Логика высказываний Лекция 6
Логический вывод ¡ ¡ Закон контрапозиции. Условные силлогизмы. Проверка правильности логических выводов. Получение следствий из данных посылок. Метод резолюций.
Закон контрапозиции ¡ ¡ ¡ Многие теоремы математики сформулированы на основе импликации. На основе данного высказывания А В можно сформулировать обратное ему высказывание. Обратное высказывание может быть и не теоремой. _ A B ≡ A B _ B A ≡ B A ¡ Обратное высказывание может быть и не теоремой.
Для всякого предложения типа ¡ A B можно сформулировать противоположное _ _ ¡ высказывание A B, такое высказывание может быть теоремой, а может и не быть. ¡ Высказывание типа называется обратно – противоположным ¡ ¡ Такая равносильность называется законом контрапозиции.
Согласно этому закону: ¡ ¡ ¡ Высказывания A B и одновременно истинны либо одновременно ложны. Высказывание, которое является обратно противоположной данной теореме, также является теоремой. Вместо данной теоремы можно доказать обратно противоположную ей теорему.
¡ ¡ ¡ Если высказывание A B – теорема, то A есть достаточное условие B, а B необходимое условие A. Если оба высказывания являются теоремами (A B , B A; т. е. A B), то A - необходимое и достаточное условие B, а B - необходимое и достаточное условие A. Если A B – теорема, а B A не теорема, то A – достаточное, но не необходимое условие B, а B – необходимое, но не достаточное условие A.
Условные силлогизмы. Проверка правильности логических выводов. Логическое следование. ¡ ¡ Когда говорят, что из высказывания P 1 следует P 2 (т. е. P 1 P 2), подразумевают, что всякий раз, когда истинно высказывание P 1, истинно и высказывание P 2. Импликация P 1 P 2 ≡ 1 является общезначимой формулой (т. е. формула тождественно истинна).
Примеры ¡ ”Я пойду в кино” театр”. “Я пойду в кино или в A (A B) – соответствующая формула является тавтологией. ¡ “Если студент много занимается, то он успешно сдает экзамен по математической логике”. A B ¡ “Если студент “провалился” на экзамене, то он не учился в течении семестра по математической логике”. __ __ B A Следует ли из первого предложения второе? ¡
Закон контрапозиции
Условные силлогизмы ¡ ¡ Если силлогизм условный, то одна из его посылок условная. Если одна из посылок условная, а вторая посылка и вывод категоричное высказывание, то такой силлогизм условно-категоричный. Если обе посылки и вывод условные высказывания, то такой силлогизм – условный. Если одна из посылок условное высказывание, а другая разделительное (“или-или”), то это условноразделительный силлогизм.
Условно-категоричные силлогизмы Импликация отражает ту сущность нашего мира, когда следствие может иметь несколько причин. ¡ Мир допускает переход от причины к следствию, но не обратно. (П С) ¡
Четыре модуса условнокатегоричных силлогизмов ¡ Modus Ponens – утверждающий силлогизм (M. P. )
¡ Переход от следствия к причине. Этот модус неправильный.
¡ Этот модус тоже неправильный.
Modus Tollens – отрицающий модус Если не произошло B, не было причины A. ¡
¡ Такая запись называется аргументом (в виде посылок и заключения). Для проверки аргумента необходимо проверить чтобы из конъюнкций посылок следовало заключение. Такая проверка может быть названа логическим выводом.
Проверим аргумент по первому модусу Проверим аргумент по второму модусу A B B ——— A (Модус неправильный. Вероятно A)
Разделительно-категоричные силлогизмы ¡ A B – разделительное “или”, или сумма по модулю 2. (или A, или B)
Условный силлогизм ¡ Условный силлогизм: обе посылки и вывод условные суждения.
Условно-разделительный силлогизм: одна из посылок – условное суждение, а другая – разделительное суждение. ¡ В зависимости от числа альтернатив различают: ¡ Дилемма – 2 альтернативы ¡ Трилема – 3 альтернативы ¡ Тетралемму – 4 альтернативы ¡
Конструктивная дилемма
Совокупность произвольных посылок и произвольных заключений называется аргументом. ¡ Проверить правильность аргументов – это проверка следования из конъюнкций посылок заключения. ¡
Получение следствий из данных посылок ¡ Получение следствий из данных посылок можно сделать, получив СКНФ данных посылок, тогда все возможные элементарные конъюнкции и будут всевозможными следствиями из данных посылок.
Нужно получить СКНФ и перебрать все возможные комбинации конъюнкций. (В данном случае у нас, их 7)
Метод резолюций ¡ Если имеются два высказывания: (A B), ( C) которые имеют контрарные литералы, то следствием из этих посылок является (B C).
Такие следствия называются резольвентами. ¡ Метод основан на получении резольвент. Последовательно получаем резольвенты до тех пор, пока не получится (пустое следствие). ¡ Для применения этого метода необходимо использовать КНФ. ¡