Скачать презентацию ЛОГИКА Янковская Екатерина Алексеевна кандидат философских наук alteratum gmail Скачать презентацию ЛОГИКА Янковская Екатерина Алексеевна кандидат философских наук alteratum gmail

Лекция_1.pptx (2 семестр)

  • Количество слайдов: 94

ЛОГИКА Янковская Екатерина Алексеевна кандидат философских наук alteratum@gmail. com ЛОГИКА Янковская Екатерина Алексеевна кандидат философских наук alteratum@gmail. com

Специфика неклассической логики Лекция № 1 Специфика неклассической логики Лекция № 1

Структура лекции • Логические формулы • Логическое следование • Исчисление высказываний • Исчисление предикатов Структура лекции • Логические формулы • Логическое следование • Исчисление высказываний • Исчисление предикатов • Проблемы классической логики и особенности неклассической • Развитие неклассической логики

Логические формулы Логические формулы

Основные типы значимых выражений Предложения Термины Дескриптивные Логические Имена Предикаторы Функторы Пропозициональные Предицирующие связки Основные типы значимых выражений Предложения Термины Дескриптивные Логические Имена Предикаторы Функторы Пропозициональные Предицирующие связки Операторы Кванторы Дескрипторы

Логическая функция • Логическую формулу можно рассматривать как логическую функцию. • Элементарные высказывания в Логическая функция • Логическую формулу можно рассматривать как логическую функцию. • Элементарные высказывания в этом случае играют роль аргументов (независимых переменных), которые в классической логике могут принимать 2 значения: истина или ложь.

Вид формулы в логике высказываний определяется тем, какие значения (И/Л) принимает вся формула в Вид формулы в логике высказываний определяется тем, какие значения (И/Л) принимает вся формула в зависимости от значений входящих в нее пропозициональных переменных.

Выполнимая формула Принимает значение «истина» по крайней мере при одном наборе значений входящих в Выполнимая формула Принимает значение «истина» по крайней мере при одном наборе значений входящих в нее пропозициональных переменных.

Пример Пример

Опровержимая формула Принимает значение «ложь» по крайней мере при одном наборе значений входящих в Опровержимая формула Принимает значение «ложь» по крайней мере при одном наборе значений входящих в нее пропозициональных переменных.

Пример Пример

Тождественно-ложная формула Принимает значение «ложь» при любых наборах значений входящих в нее пропозициональных переменных. Тождественно-ложная формула Принимает значение «ложь» при любых наборах значений входящих в нее пропозициональных переменных.

Пример Пример

Тождественно истинная (тавтология) Принимает значение «истина» при любых наборах значений входящих в нее пропозициональных Тождественно истинная (тавтология) Принимает значение «истина» при любых наборах значений входящих в нее пропозициональных переменных.

Пример Пример

Законы логики высказываний • Законы логики высказываний представляют собой тождественно-истинные формулы. • Существует потенциально Законы логики высказываний • Законы логики высказываний представляют собой тождественно-истинные формулы. • Существует потенциально бесконечное число законов логики высказываний. • «|= А» .

Формула в логике предикатов Формула в логике предикатов

Терм и формула • В терм входят имена (общие и собственные) и предметные функторы Терм и формула • В терм входят имена (общие и собственные) и предметные функторы • В формулу также входят пропозициональные переменные

 • Количество термов, входящих в формулу, зависит от местности формулы • Формулы могут • Количество термов, входящих в формулу, зависит от местности формулы • Формулы могут быть молекулярными и атомарными • Простые высказывания, в которых утверждается наличие свойства у отдельного предмета, записываются в языке логики предикатов посредством формул вида П 1(t) , где t есть терм, соответствующий имени предмета, а П 1 - одноместная предикаторная константа, соответствующая знаку свойства.

Логическое следование Логическое следование

Логическое следование Из формул А 1 А 2, . . . , АВ логически Логическое следование Из формул А 1 А 2, . . . , АВ логически следует формула В, если и только если при любой допустимой интерпретации нелогических символов, при которой формулы А 1 А 2, . . . , АВ принимают значение «истина» , формула В также принимает значение «истина» .

 • Г = (А 1 А 2, . . . , АВ ) • Г = (А 1 А 2, . . . , АВ ) • Г |= B

Необходимость логического следования • Правила логического следования вырабатываются с таким расчётом, чтобы из истинных Необходимость логического следования • Правила логического следования вырабатываются с таким расчётом, чтобы из истинных посылок получались истинные следствия. • Из всякой противоречивой (тождественно ложной) формулы A (a также из противоречивой совокупности формул Г) следует произвольная формула B.

Доказательство Предположим, что нам известны некоторые факты (или ранее уже доказанные утверждения) F 1, Доказательство Предположим, что нам известны некоторые факты (или ранее уже доказанные утверждения) F 1, F 2, . . . , Fn, и нас интересует, следует ли некоторое утверждение G из утверждений F 1, F 2, . . . , Fn. Утверждение, что G логически следует из утверждений F 1, F 2, . . . , Fn называют теоремой. Доказательство теоремы — рассуждения, позволяющие установить, что теорема верна.

Аксиомы и теоремы • Аксиомы – это выделенное из множества формул специальное подмножество, которое Аксиомы и теоремы • Аксиомы – это выделенное из множества формул специальное подмножество, которое задается с помощью конечного множества схем аксиом. • Теорема – это формула, которая следует из аксиом

Правило вывода • Правило, на основе которого происходит переход от исходных суждений (посылок) к Правило вывода • Правило, на основе которого происходит переход от исходных суждений (посылок) к выводам.

Исчисление высказываний Исчисление высказываний

Натуральное исчисление высказываний • Допускается не только вывод истинных предложений из истинных посылок, но Натуральное исчисление высказываний • Допускается не только вывод истинных предложений из истинных посылок, но и вывод следствий из гипотез. • Нет аксиом, есть только правила вывода, никакие формулы заранее не предполагаются истинными.

Правила вывода в натуральном исчислении высказываний • Правила введения – позволяют объединить составляющие • Правила вывода в натуральном исчислении высказываний • Правила введения – позволяют объединить составляющие • Правила исключения – позволяют выделить составляющую могут быть • Однопосылочные • Двухпосылочные

 • Над чертой: исходные формулы • Под чертой: формулы, которые разрешает записать правило • Над чертой: исходные формулы • Под чертой: формулы, которые разрешает записать правило вывода, если даны исходные формулы

Правила введения Правила введения

Правила исключения Правила исключения

Важно! • В исчислении высказываний А и В не являются переменными, обозначающими только отдельную Важно! • В исчислении высказываний А и В не являются переменными, обозначающими только отдельную пропозицию, это символы формул. • Вместо А или В можно подставить формулу, например, А = (p v q), В = (p q)

Формальные исчисления • Выводы • Доказательства Формальные исчисления • Выводы • Доказательства

Вывод • Непустая конечная линейно упорядоченная последовательность формул C 1, С 2, . . Вывод • Непустая конечная линейно упорядоченная последовательность формул C 1, С 2, . . . , Ск. • Каждая C 1 есть либо посылка, либо получена из предыдущих формул по одному из правил вывода. • Если в выводе применялись правила включения для импликации или отрицания, то все формулы, начиная с последней посылки и вплоть до результата применения данного правила, исключаются из участия в дальнейших шагах вывода.

Пример • Посылка 1: p → q • Посылка 2: q → r • Пример • Посылка 1: p → q • Посылка 2: q → r • Посылка 3: p • Вывод: r ?

Специфика аксиоматического ИВ • Задаются исходные формулы, которые являются аксиомами и логическими законами • Специфика аксиоматического ИВ • Задаются исходные формулы, которые являются аксиомами и логическими законами • Задаются правила вывода

Аксиомы 1. A→(B→A); 2. (A→B)→((A→(B→C))→(A→C)); 3. (AΛB)→A; 4. (AΛB)→B; 5. (A→B)→((A→C)→(A→(BΛC))); 6. A→(Av. B); Аксиомы 1. A→(B→A); 2. (A→B)→((A→(B→C))→(A→C)); 3. (AΛB)→A; 4. (AΛB)→B; 5. (A→B)→((A→C)→(A→(BΛC))); 6. A→(Av. B); 7. A→(Bv. A); 8. (A→C)→((B→C)→((Av. B)→C)); 9. (A→B)→((A→¬B)→¬A); 10. ¬¬A→A.

Правила вывода Правила вывода

Пример • Покажем, что формула A→A выводима в ИВ. Для этого построим вывод данной Пример • Покажем, что формула A→A выводима в ИВ. Для этого построим вывод данной формулы: 1) в аксиоме 2 заменим B на A→A, C — на A. Получаем аксиому (A→(A→A))→((A→A)→A))→(A→A)); 2) в аксиоме 1 заменим B на A. Получаем A→(A→A); 3) из 1 и 2 по modus ponens заключаем (A→((A→A)→A))→(A→A); 4) в аксиоме 1 заменяем B на A→A. Получаем A→((A→A)→A); 5) из пп. 3 и 4 по правилу вывода справедливо ├ A→A.

Исчисление предикатов Исчисление предикатов

Логика предикатов Разновидность логической кванторной теории, язык которой позволяет анализировать высказывания и умозаключения с Логика предикатов Разновидность логической кванторной теории, язык которой позволяет анализировать высказывания и умозаключения с учетом внутренней структуры простых высказываний.

Классическая первопорядковая логика предикатов • Кванторами разрешается связывать только индивидные переменные, обозначающие индивидов (нулевой Классическая первопорядковая логика предикатов • Кванторами разрешается связывать только индивидные переменные, обозначающие индивидов (нулевой уровень) • Объектам нулевого уровня приписываются предикаты (первый уровень) • Выражения языка трактуются как знаки некоторых функций или же знаки аргументов этих функций.

Алфавит языка логики предикатов • Индивидные константы (параметры собственных имен естественного языка): a, b, Алфавит языка логики предикатов • Индивидные константы (параметры собственных имен естественного языка): a, b, c, d, a 1, b 1, c 1, d 1 • N-местные предметно-функциональные константы (параметры nместных функторов естественного языка): fn, gn, hn , f 1 n, g 1 n, h 1 n • N-местные предикаторные константы (параметры предикаторов естественного языка, знаки свойств и отношений): Pn, Qn, Rn • Предметные переменные (знаки общих имен): x, y, z, x 1, y 1, z 1 • Пропозициональные связки. • Квантор всеобщности (∀) и квантор существования (∃); • Скобки и запятая.

Предикаторы • Общие имена • Знаки свойств • Знаки отношений Предикаторы • Общие имена • Знаки свойств • Знаки отношений

Пример • Индивидные константы: «Земля» , «Платон» , «Лондон» • N-местные предметно-функциональные константы: «отец» Пример • Индивидные константы: «Земля» , «Платон» , «Лондон» • N-местные предметно-функциональные константы: «отец» • N-местные предикаторные константы: «больше» (многоместный), «большой» (одноместный) • Предметные переменные: на место переменной можно подставить общее имя «человек» , «дерево»

Пример • «Париж – столица Франции» , a – Париж, b – Франция, f Пример • «Париж – столица Франции» , a – Париж, b – Франция, f 2 – столица, f 2 (a, b).

Местность • Местность формулы логики предикатов первого порядка есть число входящих в нее различных Местность • Местность формулы логики предикатов первого порядка есть число входящих в нее различных свободных предметных переменных. • Одноместные • Двухместные • N-местные

Прикладной язык логики предикатов • Из нелогических символов сохраняются без изменения лишь предметные переменные. Прикладной язык логики предикатов • Из нелогических символов сохраняются без изменения лишь предметные переменные. • Вместо параметров используются конкретные слова и словосочетания естественного языка, а именно имена, предметные функторы и предикаторы. • Правила образования термов и формул сохраняются. • Используется для точного выражения информации на естественном языке.

Пример Пример

 • Количество термов, входящих в формулу, зависит от местности формулы • Формулы могут • Количество термов, входящих в формулу, зависит от местности формулы • Формулы могут быть молекулярными и атомарными • Простые высказывания, в которых утверждается наличие свойства у отдельного предмета, записываются в языке логики предикатов посредством формул вида П 1(t) , где t есть терм, соответствующий имени предмета, а П 1 - одноместная предикаторная константа, соответствующая знаку свойства.

Пример • Саурон (a) злой (P) – P(a) • Враг (f) Саурона (а) добрый Пример • Саурон (a) злой (P) – P(a) • Враг (f) Саурона (а) добрый (Q) – Q(f(a)) • Враг (f) Саурона (a) не трусливый (Q 1) – ~ Q 1(f(a)) • Саурон (а) не любит (R) своего врага (f(a)) – ~R(а, (f(a))

Кванторы • Существование объекта, удовлетворяющего некоторым условиям. Все объекты удовлетворяют определенным условиям Кванторы • Существование объекта, удовлетворяющего некоторым условиям. Все объекты удовлетворяют определенным условиям

Область действия Область действия

Пример • Все любят Гипножабу (b) • Некоторые любят Гипножабу (b) • Каждый ненавидит Пример • Все любят Гипножабу (b) • Некоторые любят Гипножабу (b) • Каждый ненавидит кого-нибудь.

Пример Пример

Исчисление предикатов в представлении знаний (пример) • • Является (Смит, специалист по ЭВМ) n Исчисление предикатов в представлении знаний (пример) • • Является (Смит, специалист по ЭВМ) n Является (Смит, оптимист) n Является (Х, специалист по ЭВМ) n Написал (Смит, программа) & ~ работает (программа) ® отладить (Смит, программа, вечер) Ú передать (программа, программист, следующий день). Это означает, что если Смит написал программу и она не работает, то ему следует отладить программу или передать программисту на следующий день. n "(x) (ИТ-специалист (x) ® программист (x)). Т. е. все ИТ-специалисты являются программистами. n $(x) (ИТ-специалист (x) ® оптимист). Т. е. некоторые ИТ-специалисты являются оптимистами.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Если ~ X — истинна, то 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Если ~ X — истинна, то X — ложна. Если ~ X — ложна, то X — истинна. Если X&Y — истинна, то X, Y — обе истинны. Если X&Y — ложна, то X — ложна, или Y — ложна. Если XVY — истинна, то X — истинна, или Y — истинна. Если XVY — ложна, то X, Y — обе ложны. Если X Y — истинна, то или X — ложна, или Y — истинна. Если X Y — ложна, то X — истинна, и Y — ложна.

Проблемы классической логики и особенности неклассической Проблемы классической логики и особенности неклассической

Состав классической логики • Классическая логика высказываний • Классическая логика предикатов первого порядка • Состав классической логики • Классическая логика высказываний • Классическая логика предикатов первого порядка • Логика предикатов высшего порядка • Традиционная силлогистика

Два основных принципа классической логики • Экстенсиональность • Двузначность Два основных принципа классической логики • Экстенсиональность • Двузначность

Экстенсиональность • Значение сложного выражения зависит только от значения входящих в него простых выражений Экстенсиональность • Значение сложного выражения зависит только от значения входящих в него простых выражений • Выражения взаимозаменяемы при совпадении экстенсионалов, интенсиональный контекст не учитывается

Пример • Мехико = самый большой город в Северной Америке • Этот человек не Пример • Мехико = самый большой город в Северной Америке • Этот человек не знает, что Мехико является самым большим городом в Северной Америке. • Этот человек не знает, что самый большой город в Северной Америке является самым большим городом в Северной Америке.

 • Замена равного равным и эквивалентного эквивалентным • Замена равного равным и эквивалентного эквивалентным

Проблема 1 • Логически исследуются и формализуются только суждения, выраженные в форме повествовательного предложения. Проблема 1 • Логически исследуются и формализуются только суждения, выраженные в форме повествовательного предложения. • Это обедняет возможности исследования естественного языка, в предложениях которого содержится, например, косвенная речь.

Пример • Режиссер утверждает, что все его фильмы скачиваются с торрентов, и это наносит Пример • Режиссер утверждает, что все его фильмы скачиваются с торрентов, и это наносит ему финансовый ущерб.

Проблема 2 • В экстенсиональных языках абстрагируются от прагматических оттенков смысла выражений, поэтому они Проблема 2 • В экстенсиональных языках абстрагируются от прагматических оттенков смысла выражений, поэтому они проще интенсиональных, т. к. ограничены предметным значением • Экстенсиональные языки беднее по своим выразительным возможностям.

Проблема 3 • Не рассматриваются пропозиции, содержащие гипотетическое предположение. • Соответственно, формализуются суждения лишь Проблема 3 • Не рассматриваются пропозиции, содержащие гипотетическое предположение. • Соответственно, формализуются суждения лишь с одним типом модальности.

Проблема 4 • Поскольку истинностное значение сложного высказывания зависит от истинностного значения входящих в Проблема 4 • Поскольку истинностное значение сложного высказывания зависит от истинностного значения входящих в него высказываний, от семантической интерпретации простых высказываний можно отвлечься. • Проблема материальной импликации, когда логически связываются семантически не связанные суждения.

Пример • A→B • А = Солнце больше Луны = 1 • В = Пример • A→B • А = Солнце больше Луны = 1 • В = Крокодилы полетели на юг = 1 • Из того, что солнце больше луны, следует, что крокодилы полетели на юг.

Двузначность • Истинностное значение может быть только истинным или ложным. • Всякая формула при Двузначность • Истинностное значение может быть только истинным или ложным. • Всякая формула при интерпретации нелогических символов, входящих в ее состав, принимает только одно из двух значений: «истина» или «ложь» .

Проблема 5 • В классической логике невозможна ситуация, когда определённая формула вообще не имеет Проблема 5 • В классической логике невозможна ситуация, когда определённая формула вообще не имеет истинностного значения.

Проблема 6 • Возможно только полное соответствие или несоответствие суждения положению дел, то есть Проблема 6 • Возможно только полное соответствие или несоответствие суждения положению дел, то есть только «истинное» или «ложное» суждение. • Это исключает суждения, в которых содержится какое-либо предположение, когда точная информация неизвестна. • Аристотель: невозможность оценки как истинных или ложных будущих случайных событий.

Пример • Через тысячу лет люди прилетят в туманность Андромеды. Пример • Через тысячу лет люди прилетят в туманность Андромеды.

Проблема 7 • Закон исключенного третьего не может считаться универсальным, поскольку возможна неопределенность. Проблема 7 • Закон исключенного третьего не может считаться универсальным, поскольку возможна неопределенность.

Пример • Гипотетическое предположение: «Темной материи не существует» . • У этого предположения есть Пример • Гипотетическое предположение: «Темной материи не существует» . • У этого предположения есть степень вероятности того, истинным оно будет или ложным.

Проблема 9 • Проблема логического следования. • Из ложного суждения может следовать как ложное, Проблема 9 • Проблема логического следования. • Из ложного суждения может следовать как ложное, так и истинное.

Эпистемологические предпосылки • Значения выражений (и их интерпретация) трактуются с точки зрения корреспондентной теории Эпистемологические предпосылки • Значения выражений (и их интерпретация) трактуются с точки зрения корреспондентной теории истины. • Соответственно, выражения языка обозначают какую-либо ситуацию, которая имеет или не имеет места в реальности.

Неклассические логики Это логические системы, которые опровергают или преобразуют принципы классической логики с целью Неклассические логики Это логические системы, которые опровергают или преобразуют принципы классической логики с целью решения ее проблем и/или получения более гибкого логического инструментария.

Принципы построения неклассических логик • Альтернатива классическим логическим теориям, когда используется тот же логический Принципы построения неклассических логик • Альтернатива классическим логическим теориям, когда используется тот же логический язык, но с иной интерпретацией. • Расширение классических теорий, когда вводятся новые логические константы.

Специфика неклассических логик • Появление новых (по сравнению с классической логикой) логических законов. • Специфика неклассических логик • Появление новых (по сравнению с классической логикой) логических законов. • Появление новых форм корректного рассуждения. • Иное истолкование логических операций. • Философские логики, которые предполагают, что система строится на интерпретации философских категорий.

Развитие неклассической логики Развитие неклассической логики

Логицизм • Направление логических исследований, которое предполагает, что математика должна исследоваться логическими средствами, поскольку Логицизм • Направление логических исследований, которое предполагает, что математика должна исследоваться логическими средствами, поскольку логика лежит в основании математики. • Исследование логики математическими методами. • Вторая половина XIX – начало ХХ века. • Представители: Б. Рассел, А. Уайтхед, Б. Бауэр.

Интуиционизм • Интуиционистская логика отражает взгляд интуиционизма на характер логических законов, считающихся с его Интуиционизм • Интуиционистская логика отражает взгляд интуиционизма на характер логических законов, считающихся с его точки зрения допустимыми в применении к доказательствам суждений из тех частей дедуктивных наук (особенно математики), которые существенно связаны с понятием математической бесконечности. • Формулы истолковываются как задачи, логические связки — как преобразования задач, аксиомы — как задачи, для которых решения считаются известными, а правила вывода — как преобразования решений задач.

Паранепротиворечивая логика • Брауэр высказал идею о неприменимости закона исключённого третьего в рассуждениях о Паранепротиворечивая логика • Брауэр высказал идею о неприменимости закона исключённого третьего в рассуждениях о бесконечных множествах (начало ХХ века). • Паранепротиворечивая логика отрицает, что из противоречия следует все, что угодно, следовательно, работает с законом исключенного третьего. • Анализируется логическое следование. • Представители: Н. А. Васильев, Я. Лукасевич.

Релевантные логики • Исключаются свойственные классической логике принципы, которые с точки зрения интуиции и, Релевантные логики • Исключаются свойственные классической логике принципы, которые с точки зрения интуиции и, главное, реальной практики рассуждений трактуются как неуместные, не соответствующие этой практике, парадоксальные. • Исследуется принцип эквивалентности. • Представители: К. Льюис, М. Данн

Интенсиональная логика • Используется понятие смысла языкового выражения в целях анализа широкого класса контекстов Интенсиональная логика • Используется понятие смысла языкового выражения в целях анализа широкого класса контекстов естественного языка. • Решение проблем, связанных с экстесиональностью классической логики. • Представители: Р. Карнап, Г. Фреге.

Модальные логики • Раздел формальной логики , в рамках которого изучаются логические операторы, называемые Модальные логики • Раздел формальной логики , в рамках которого изучаются логические операторы, называемые модальностями. • К модальным операторам в настоящее время относят большинство операторов, с помощью которых удаётся учитывать степень истинности утверждаемого.

Многозначные логики • Совокупность логических систем, опирающихся на принцип многозначности, в соответствии с которым Многозначные логики • Совокупность логических систем, опирающихся на принцип многозначности, в соответствии с которым всякое высказывание имеет одно (и только одно) из трёх или более истинностных значений. • Представители: Я. Лукасевич, Э. Пост

Темпоральная логика • Предполагается, что истинностное значение суждений может измениться со временем. • Применяет Темпоральная логика • Предполагается, что истинностное значение суждений может измениться со временем. • Применяет модальные операторы.

Вероятностная логика • Истинность и ложность – это не дискретные, а континуальные значения от Вероятностная логика • Истинность и ложность – это не дискретные, а континуальные значения от 0 до 1. • Позволяет разрабатывать теорию индукции. • Представители: Г. Рейхенбах, П. С. Порецкий.

Нечеткая логика • Основана на теории нечетких множеств. • Основной причиной появления стало наличие Нечеткая логика • Основана на теории нечетких множеств. • Основной причиной появления стало наличие нечетких и приближенных рассуждений при описании человеком процессов, систем, объектов. • Представители: Л. Заде.

Неформальные логики • Анализ рассуждения на естественном языке, которые невозможно полностью формализовать средствами классической Неформальные логики • Анализ рассуждения на естественном языке, которые невозможно полностью формализовать средствами классической логики. • Представление о том, что формальный анализ не дает возможности адекватно исследовать смысловую структуру суждений и умозаключений.