ЛОГИКА Янковская Екатерина Алексеевна кандидат философских наук alteratum gmail

ЛОГИКА Янковская Екатерина Алексеевна кандидат философских наук alteratum@gmail. com

Специфика неклассической логики Лекция № 1

Структура лекции • Логические формулы • Логическое следование • Исчисление высказываний • Исчисление предикатов • Проблемы классической логики и особенности неклассической • Развитие неклассической логики

Логические формулы

Основные типы значимых выражений Предложения Термины Дескриптивные Логические Имена Предикаторы Функторы Пропозициональные Предицирующие связки Операторы Кванторы Дескрипторы

Логическая функция • Логическую формулу можно рассматривать как логическую функцию. • Элементарные высказывания в этом случае играют роль аргументов (независимых переменных), которые в классической логике могут принимать 2 значения: истина или ложь.

Вид формулы в логике высказываний определяется тем, какие значения (И/Л) принимает вся формула в зависимости от значений входящих в нее пропозициональных переменных.

Выполнимая формула Принимает значение «истина» по крайней мере при одном наборе значений входящих в нее пропозициональных переменных.

Пример

Опровержимая формула Принимает значение «ложь» по крайней мере при одном наборе значений входящих в нее пропозициональных переменных.

Пример

Тождественно-ложная формула Принимает значение «ложь» при любых наборах значений входящих в нее пропозициональных переменных.

Пример

Тождественно истинная (тавтология) Принимает значение «истина» при любых наборах значений входящих в нее пропозициональных переменных.

Пример

Законы логики высказываний • Законы логики высказываний представляют собой тождественно-истинные формулы. • Существует потенциально бесконечное число законов логики высказываний. • «|= А» .

Формула в логике предикатов

Терм и формула • В терм входят имена (общие и собственные) и предметные функторы • В формулу также входят пропозициональные переменные

• Количество термов, входящих в формулу, зависит от местности формулы • Формулы могут быть молекулярными и атомарными • Простые высказывания, в которых утверждается наличие свойства у отдельного предмета, записываются в языке логики предикатов посредством формул вида П 1(t) , где t есть терм, соответствующий имени предмета, а П 1 - одноместная предикаторная константа, соответствующая знаку свойства.

Логическое следование

Логическое следование Из формул А 1 А 2, . . . , АВ логически следует формула В, если и только если при любой допустимой интерпретации нелогических символов, при которой формулы А 1 А 2, . . . , АВ принимают значение «истина» , формула В также принимает значение «истина» .

• Г = (А 1 А 2, . . . , АВ ) • Г |= B

Необходимость логического следования • Правила логического следования вырабатываются с таким расчётом, чтобы из истинных посылок получались истинные следствия. • Из всякой противоречивой (тождественно ложной) формулы A (a также из противоречивой совокупности формул Г) следует произвольная формула B.

Доказательство Предположим, что нам известны некоторые факты (или ранее уже доказанные утверждения) F 1, F 2, . . . , Fn, и нас интересует, следует ли некоторое утверждение G из утверждений F 1, F 2, . . . , Fn. Утверждение, что G логически следует из утверждений F 1, F 2, . . . , Fn называют теоремой. Доказательство теоремы — рассуждения, позволяющие установить, что теорема верна.

Аксиомы и теоремы • Аксиомы – это выделенное из множества формул специальное подмножество, которое задается с помощью конечного множества схем аксиом. • Теорема – это формула, которая следует из аксиом

Правило вывода • Правило, на основе которого происходит переход от исходных суждений (посылок) к выводам.

Исчисление высказываний

Натуральное исчисление высказываний • Допускается не только вывод истинных предложений из истинных посылок, но и вывод следствий из гипотез. • Нет аксиом, есть только правила вывода, никакие формулы заранее не предполагаются истинными.

Правила вывода в натуральном исчислении высказываний • Правила введения – позволяют объединить составляющие • Правила исключения – позволяют выделить составляющую могут быть • Однопосылочные • Двухпосылочные

• Над чертой: исходные формулы • Под чертой: формулы, которые разрешает записать правило вывода, если даны исходные формулы

Правила введения

Правила исключения

Важно! • В исчислении высказываний А и В не являются переменными, обозначающими только отдельную пропозицию, это символы формул. • Вместо А или В можно подставить формулу, например, А = (p v q), В = (p q)

Формальные исчисления • Выводы • Доказательства

Вывод • Непустая конечная линейно упорядоченная последовательность формул C 1, С 2, . . . , Ск. • Каждая C 1 есть либо посылка, либо получена из предыдущих формул по одному из правил вывода. • Если в выводе применялись правила включения для импликации или отрицания, то все формулы, начиная с последней посылки и вплоть до результата применения данного правила, исключаются из участия в дальнейших шагах вывода.

Пример • Посылка 1: p → q • Посылка 2: q → r • Посылка 3: p • Вывод: r ?

Специфика аксиоматического ИВ • Задаются исходные формулы, которые являются аксиомами и логическими законами • Задаются правила вывода

Аксиомы 1. A→(B→A); 2. (A→B)→((A→(B→C))→(A→C)); 3. (AΛB)→A; 4. (AΛB)→B; 5. (A→B)→((A→C)→(A→(BΛC))); 6. A→(Av. B); 7. A→(Bv. A); 8. (A→C)→((B→C)→((Av. B)→C)); 9. (A→B)→((A→¬B)→¬A); 10. ¬¬A→A.

Правила вывода

Пример • Покажем, что формула A→A выводима в ИВ. Для этого построим вывод данной формулы: 1) в аксиоме 2 заменим B на A→A, C — на A. Получаем аксиому (A→(A→A))→((A→A)→A))→(A→A)); 2) в аксиоме 1 заменим B на A. Получаем A→(A→A); 3) из 1 и 2 по modus ponens заключаем (A→((A→A)→A))→(A→A); 4) в аксиоме 1 заменяем B на A→A. Получаем A→((A→A)→A); 5) из пп. 3 и 4 по правилу вывода справедливо ├ A→A.

Исчисление предикатов

Логика предикатов Разновидность логической кванторной теории, язык которой позволяет анализировать высказывания и умозаключения с учетом внутренней структуры простых высказываний.

Классическая первопорядковая логика предикатов • Кванторами разрешается связывать только индивидные переменные, обозначающие индивидов (нулевой уровень) • Объектам нулевого уровня приписываются предикаты (первый уровень) • Выражения языка трактуются как знаки некоторых функций или же знаки аргументов этих функций.

Алфавит языка логики предикатов • Индивидные константы (параметры собственных имен естественного языка): a, b, c, d, a 1, b 1, c 1, d 1 • N-местные предметно-функциональные константы (параметры nместных функторов естественного языка): fn, gn, hn , f 1 n, g 1 n, h 1 n • N-местные предикаторные константы (параметры предикаторов естественного языка, знаки свойств и отношений): Pn, Qn, Rn • Предметные переменные (знаки общих имен): x, y, z, x 1, y 1, z 1 • Пропозициональные связки. • Квантор всеобщности (∀) и квантор существования (∃); • Скобки и запятая.

Предикаторы • Общие имена • Знаки свойств • Знаки отношений

Пример • Индивидные константы: «Земля» , «Платон» , «Лондон» • N-местные предметно-функциональные константы: «отец» • N-местные предикаторные константы: «больше» (многоместный), «большой» (одноместный) • Предметные переменные: на место переменной можно подставить общее имя «человек» , «дерево»

Пример • «Париж – столица Франции» , a – Париж, b – Франция, f 2 – столица, f 2 (a, b).

Местность • Местность формулы логики предикатов первого порядка есть число входящих в нее различных свободных предметных переменных. • Одноместные • Двухместные • N-местные

Прикладной язык логики предикатов • Из нелогических символов сохраняются без изменения лишь предметные переменные. • Вместо параметров используются конкретные слова и словосочетания естественного языка, а именно имена, предметные функторы и предикаторы. • Правила образования термов и формул сохраняются. • Используется для точного выражения информации на естественном языке.

Пример

• Количество термов, входящих в формулу, зависит от местности формулы • Формулы могут быть молекулярными и атомарными • Простые высказывания, в которых утверждается наличие свойства у отдельного предмета, записываются в языке логики предикатов посредством формул вида П 1(t) , где t есть терм, соответствующий имени предмета, а П 1 - одноместная предикаторная константа, соответствующая знаку свойства.

Пример • Саурон (a) злой (P) – P(a) • Враг (f) Саурона (а) добрый (Q) – Q(f(a)) • Враг (f) Саурона (a) не трусливый (Q 1) – ~ Q 1(f(a)) • Саурон (а) не любит (R) своего врага (f(a)) – ~R(а, (f(a))

Кванторы • Существование объекта, удовлетворяющего некоторым условиям. Все объекты удовлетворяют определенным условиям

Область действия

Пример • Все любят Гипножабу (b) • Некоторые любят Гипножабу (b) • Каждый ненавидит кого-нибудь.

Пример

Исчисление предикатов в представлении знаний (пример) • • Является (Смит, специалист по ЭВМ) n Является (Смит, оптимист) n Является (Х, специалист по ЭВМ) n Написал (Смит, программа) & ~ работает (программа) ® отладить (Смит, программа, вечер) Ú передать (программа, программист, следующий день). Это означает, что если Смит написал программу и она не работает, то ему следует отладить программу или передать программисту на следующий день. n "(x) (ИТ-специалист (x) ® программист (x)). Т. е. все ИТ-специалисты являются программистами. n $(x) (ИТ-специалист (x) ® оптимист). Т. е. некоторые ИТ-специалисты являются оптимистами.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Если ~ X — истинна, то X — ложна. Если ~ X — ложна, то X — истинна. Если X&Y — истинна, то X, Y — обе истинны. Если X&Y — ложна, то X — ложна, или Y — ложна. Если XVY — истинна, то X — истинна, или Y — истинна. Если XVY — ложна, то X, Y — обе ложны. Если X Y — истинна, то или X — ложна, или Y — истинна. Если X Y — ложна, то X — истинна, и Y — ложна.

Проблемы классической логики и особенности неклассической

Состав классической логики • Классическая логика высказываний • Классическая логика предикатов первого порядка • Логика предикатов высшего порядка • Традиционная силлогистика

Два основных принципа классической логики • Экстенсиональность • Двузначность

Экстенсиональность • Значение сложного выражения зависит только от значения входящих в него простых выражений • Выражения взаимозаменяемы при совпадении экстенсионалов, интенсиональный контекст не учитывается

Пример • Мехико = самый большой город в Северной Америке • Этот человек не знает, что Мехико является самым большим городом в Северной Америке. • Этот человек не знает, что самый большой город в Северной Америке является самым большим городом в Северной Америке.

• Замена равного равным и эквивалентного эквивалентным

Проблема 1 • Логически исследуются и формализуются только суждения, выраженные в форме повествовательного предложения. • Это обедняет возможности исследования естественного языка, в предложениях которого содержится, например, косвенная речь.

Пример • Режиссер утверждает, что все его фильмы скачиваются с торрентов, и это наносит ему финансовый ущерб.

Проблема 2 • В экстенсиональных языках абстрагируются от прагматических оттенков смысла выражений, поэтому они проще интенсиональных, т. к. ограничены предметным значением • Экстенсиональные языки беднее по своим выразительным возможностям.

Проблема 3 • Не рассматриваются пропозиции, содержащие гипотетическое предположение. • Соответственно, формализуются суждения лишь с одним типом модальности.

Проблема 4 • Поскольку истинностное значение сложного высказывания зависит от истинностного значения входящих в него высказываний, от семантической интерпретации простых высказываний можно отвлечься. • Проблема материальной импликации, когда логически связываются семантически не связанные суждения.

Пример • A→B • А = Солнце больше Луны = 1 • В = Крокодилы полетели на юг = 1 • Из того, что солнце больше луны, следует, что крокодилы полетели на юг.

Двузначность • Истинностное значение может быть только истинным или ложным. • Всякая формула при интерпретации нелогических символов, входящих в ее состав, принимает только одно из двух значений: «истина» или «ложь» .

Проблема 5 • В классической логике невозможна ситуация, когда определённая формула вообще не имеет истинностного значения.

Проблема 6 • Возможно только полное соответствие или несоответствие суждения положению дел, то есть только «истинное» или «ложное» суждение. • Это исключает суждения, в которых содержится какое-либо предположение, когда точная информация неизвестна. • Аристотель: невозможность оценки как истинных или ложных будущих случайных событий.

Пример • Через тысячу лет люди прилетят в туманность Андромеды.

Проблема 7 • Закон исключенного третьего не может считаться универсальным, поскольку возможна неопределенность.

Пример • Гипотетическое предположение: «Темной материи не существует» . • У этого предположения есть степень вероятности того, истинным оно будет или ложным.

Проблема 9 • Проблема логического следования. • Из ложного суждения может следовать как ложное, так и истинное.

Эпистемологические предпосылки • Значения выражений (и их интерпретация) трактуются с точки зрения корреспондентной теории истины. • Соответственно, выражения языка обозначают какую-либо ситуацию, которая имеет или не имеет места в реальности.

Неклассические логики Это логические системы, которые опровергают или преобразуют принципы классической логики с целью решения ее проблем и/или получения более гибкого логического инструментария.

Принципы построения неклассических логик • Альтернатива классическим логическим теориям, когда используется тот же логический язык, но с иной интерпретацией. • Расширение классических теорий, когда вводятся новые логические константы.

Специфика неклассических логик • Появление новых (по сравнению с классической логикой) логических законов. • Появление новых форм корректного рассуждения. • Иное истолкование логических операций. • Философские логики, которые предполагают, что система строится на интерпретации философских категорий.

Развитие неклассической логики

Логицизм • Направление логических исследований, которое предполагает, что математика должна исследоваться логическими средствами, поскольку логика лежит в основании математики. • Исследование логики математическими методами. • Вторая половина XIX – начало ХХ века. • Представители: Б. Рассел, А. Уайтхед, Б. Бауэр.

Интуиционизм • Интуиционистская логика отражает взгляд интуиционизма на характер логических законов, считающихся с его точки зрения допустимыми в применении к доказательствам суждений из тех частей дедуктивных наук (особенно математики), которые существенно связаны с понятием математической бесконечности. • Формулы истолковываются как задачи, логические связки — как преобразования задач, аксиомы — как задачи, для которых решения считаются известными, а правила вывода — как преобразования решений задач.

Паранепротиворечивая логика • Брауэр высказал идею о неприменимости закона исключённого третьего в рассуждениях о бесконечных множествах (начало ХХ века). • Паранепротиворечивая логика отрицает, что из противоречия следует все, что угодно, следовательно, работает с законом исключенного третьего. • Анализируется логическое следование. • Представители: Н. А. Васильев, Я. Лукасевич.

Релевантные логики • Исключаются свойственные классической логике принципы, которые с точки зрения интуиции и, главное, реальной практики рассуждений трактуются как неуместные, не соответствующие этой практике, парадоксальные. • Исследуется принцип эквивалентности. • Представители: К. Льюис, М. Данн

Интенсиональная логика • Используется понятие смысла языкового выражения в целях анализа широкого класса контекстов естественного языка. • Решение проблем, связанных с экстесиональностью классической логики. • Представители: Р. Карнап, Г. Фреге.

Модальные логики • Раздел формальной логики , в рамках которого изучаются логические операторы, называемые модальностями. • К модальным операторам в настоящее время относят большинство операторов, с помощью которых удаётся учитывать степень истинности утверждаемого.

Многозначные логики • Совокупность логических систем, опирающихся на принцип многозначности, в соответствии с которым всякое высказывание имеет одно (и только одно) из трёх или более истинностных значений. • Представители: Я. Лукасевич, Э. Пост

Темпоральная логика • Предполагается, что истинностное значение суждений может измениться со временем. • Применяет модальные операторы.

Вероятностная логика • Истинность и ложность – это не дискретные, а континуальные значения от 0 до 1. • Позволяет разрабатывать теорию индукции. • Представители: Г. Рейхенбах, П. С. Порецкий.

Нечеткая логика • Основана на теории нечетких множеств. • Основной причиной появления стало наличие нечетких и приближенных рассуждений при описании человеком процессов, систем, объектов. • Представители: Л. Заде.

Неформальные логики • Анализ рассуждения на естественном языке, которые невозможно полностью формализовать средствами классической логики. • Представление о том, что формальный анализ не дает возможности адекватно исследовать смысловую структуру суждений и умозаключений.