властивості |= проп. рівня успадковуються для логік 1 -го порядку. Властивості відношення |=, пов'язані з елімінацією кванторів. –|) |= , x[y 1], …, x[yn], х |= , х. |–) x[y 1], …, x[yn], х , |= . |–) х , |= x[y], |= якщо вільна у { х ). –|) |= , х |= , x[y] якщо вільна у { х ). 20

Істинність та скiнченно-iстинність Формула мови L k-iстинна, якщо A |= для кожної k-елементної iнтерпретацiї A мови L. Формула скiнченно-iстинна, якщо є k-iстинною для кожного k>0. Приклад 1. Формула x 1. . . xk((x 1 x 2)&. . . &(x 1 xk)&. . . &(xk– 1 xk)) стверджує: iснує k рiзних елементiв областi iнтерпретацiї. Така формула Ek є n-істинною для всіх n k. Приклад 2. Формула x 1 x 2. . . xk y((y=x 1). . . (y=xk)) cтверджує: iснує k рiзних елементiв областi iнтерпретацiї. Така формула Gk є n-iстинною для всiх 1 n k. Звідси Ek&Gk – k-iстиннa, причому не n-iстинна при n k. Теорема 4. Проблема k-iстинностi алгоритмiчно розв’язна. Кожна конкретна мiстить скiнченну кiлькiсть ПС та ФС. Тому iснує скiнченна кiлькiсть iнтерпретацiй з носiєм потужностi k, на яких можна по-рiзному iнтерпретувати ФС та ПС ф-ли . Якщо iстинна на кожнiй з таких iнтерпр-й, то вона k-iстинна 21

Теорема 5. Існує скiнченно-iстинна, але не всюди iстинна формула Нехай S 1 – формула вигляду x (x, x), S 2 – вигляду x y z( (x, y)& (y, z) (x, z)), S 3 – вигляду x y (x, y). Нехай S – це S 1&S 2&S 3, арифметична формула (x, y) – це z(x+z=y&x y), тобто (x, y) виражає "x

Еквівалентні перетворення формул Теорема 1 (еквiвалeнтностi). Нехай ' отримана iз формули замiною деяких входжень формул 1, . . . , n на 1, . . . , n вiдповiдно. Якщо 1 1, . . . , n n, то '. Доводимо індукцією за побудовою формули 1) атомарна. Входженням формули в може бути тільки сама формула . Тому або заміни немає, або замінюємо всю . В першому випадку ' співпадає з , тому '. У другому випадку суть і для деякого і {1, . . . , n}. Тоді ' суть і. За умовою і і, тобто '. 2) має вигляд . Входженням формули в є або вся , або воно цілком міститься в . В першому випадку доводимо аналогічно 1). У другому випадку ' суть формула ', де ' отримана із так, як описано в теоремі. За припущенням індукції ', звідки ', тобто '. 23

3) має вигляд . Входженням формули в є або вся , або воно цілком міститься в , або цілком в . В першому випадку доводимо аналогічно 1). У другому випадку ' суть формула ' ', де ' та ' отримані із так, як описано в теоремі. За припущенням індукції ' та ', звідки ' ', тобто '. 4) має вигляд x. Входженням формули в є або вся , або воно цілком міститься в . В першому випадку доводимо аналогічно 1). У другому випадку ' суть формула x ', де ' отримана із так, як описано в теоремі. За припущенням індукції ', звідки x x ', тобто ' Теорема 2 (рівності для термів). Нехай терм ' отриманий iз терма замiною деяких входжень термів t 1, . . . , tn вiдповiдно на терми s 1, . . . , sn. Якщо |=t 1=s 1, . . . , |=tn=sn, то |= = '. Теорема 3 (рівності для формул). Нехай ' отримана iз формули замiною деяких входжень термів t 1, . . . , tn вiдповiдно на терми s 1, . . . , sn. Якщо |=t 1=s 1, . . . , |=t. Ьn=sn, то '. 24

Пренексна нормальна форма Теорема 4. 1) x. B y. Bx[y], якщо y нe вiльна в B. 2) x. B x B та x. B x B; 3) x. B C x(B C) та x. B C x(B C), якщо x нe вiльна в C; 4) B x. C x(B C) та B x. C x(B C), якщо x нe вiльна в B. Формула A’ – варiанта формули A, якщо A’ можна отримати iз A послiдовними замiнами пiдформул x. B на y. Bx[y], дe y нe вiльна в B. Теорема 5 (про варiанту). Якщо A’ – варiанта формули A, то A A’. Формула A знаходиться в прeнeкснiй формi, якщо вона має вигляд Qx 1. . . Qxn B, дe Qxk – кванторний прeфiкс xk або xk , B – безкванторна. Прeнeксна формула – це формула в прeнeкснiй формi. 25

Прeнeкснi опeрацiї над формулою A: a) замiна A дeякою її варiантою; b) замiна в A пiдформул x. B на x B та x. B на x B; c) замiна в A пiдформул Qx. B C на Qx(B С) та C Qx. B на Qx(C B), якщо x нe вiльне в C. Прeнeксна формули A – це прeнeксна формула A’, утворeна iз A за допомогою прeнeксних опeрацiй. Теорема 6. Кожна формула має прeнeксну форму, причому якщо A’ – прeнeксна формули A, то A A’. Додаткова прeнeксна операція для &: d) замiна в A пiдформул Qx. B&C на Qx(B&С) та C&Qx. B на Qx(C&B), якщо x нe вiльне в C. Вправа. Ввести прeнeксні операції для . 26

Сколемівська нормальна форма Розглянемо замкнену пренексну формулу Qv. M(v). – Qv – кванторні префікси (всі префікси – по різних предметних іменах), – v – всі вільні предметні імена безкванторної формули M, v складається з -кванторних y 1, …, yn та -кванторних x 1, …, xm. Зіставимо кожному yі із Qv {xi}-арну функцію fі , де xi – всі ті -кванторні імена із v, що передують yі в Qv Функції fі співставимо новий ФС fі , арність якого – кількість імен в xi Якщо yі не передує в Qv жодний -кванторний префікс, то fі – константа, fі – константний символ. Замінимо всі входження yі в М на терм fі(xi), і {1, … n}. Отримаємо формулу вигляду х1… хm M (x 1, …, xm, f 1(x 1), …, fn(xn)). Таке перетворення називається сколемізацією, самі формули зазначеного вигляду – сколемівськi, або формули в сколемівській формі. 27

Приклад 1. Початкова формула має вигляд х p(x, x) & х y(q(y) p(x, y)) & y x(p(x, y)). Зводимо її до пренексної форми: х z y u v(p(x, x) & (q(y) p(z, y)) & p(v, u)). Тепер y зіставимо 2 -арний ФС f v зіставимо 3 -арний ФС g замінимо входження y термом f(x, z), входження v – термом g(x, z, u). Отримаємо формулу в cколемівській формі х z u(p(x, x) & (q(f(x, z)) p(z, f(x, z))) & p(g(x, z, u)). Приклад. 2. Початкова формула має вигляд x p(x) & х(p(x) y(p(y)). Зводимо її до пренексної форми: x z y(p(x) & (p(z) p(y)). x зіставимо константний символ с у співставимо 1 -арний ФС f замінимо входження x на КС с, входження у – термом f(z). Отримаємо формулу в сколемівській формі z(p(c) & (p(z) p(f(z))). 28

Гомоморфізми алгебраїчних систем A = (A, I, ) та B = (B, I, ) – АС однієї сигнатури. Нехай : А →В. Таке продовжимо до : VА →VВ так: ([vi аi]i I) = [vi (аi)]i I. Для n-арних функцій та предикатів продовжуємо до : Аn →Вn: ((a 1 . . . , an)) = ( (a 1), . . . , (an)). Якщо : А→В – сюр'єкція, то – 1(VВ) = VА. Гомоморфізм АС A в АС B – відображення : А →В таке: (f. A(d)) = f. В( (d)) р. A(d) = Т р. В( (d)) = Т (HF) (HР) Повний гомоморфізм: (HP) замінюється на (ЕР): р. A(d) = р. В( (d)) (ЕР) Сильний гомоморфізм: повний гомоморфізм та сюр'єктивне. 29

Ізоморфізм: повний гомоморфізм та бієктивне. АС A та B ізоморфні (позн. A B): існує ізоморфізм A на B. Ізоморфізм АС A в АС A – автоморфізм АС A. Приклад 1. Задамо : N →{0, 1}: Для + та = виконуються (HF) та (НР). – сюр’єктивний гомоморфізм N+ = (N, {+, =}) в B+ = ({0, 1}, {+, =}). Приклад 2. Нехай Z+ = (Z, {+, =}). Тоді (x) = –х є бієкцією Z →Z, для + та = виконуються (HF) та (EР). Отже, – автоморфізм Z+ = (Z, {+, =}). 30

Теореми про гомоморфізм -позитивна формула: утв. з атомарних за допомогою , &, x. Позитивна формула: утв. з атомарних за допомогою , &, x Теорема 1 Н. Нехай : А →В – гомоморфізм АС A = (A, ) в АС B = (B, ). Тоді: 1) терму t d AХ маємо: (t. A(d)) = t. B( (d)); 2) для кожної -позитивної формули сигнатури А(d) = Т В( (d)) = Т. Теорема 2 Н. Нехай : А →В – сюр'єктивний гомоморфізм АС A = (A, ) в АС B = (B, ). Тоді виконуються тв. 1 теореми 1 Н та 2) для кожної позитивної формули сигнатури А(d) = Т В( (d)). Теорема (про ізоморфізм). Нехай : А→В – ізоморфізм АС A = (A, ) в АС B = (B, ). Тоді виконується тв. 1 теореми 1 Н та 2) для кожної формули сигнатури маємо А(d) = В( (d)) 31

Наслідок 1. Нехай –ізоморфізм АС A = (A, ) в АС B = (B, ). Тоді для кожної сигнатури маємо A |= B |=. Наслідок 2. Нехай – автоморфізм АС A = (A, ). Тоді для кожної сигнатури маємо А(d) = А( (d)) Умова позитивності у формулюванні теорем 1 Н та 2 Н істотна. : N →{0, 1} є сюр’єктивним гомоморфізмом N+ в B+ Нехай – це (1+1) = 0. Тоді N+ | , але B+ | , адже +B(1, 1) = 0. 32

Фактор-системи. Канонічний гомоморфізм Відношення еквів-ті на А – відношення конгруентності на АС A = (A, ), якщо стабільне відносно базових функцій АС A. Це означає: f Fs ai bi i I f. A ([vi аi ]i I ) f. A ( ([vi bi ]i I ). Нехай – відношення конгруентності на A= (A, ) Фактор-система B = (B, ) системи A за відн. задається так. a A позначимо [a]={c A | a c}. Задамо множину В = {[a] | a A}. Таку В позначають A/ p Ps f Fs задамо f. B ([vi [аi ] ]i I ) = [ f. A ([vi аi ]i I ) ]. p. B ([vi [аi ] ] i I ) = T ci [ai], де i I, такі: p. A (([vi сi ]i I ) = T. Визначення f. B коректне, бо конгруентне: ci : [ai] = [сi ], де i I, маємо ai сi f. A([vi аi]i I) f. A( ([vi сi]i I ) за конгр. [f. A([vi аi]i I )] = [f. A([vi сi]i I )]. 33

Задамо канонічне відображення : А → A/ так: a A покладемо (а) = [a]. Теорема 4. Канонічне відображення : А → A/ є гомоморфізмом АС A = (A, ) в АС B = (B, ). (f. A ([vi аi ]i I ) = [ f. A ([vi аi ]i I ) ] = f. B ([vi [аi ] ]i I ) = = f. B ([vi (аi )]i I ). Якщо р. A ([vi аi ]i I ) = Т, то р. B ([vi [аi ] ]i I ) = р. B ([vi (аi )]i I ) = Т Такий гомоморфізм – канонічний. 34

Приклад 3. Нехай N = (N, ar). Задамо відношення на N: m n mod(m, 2) = mod(n, 2). Таке відношення є відношенням конгруентності на N. Покладемо N/ = [0], [1]}. Інтерпретацію на (N/ , ar) сигн. символів 0, 1, +, задамо так. Конст. символи 0 та 1 інтерпретуємо як ел-ти носія [0] та [1] ФС + та інтерпретуємо так: +([0], [0]) = [0] ; ([0], [0]) = [0] ; +([0], [1]) = [1] ; ([0], [1]) = [0] ; +([1], [0]) = [1] ; ([1], [0]) = [0] ; +([1], [1]) = [0] ; ([1], [1]) = [1]. Фактор-систему (N/ , ar) позначимо Nmod 2. Задамо канонічне відображення : N → N/ : 35

Елементарна еквівалентність АС АС A = (A, ) та B = (B, ) елементарно еквівалентні, якщо для кожної сигнатури маємо: A | B | . Позначення: A =el B A el B. Елементарна еквівалентність АС означає, що їх не можна відрізнити, використовуючи мову 1 -го порядку. Приклад 1. (R; { , =}) el (Q; { , =}). Нехай – це x y(x = y y y). Тоді (R; { , =}) | та (Q; { , =}) | . Приклад 2. (Z; {+, =}) el (Q; {+, =}). Нехай – це x y(x = y + y). Тоді (Q; {+, =}) | та (Z; {+, =}) | . Приклад 3. (N, { , =}) el (Z, { , =}). Нехай – це m x(m x). Тоді (N, {<, =}) | та (Z, {<, =}) | . 36

Наслідок 1 теореми про ізоморфізм дає: 1) якщо A B, то A =el B; 2) якщо A el B, то A та B неізоморфні Елементарно еквівалентні АС можуть мати носії різної потужності, тоді вони не ізоморфні. (Q, {<, =}) =el (R, {<, =}) але неізоморфні: Q зліченна, R континуальна. 37

Метод автоморфізмів Для доведення виразності P в АС A достатньо вказати формулу таку: P – це A. Теорема (про виразність). Нехай – автоморфізм АС A = (A, ). Якщо P : AX → {T, F} виразний в A, то P(d) = P( (d)) для всіх d AХ. Нехай P виразний в A формулою , тобто P – це A. За наслідком 2 теореми про ізоморфізм d AХ P(d) = А( (d)) = Р( (d)) Для доведення невиразності P в A досить знайти автоморфізм АС A такий, що порушується умова P(d) = P( (d)). Приклад 4. Предикат "z = x+y" невиразний в Z< = (Z, {<, =}). (х) = х+1 – автоморфізм Z< , тому що бієктивне і зберігає знач. < та =. Однак (0) = 1, тому вірно 0 = 0+0 та невірно (0) = (0)+ (0). Приклад 5. Предикат "x