Логика Умозаключение СИНОНИМЫ n высказывание n речь

Логика Умозаключение

СИНОНИМЫ n высказывание n речь n рассуждение n размышление n (рас)следование n вывод, выведение

Умозаключением называется такой прием рассуждения, посредством которого мы из некоторого исходного знания получаем новое, выводное знание. M a P Беспокойство истощает жизненные силы S a M Современная жизнь полна беспокойства Современная жизнь истощает силы S a P посылки заключение Правило следования

Виды умозаключения По характеру направленности процесса вывода умозаключения делятся на: n дедуктивные n индуктивные n традуктивные (аналогия) (от латинского traductio переведение) Кроме того, умозаключения делятся на n непосредственные и n опосредствованные.

Непосредственные умозаключения n включают в себя: n Умозаключения по логическому квадрату n Превращение n Обращение n Противопоставление предикату

Простой категорический силлогизм: определение Простой категорический силлогизм - опосредствованное дедуктивное умозаключение об отношении двух терминов n ( S и P) на основании их n отношения к третьему термину(M). n

Простой категорический силлогизм: структура M a P Всякий, кто работает на лекции, сдает экзамен без проблем. Сидоров работает на лекции S a M Сидоров сдаст экзамен без проблем S a P Средний термин - M Крайние термины – S и P Меньший - S Меньшая посылка – S a M Больший - P Большая посылка – M a P

Аксиома силлогизма n Если объем одного термина полностью входит в объем другого, а объем другого полностью входит в объем третьего, то и объем первого полностью входит в объем третьего. А если объем одного термина полностью входит в объем другого, а объем другого полностью исключается из объема третьего, то и объем первого полностью исключается из объема третьего.

Аксиома силлогизма Все, что сказано о роде, сказано о виде и индивиде… Всякий студент -учащийся. M a P Семенов - студент. S a M Семенов - учащийся. S a P M S P

Аксиома силлогизма(продолжение) n Всё, что не сказано о роде, n не сказано о виде и индивиде. n Всякий студент не профессор. n Семенов - студент. n Семенов - не профессор. M S P M e P S a M S e P

Правила категорического силлогизма n. Общие правила n. Правила фигур Правила терминов Правила посылок

Правила категорического силлогизма Правила терминов 1. В категорическом силлогизме должно быть три и только три термина.

Упражнение 1 Человек полетел в космос. Я – человек. ________ Я полетел в космос М есть Р S есть М _______ S есть Р n n

Правила категорического силлогизма Правила терминов 2. Термин, не распределенный в посылках, не может быть распределен в заключении

Правила категорического силлогизма ? Я – человек. Ты не я. ______ Ты не человек. - M a P S е M S е P+

Правила категорического силлогизма Правила терминов 3. Средний термин должен быть распределен по крайней мере в одной из посылок.

Правила терминов n Гусеница ест капусту. n Человек ест капусту. n __________ n Человек – гусеница?

Правила категорического силлогизма n Правила посылок. 1. Из двух отрицательных посылок нельзя сделать никакого заключения. 2. Если одна из посылок отрицательная, то заключение – отрицательное. 3. Из двух частных посылок нельзя сделать никакого заключения. 4. Если одна из посылок частная, то заключение – частное.

Фигуры и модусы категорического силлогизма Все жидкости упруги P a M Это тело не упруго S е M S a P Это тело не является жидкостью

Фигуры и модусы категорического силлогизма Бόльшая посылка Мéньшая посылка Заключение M P P M S M S S – P I фигура S – P II фигура III фигура S – P IV фигура

Правила категорического силлогизма n Правила фигур P n Правила I фигуры. M S - P P - M S - P M - S S - P n n Правила II фигуры. n n Большая посылка обязательно общее суждение, а меньшая посылка – утвердительная. Большая посылка всегда общее суждение, одна из посылок – отрицательная. Правила III фигуры. n Меньшая посылка всегда утвердительное суждение, заключение – частное.

IV фигура силлогизма n P – M n M – S Правила четвертой фигуры: n _____ n S -- P n 1. Если большая посылка в ней- утвердительное суждение, то меньшая посылка – общее суждение. n 2. Если одна посылка отрицательная, то большая посылка – общая.

Фигуры и модусы категорического силлогизма Правильные модусы. I фигура Barbara, Celarent, Darii, Ferio; II фигура Cesare, Camestres, Festino, Baroco; III фигура Darapti, Disamis, Datisi, Felapton, Bocardo, Ferison IV фигура Bramantip, Camenes, Dimaris, Fesapo, Fresison.

Фигуры и модусы категорического силлогизма I фигура Barbara, Celarent, Darii, Ferio; M a P S a M S a P M S P M e P S a M S e P M M a P S i M S i P S P M e P S i M S o P

Фигуры и модусы категорического силлогизма M a P S o M S o P S a P S i P S e P M P S

Упражнение n Третья фигура часто используется в том случае, когда в споре приводятся примеры для опровержения какого-либо положения. n “Всякий умный человек обладает тонким чувством юмора” Нет, (1) N, например, умен, а (2) чувством юмора не обладает. Если ваш противник согласен с (1) и (2), то он вынужден отказаться от высказанного положения. n Петров не обладает чувством юмора n Петров умен (Felapton) n Некоторые умные люди не обладают чувством юмора

Сведение модусов 2 -й, 3 -й и 4 -й фигур к модусам 1 -й фигуры рассматривается как процедура их доказательства, так как только модусы I фигуры соответствуют аксиоме силлогизма, а последняя, поскольку она аксиома, не требует доказательства.

Модус Darapti 3 -ей фигуры n Я – царь n Я - раб. n _____

Сведение модусов к 1 -й фигуре n В латинских названиях начальные буквы указывают на тот модус I-й фигуры, к которому сводится данный модус, например, Datisi сводится к Darii. Буква s означает, что гласная, стоящая перед этой буквой, обозначает суждение, которое подлежит чистому обращению, к примеру, в модусе Cesare. Буква m указывает на то, что посылки следует поменять местами, например, в модусе Dimaris.

Сведение модусов к 1 -й фигуре n Буква p означает, что гласная, стоящая перед этой буквой, обозначает суждение, которое подлежит обращению с ограничением: Fesapo. Буква c указывает на то, что данный модус сводится к модусу I фигуры при помощи метода приведения к абсурду с использованием модуса Barbara. n Таким образом доказываются два модуса: Baroco, Bocardo.

Сведение модусов n Darapti III фигуры сводится к Darii I фигуры n М а Р M a P n M a S → S i M n ____ ______ n S i P S i P n

Сведение модусов n Александровская колонна - триумфальный памятник Александровская колонна - гранитный монолит n _________________________ n Некоторые гранитные монолиты - триумфальные памятники n сводится к: n Александровская колонна - триумфальный памятник n Один из гранитных монолитов - Александровская колонна n ________________________ n Значит, один из гранитных монолитов - триумфальный памятник

Сведение модусов n Bocardo III фигуры n М о Р Некоторые музыканты не n композиторы n М а S Все музыканты обладают хорошим n слухом n ____________________ __ n S о Р Некоторые люди, обладающие n хорошим слухом, не являются n композиторами.

СВЕДЕНИЕ МОДУСОВ n Предположим, что заключение S o P неверно. Тогда n n n верно (вспомним логический квадрат) противоречащее ему суждение S а Р. Используя это суждение в качестве большей посылки силлогизма, получаем при помощи модуса Barbara I фигуры новое заключение М а Р. S a P Все люди с хорошим слухом - композиторы М а S Все музыканты обладают хорошим слухом ______________________ M а Р Значит, все музыканты - композиторы Это заключение М а Р (все музыканты – композиторы) противоречит истинной посылке М о Р исходного силлогизма (некоторые музыканты не композиторы). Следовательно, заключение исходного модуса Bocardo является верным.

Энтимема n Энтимема - сокращенный силлогизм, в котором пропущены либо одна из посылок, либо заключение. n Например, Слово не воробей, вылетит – не поймаешь. n Определить, где посылка, а где заключение можно, во-первых, по смыслу, в том случае, когда союзных слов нет и, во-вторых, по союзному слову, которое связывает суждения.

ЭНТИМЕМА n Функции наиболее часто встречающихся союзных n n n n слов таковы: вводят посылку вводят заключение так как поэтому потому что значит поскольку в итоге ибо следовательно ввиду того, что итак

Восстановление энтимемы n "Юпитер, ты сердишься, значит -- ты не прав" n — В данной энтимеме выводом является суждение "Ты (Юпитер) не прав", а меньшей посылкой, поскольку в ней находится субъект вывода "Юпитер", — суждение "Юпитер сердится". Зная, что средним термин отсутствует в выводе, но присутствует в посылках, легко определить, что им является понятие "сердиться". Теперь не сложно восстановить большую посылку, состоящую из предиката вывода P и среднего термина M:

Восстановление энтимемы n Все сердящиеся не правы n Юпитер сердится_____ _ n Юпитер не прав. n M не есть P I фигура модус Celarent n S есть M n _____ n S не есть P

Энтимема Все лжецы трусы Кай – лжец Кай – трус P Все лжецы M трусы Ma P S a M S a P

Энтимема Работа не волк, в лес не убежит. Все, убегающие в лес, – волки. Работа не волк Работа в лес не убежит M Все, что убегает в лес P волк P a M S e P

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ «Простой категорический силлогизм » n n n 1. Привести пример рассуждения по модусу 1 -й вариант AII Datisi III ф. 2 -й вариант EIO Festino II ф. 3 -й вариант EAE Celarent I ф. 4 -й вариант AOO Baroco II ф. и изобразить силлогизм при помощи круговых схем. n n n Из четырех модусов выбрать единственный правильный модус и обосновать отбрасывание трех неправильных: 1 -й вариант P a M S a M S e M M o S S i M 2 -й вариант M e P M o S M a S S o M S e M n n n 3 -й вариант M a P S e M S o M M a S M o S 4 -й вариант P e M S e M S o M S i M M o S n

Контрольная по теме «Простой категорический силлогизм» (продолжение) n 3. Привести пример по модусу n 1 -й вариант Cesare II ф. n n 2 -й вариант Darapti III ф. 3 -й вариант Festino II ф. 4 -й вариант Ferison III ф. и свести его к соответствующему модусу I фигуры (желательно использование круговых схем). 4. Восстановить энтимему (сокращенный силлогизм) в полный силлогизм, указать фигуру и модус: 1 -й вариант: Некоторые спортсмены изучают логику, так как некоторые спортсмены – студенты факультета журналистики. 2 -й вариант: Этот силлогизм не имеет трех терминов, следовательно, он не является правильным. 3 -й вариант: Он человек, значит ничто человеческое ему не чуждо. 4 -й вариант: Национализм разрушителен, так как он приводит к войне. n n n n

СИЛЛОГИЗМЫ СО СЛОЖНЫМИ ПОСЫЛКАМИ (суждениями) -- n это силлогизмы, посылками которых служат условные, разделительные и другие виды сложных суждений.

Условные силлогизмы n У силлогизмов этого рода как посылки так и заключение - условные суждения. Насчитывается три правильных модуса чисто условного силлогизма. По своей форме эти модусы отдаленно напоминают три фигуры категорического силлогизма.

Условные силлогизмы n n n Первый модус. Если p, то q Если q, то r --------Если p, то r Здесь вместо переменных p, q и r можно подставлять любые суждения. n n Если число делится на 12, то оно делится и на 6 Если число делится на 6, то оно делится и на 3 -------------------------------Если число делится на 12, то оно делится и на 3

Второй модус n Если p то q n Если r, то не-q n -----------n Если p, то не-r n Здесь не-p, не-q и не-r – это отрицания p, q и r. n Если число делится на 12, то оно делится на 3 n Если число равно 13, то оно не делится на 3 n -------------------------------n Если число делится на 12, то оно не равно 13.

Третий модус. n Если q, то p n Если не-q, то r n ----------n Если не-p, то r n Пример: n Если число делится на 2, то оно четное n Если число не делится на два, то оно нечетное n ------------------------------n Если число не является четным, то оно нечетное.

Условно – категорические силлогизмы n Два правильных модуса условно- категорического силлогизма: а) конструктивный модус - б) деструктивный модус n modus ponens modus tollens n ЕСЛИ А, ТО В n А не-В n _______ n ЗНАЧИТ, В ЗНАЧИТ, не-А n

2 правильных модуса условнокатегорического силлогизма n Если число делится на 6, то делится на 2 n Это число делится на 6 n Значит, это число делится на 2. n Если число делится на 6, то делится на 2 n это число не делится на 2 n Значит, это число не делится на 6.

Р а з д е л и т е л ь н ы м n называется силлогизм, в котором первая посылка n n n n n разделительное суждение вида "А или В или С. . . " (А, В, С. . . называются альтернативами). Два правильных модуса разделительно-категорического силлогизма: а) утверждающе-отрицающий б) отрицающе- утверждающий -modus ponendo tollens -modus tollendo ponens А либо В либо С А не-В и не-С ________ _______ не-В и не-С А

Разделительный силлогизм n Треугольник либо остроугольный, либо n n n прямоугольный, либо тупоугольный. Этот треугольник остроугольный. Значит, этот треугольник не прямоугольный и не тупоугольный. Треугольник либо остроугольный, либо прямоугольный, либо тупоугольный. Этот треугольник не прямоугольный и не тупоугольный. Следовательно, он остроугольный.

Условно-разделительные силлогизмы. Дилеммы. n У с л о в н о - р а з д е л и т е л ь н ы м и называются силлогизмы, в которых первая посылка состоит из двух или более условных суждений, а вторая посылка - разделительное суждение. n 4 правильных модуса условно-разделительного силлогизма (дилеммы): n а) простая конструктивная б) сложная n n n n конструктивная дилемма: Если А, то В; Если С, то В Если А, то В; если С, то Д А или С -------------------------- В В или Д

Дилемма n в) простая деструктивная г) сложная n деструктивная n дилемма: n Если А, то В; Если А, то С Если А, то В; n Если С, то Д n не- В или не-С не-В или не-Д n -------------n не-А не-А или не-С n

ВИДЫ ДИЛЕММ n а) простая конструктивная дилемма: Если число делится на 6, то оно делится на 2. Если число делится на 4, то оно делится на 2. Данное число делится или на 6, или на 4. Значит, данное число делится на 2. n б) сложная конструктивная дилемма: Если число делится на 6, то оно делится на 2. Если число делится на 9, то оно делится на 3. Данное число делится на 6 или на 9. Значит, оно делится или на 2, или на 3. n

Виды дилемм n в) простая деструктивная дилемма: Если число делится на 6, то оно делится на 2. Если число делится на 6, то оно делится на 3. Неверно, что данное число или не делится на 2 или не делится на 3. Следовательно, данное число не делится на 6. n г) сложная деструктивная дилемма: Если число делится на 6, то оно делится на 2. Если число делится на 9, то оно делится на 3. Данное число или не делится на 2, или не делится на 3. Следовательно, оно или не делится на 6 или не делится на 9.

ДИЛЕММА n Примечание. n Для правильного вывода по условно- разделительному силлогизму необходимо, чтобы в разделительном суждении были перечислены все достаточные альтернативы.

Дизъюнкция строгая n Строгое разделение: либо В либо С n Число либо простое либо составное n В С n и и л n л и и n и л и n л л л

Нестрогая дизъюнкция: В илии С n Число делится на 2 или на 3 n В С Вv. С n и и и n л и и n и л и n л л л

Индуктивные умозаключения n Индуктивные умозаключения: полная и неполная индукция. n Индуктивные умозаключения относятся (кроме полной индукции) к вероятностным и представляют собой переход от частных и единичных суждений к общим. n

Схема полной индукции: n S первое есть Р n S второе есть Р n . . . . n S n-ое есть Р n S первое. . S n-е исчерпывают все предметы класса S n _________________ n Cледовательно, все S есть Р n

Пример полной индукции n Люди в возрасте до года проживают в Петербурге n Люди в возрасте от 1 до лет проживают в Петербурге n Люди в возрасте от до 3 лет проживают в Петербурге n . . . . n Исследование показало, что люди возрастов от n n первого года рождения вплоть до 100 -летнего проживают в Петербурге __________________________ Значит, люди всех возрастов от 0 до 100 лет проживают в Петербурге.

Схема н е п о л н о й индукции n S 1 есть Р S 2 есть Р n . . . . n S n-е есть Р n S 1. . . S n-е есть часть класса S n ________________ Вероятно, все S есть Р n n.

Неполная индукция n Заключение о принадлежности признака Р всему классу предметов делается на основании принадлежности этого признака некоторой части предметов класса

Пример неполной индукции n В понедельник шел дождь n Во вторник шел дождь n В среду шел дождь n В субботу шел дождь n Всю неделю шел дождь.

Виды неполной индукции n 1. Простая перечислительная ( или популярная). n Вывод по такой индукции делается при неполном знании об имеющихся фактах и случайном характере их отбора. n 2. Научная индукция. n В ней используются методы, повышающие достоверность вывода, прежде всего, методы установления причинной связи явлений (методы Бэкона – Милля).

Пример популярной индукции n Лебеди в Европе – белые. n Лебеди в Азии – белые. n Лебеди в Африке – белые. n Значит, все лебеди – белые. n P. S. Черные лебеди были обнаружены в Австралии в XVII веке.

ИНДУКТИВНЫЕ МЕТОДЫ УСТАНОВЛЕНИЯ ПРИЧИННОЙ СВЯЗИ ЯВЛЕНИЙ n 1. М е т о д с х о д с т в а : если два или более случаев наблюдаемого явления сходны только в одном обстоятельстве, то это одно обстоятельство, вероятно, и есть причина данного явления. n При условиях АВС возникает явление а n При условиях АДЕ возникает явление а n При условиях АКЛ возникает явление а n Вероятно, обстоятельство А является причиной явления а n

Пример по методу сходства n Дома Невского проспекта имеют некую архитектурную особенность: окна каждого этажа отличны от окон другого этажа того же дома. n Дома на улице Чайковского имеют ту же архитектурную особенность. Дома на Васильевском острове тоже имеют эту особенность. Все эти дома - постройки старого Петербурга. n Вероятно, в старой части Петербурга ни один этаж не повторяет другой этаж того же дома.

ИНДУКТИВНЫЕ МЕТОДЫ УСТАНОВЛЕНИЯ ПРИЧИННОЙ СВЯЗИ ЯВЛЕНИЙ n 2. М е т о д р а з л и ч и я: если случаи, в котором явление наступает, и случаи, в котором данное явление не наступает, отличаются только одним обстоятельством, то это обстоятельство, вероятно, и есть причина данного явления. n При условиях АВСЕ явление а возникает n При условиях ВСЕ явление а не возникает Вероятно, обстоятельство А есть причина явления а n

Пример по методу различия n При хорошей погоде число туристических автобусов в городе n возрастает. n Когда нет хорошей погоды, число туристических автобусов не возрастает. n Вероятно, хорошая погода - причина возрастания числа туристических автобусов в городе.

ИНДУКТИВНЫЕ МЕТОДЫ УСТАНОВЛЕНИЯ ПРИЧИННОЙ СВЯЗИ ЯВЛЕНИЙ n 3. С о е д и н е н н ый м е т о д n с х о д с т в а и р а з л и ч и я значительно усиливает степень вероятности вывода благодаря тому, что рассматривает два ряда случаев. Первый ряд соответствует методу сходства, второй ряд – методу различия.

4. М е т о д с о п у т с т в у ю щ и х и з м е н и й: n если какое-либо явление изменяется определенным образом всякий раз, когда изменяется предшествующее ему явление, то эти явления, вероятно, находятся в причинной связи друг с другом. При условиях А* ВС возникает явление а* При условиях А**ВС возникает явление а** При условиях А*** ВС возникает явление а*** n Вероятно, обстоятельство А есть причина явления а

Пример метода сопутствующих изменений При гололеде в городе увеличивается число уличных травм. При посыпке льда песком число уличных травм уменьшается. При скалывании льда число травм сводится к минимуму. Вероятно, гололед в городе является причиной увеличения числа уличных травм.

М е т о д о с т а т к о в: n если известно, что причиной исследуемого явления не служат необходимые для него обстоятельства, кроме одного, то это обстоятельство, вероятно, и есть причина данного явления. Обстоятельство АВС вызывает явление авс Обстоятельство В вызывает явление в Обстоятельство С вызывает явление с n Вероятно, обстоятельство А есть причина явления а

Пример по методу остатков n После электрификации железной дороги стали возникать искажения в показаниях приборов близко расположенной обсерватории. n Все рассмотренные обстоятельства не вызывали искажений, кроме одного: магнитного поля, возникающего вблизи контактной сети. n Вероятно, причиной искажения приборов явилось магнитное поле вблизи контактных сетей.

О ш и б к и в индуктивных умозаключениях: n 1) "поспешное обобщение", например, 6 делится без остатка на 1, 2, 3, 4, 5, 6, значит, 6 делится на все числа без остатка. n 2) "после этого, значит, по причине этого " : Лектор дважды отметил студентов, присутствующих на его занятиях. После этого число студентов на его занятиях увеличилось. Значит, причиной хорошей посещаемости занятий этого лектора является перекличка студентов.

Упражнение 1. Определить ошибку в следующих умозаключениях: n 1. После строительства дамбы началось заболачивание Финского залива. Следовательно, причиной заболачивания Финского залива явилось строительство дамбы. 2. Дворцовый мост в Петербурге – разводной. Троицкий мост – разводной. Благовещенский мост- разводной. Следовательно, все мосты в Петербурге - разводные. n

Упражнение 2. К каким выводам и по какому методу научной индукции можно прийти в следующих случаях: n Молодой человек стал усиленно заниматься атлетической гимнастикой, и у него появились боли в области сердца. Он прекратил эти занятия — боли прошли.

Традуктивные умозаключения n К традуктивным умозаключениям относят умозаключения по аналогии ( от греч. αναλογια – соответствие). n Суть его состоит в том, что обнаруженное частичное сходство различных объектов по некоторому набору признаков становится основанием для предположения о том, что и остальные признаки у них также совпадают.

Схема умозаключения по аналогии n S -1 обладает признаками n P-1, P-2, P-3, P-4, P-5. n S-2 обладает признаками n P-1, P-2, P-3. n Следовательно, S-2 обладает признаками P-1, P-2, P-3, P-4, P-5.

Примеры умозаключения по аналогии n Нестрогая аналогия: n На поверхности Марса есть каналы, похожие на земные. Значит, на Марсе, как и на Земле, есть жизнь. n Структурная аналогия: n Строение Солнечной системы можно уподобить модели атома.

Доказательство n Доказательство - логическая процедура установления истинности какого-либо суждения при помощи других суждений, истинность которых уже установлена.

Состав доказательства: n тезис (суждение, истинность которого следует доказать), n Аргументы, или основания (истинные суждения, из которых следует тезис), n форма, или демонстрация (умозаключение, связывающее аргументы с тезисом). n Примером доказательства может служить силлогизм.

Пример n Ни одна постройка Петербурга не относится к XVII веку. n Домик Петра I - постройка Петербурга. n Домик Петра I не относится к XVII веку. n Здесь тезисом выступает суждение "Домик Петра I не относится к XVII веку", аргументами истинные суждения "Ни одна постройка Петербурга не относится к XVII веку" и "Домик Петра I - постройка Петербурга", а формой доказательства выступает модус ЕА / Е 1 фигуры категорического силлогизма.

Состав доказательства n Тезис – высказывание, которое доказывается или опровергается в процессе доказывания или опровержения. n Основания – высказывания, используемые для установления истинности или ложности тезиса при его доказывании или опровержении. n В качестве оснований в доказательствах или в опровержениях могут использоваться высказывания о фактах, о данных опыта; высказывания, истинность которых обоснована ранее, в частности, доказанные ранее теоремы, законы науки; различного рода определения; аксиомы, постулаты, принципы и т. п. n.

Состав доказательства: демонстрация n Демонстрация или методы и способы доказывания и опровержения – совокупность логических операций, в частности, правил дедуктивных умозаключений, применяемых к тезису и основаниям с целью доказать или опровергнуть тезис. n Назначение демонстрации заключается, прежде всего, в том, чтобы сделать доказательство или опровержение убедительным не только по содержанию, то есть в чисто информационном отношении, но и объективно необходимым по его логической форме. Демонстрация призвана показать, что между основаниями и доказываемым тезисом действительно было установлено отношение логического следования, в случае доказательства, или установлено его отсутствие в случае опровержения.

Состав доказательства n ЧТО ИЗ ЧЕГО СЛЕДУЕТ? n 1. «ЧТО» - тезис, вывод n 2. «ИЗ ЧЕГО» - аргументы, основания n 3. «СЛЕДУЕТ» - правила логического n следования, демонстрация

Упражнение 1. n В следующих рассуждениях найти тезис, выявить аргументы и форму доказательства. n 1) "Я мыслю, следовательно, я существую" (Декарт) n 2) Некоторые мосты в Петербурге разводные, так как Дворцовый мост находится в Петербурге и является разводным.

Виды доказательств n Доказательства делятся на два основных вида: прямые и косвенные. В прямом доказательстве истинность тезиса непосредственно следует из истинности аргумента. Например, n Некоторые церковные сооружения Петербурга - не православные соборы, так как некоторые церковные сооружения Петербурга - костелы, а ни один костел не является православным собором.

Прямое доказательство n В приведенном примере на первом месте стоит тезис, который непосредственно следует из аргументов - суждений, стоящих после союза "так как", - по одному из логических правил - модусу ЕI/O категорического силлогизма.

Косвенное доказательство n Двумя видами косвенного доказательства являются апагогическое (от греч. апагогэ - отведение) и разделительное n доказательства.

n Апагогическим доказательством, или доказательством от противного, мы нередко пользовались в школьном курсе математики. n Докажем, например, что "два перпендикуляра к одной прямой не пересекаются ". Предположим, что данный тезис неверен, а верен антитезис "два перпендикуляра к одной прямой пересекаются ".

Апагогическое доказательство n Из этого предположения следует, что два перпендикуляра образуют треугольник, сумма 3 -х внутренних углов которого больше 180 градусов (т. к. углы при основании равны 90 градусам). Однако это следствие противоречит теореме о том, что сумма трех углов в треугольнике равна 180 градусам, а значит, следствие является неверным. Придя к противоречию с теоремой, мы заключаем, что наше предположение, из которого мы вывели ложное следствие, само является ложным. А если из двух противоречащих суждений (тезиса и антитезиса) одно - а именно антитезис - ложно, то по закону исключенного третьего другое - тезис - истинно.

Апагогическое доказательство n С примерами апагогического доказательства мы имели дело при обосновании модусов Baroco и Bocardo. n Положим, нам нужно доказать тезис "Не все пенсионеры города на Неве - жители блокадного Ленинграда". n Предположим, что данное суждение неверно, тогда верно противоречащее ему суждение "Все пенсионеры города на Неве – жители блокадного Ленинграда ".

Апагогическое доказательство n Истинное суждение " Все жители блокадного Ленинграда - участники Великой Отечественной войны" вместе с истинной посылкой " Все пенсионеры города на Неве - жители блокадного Ленинграда" влечет по модусу Ваrваrа I -ой фигуры вывод: n "Все пенсионеры города на Неве - участники Великой Отечественной войны". n Однако, наш вывод противоречит истинной посылке " Не все пенсионеры города на Неве - участники Великой Отечественной войны ", и, следовательно, по закону исключенного третьего является ложным. Таким образом, наше предположение было неверным, а исходный тезис - верным.

Разделительное доказательство n В таком доказательстве тезис - одна из n n альтернатив разделительного суждения, причем в этом суждении должны быть перечислены все альтернативы. С х е м а: Либо А, либо В, либо С, либо D не-А и не-В и не-С Значит, D Последовательно исключаются все альтернативы, кроме одной, которая и является тезисом доказательства.

Разделительное доказательство n Например: Простое категорическое суждение может быть либо общеутвердительным, либо общеотрицательным, либо частноутвердительным, либо частноотрицательным. Данное простое категорическое суждение не является общеутвердительным, не является общеотрицательным, и не является частноутвердительным. n ----------------------n Значит, оно частноотрицательное.

Доказательство n Доказательством в самом широком смысле следует назвать логическую процедуру выявления или восстановления последовательности в рассуждении, целью которой является установление (подтверждение) истинности некоторого высказывания.

Опровержение n Если же целью подобной логической процедуры становится установление (подтверждение) его ложности, то мы имеем дело с опровержением.

Опровержение n ОПРОВЕРЖЕНИЕ является доказательством ложности или необоснованности, несостоятельности тезиса. n Например, ложность тезиса " Все люди - грамотные " мы устанавливаем из истинности антитезиса "Некоторые люди - неграмотные". n В составе опровержения тоже отличают 1) тезис, ) аргументы, 3) форму опровержения.

Опровержение n Опровергать тезис, как и доказывать истинность его отрицания с помощью формулировки антитезиса можно как прямо, так и косвенно. n (1) Опровергать косвенно тезис можно через установление ложности следствий, якобы вытекающих (логически следующих) из тезиса. n Для этого делают допущение об истинности тезиса и ищут ложные следствия из него, которые бы противоречили ранее установленным истинам. После обнаружения хотя бы одного противоречия делается обоснованный вывод о том, что допускать истинность тезиса было бы неправильно. Так косвенно будет доказана истинность антитезиса или ложность самого тезиса. n (2) Самым сильным и убедительным для собеседника является опровержение тезиса через прямое доказательство антитезиса. Это означает необходимость установления истинности антитезиса в процессе его доказывания.

Задача о 3 -х умниках n трем умникам решили устроить испытание: им надели n n n на головы черные колпаки, но таким образом, чтобы никто не увидел, какого цвета колпак на собственной голове. Умникам объяснили, что в наличии имеется всего 5 колпаков: 2 белых и 3 черных. Самым умным признают того, кто первый догадается, какого цвета колпак на его собственной голове. После некоторого молчания один из них сказал: "На мне черный колпак". Как он догадался? Использовать схему разделительного косвенного доказательства: А или В или С не-В и не-С ______ А

Задача "Как сохранить свою должность? " n Начальник захотел сместить своего подчиненного, но при этом не хотел его слишком обидеть. Он позвал его к себе, положил при нем на стол два листка бумаги и сказал: "На одном листке я написал "Уходите", а на другом "Останьтесь". Листок, который вы вытащите, решит вашу судьбу". Подчиненный догадался, что на обоих листках было написано "Уходите". Как он поступит, чтобы остаться на своей должности? (Ж. Байиф. Логические задачи. С. 58 -59)

Задача "Как сохранить свою жизнь? " n Некто совершил преступление, караемое смертной казнью. На суде ему предоставляется последнее слово. Ему предлагают произнести только одно высказывание. Если оно окажется истинным, его утопят. Если же оно будет ложным, его повесят. Какое утверждение он должен высказать, чтобы привести судей в полное замешательство (Р. Смаллиан. Как же называется эта книга? " с. 14 -15) n.

Ответы на задачи n Сила логики заставит начальника оставить подчиненного в своей должности (задача "Как сохранить свою должность? "), если последний поступит следующим образом: возьмет один из листков и, не читая, уничтожит (проглотит, разорвет и т. п. ) Если на оставшемся в портфеле листке написано "Уходите", то на втором должно было быть написано "Останьтесь".

ЛОГИЧЕСКИЙ ПАРАДОКС n - это рассуждение, в ходе которого доказывается как истинность, так и ложность некоторого утверждения. n Прежде чем приступить к изложению парадоксов, обратим внимание на самоприменимость содержания некоторых высказываний. Например, "Я убедился, что убеждений нет". Человек, высказавший это утверждение, впадает в противоречие с самим собой. Часто подобного рода утверждения увлекают в порочный круг, в котором признание истинности некоторого суждения приводит к признанию его ложности, а признание его ложным заставляет заключить его истинность.

n Не является парадоксальным утверждение "Я говорю по- русски", в котором содержание высказывания относится не только к другим высказываниям, но и к самому себе. Вследствие самоприменимости оно может быть только истинным, в то время как высказывание "Я сплю" - заведомо ложно, так как спящий человек не может высказать это суждение, а бодрствующий человек может высказать его, только сказав при этом ложь. n А вот утверждение "Я лгу" нельзя охарактеризовать ни как ложное, ни как истинное: признав его содержание истинным, мы убеждаемся, что оно ложно, если считать его ложным, то оно оказывается истинным. Порочный круг - налицо.

Парадокс "ЛЖЕЦ" n Среди эллинов сложилось мнение, что все жители острова Крит лгут. Истинность утверждения "Все критяне лжецы" не вызывала у афинян желания опровергнуть ее. Но когда в Афины прибыл известный критский мудрец Эпименид и высказал в народном собрании суждение "Да, все критяне - лжецы", афиняне с удивлением обнаружили, что они не правы. Нашелся критянин, который не лжет и который превратил истинное суждение "Все критяне - лжецы" в ложное. Но если признать ложным суждение "Все критяне - лжецы", то выясняется, что Эпименид, утверждавший, что оно истинно, все-таки сказал неправду, т. е. оказался лжецом. Мы возвращаемся в исходную точку нашего рассуждения.

Парадокс "БРАДОБРЕЙ" n Некий генерал, заботясь о том, чтобы в полку не было небритых солдат, издал приказ о выделении в полку одного солдата-брадобрея, у которого должны бриться все те солдаты, которые себя не бреют. У кого должен бриться этот солдат-брадобрей? n Приказ, по сути, делит всех солдат полка на два класса: 1) класс тех, кто бреется сам и) тех, кто не бреется сам. К какому классу отнести солдата-брадобрея? Если к первому, то он не должен бриться у брадобрея, т. е. у самого себя. Если его отнести ко второму классу - тех, кто не бреется сам, то он должен согласно приказу бриться у самого себя, т. е. бриться сам. Как видим, наш солдат не может себя ни побрить, ни не брить, не нарушая приказа генерала.

Парадокс "КАТАЛОГ НОРМАЛЬНЫХ КАТАЛОГОВ" n Каталоги бывают двух типов: а) каталоги, которые, перечисляя другие каталоги, не упоминают себя среди них - такие каталоги называются нормальными, б) каталоги, которые сами входят в число перечисляемых - они называются ненормальными. n Библиотекарю дано задание составить каталог всех нормальных каталогов. Должен ли он при составлении своего каталога нормальных каталогов упомянуть составленный им каталог? n Если он упомянет его, то составленный им каталог нормальных каталогов окажется ненормальным, так как будет сам входить в число перечисляемых каталогов. Следовательно, он не должен упоминать новый каталог. Но тогда получается, что он не выполнил задание: перечислил не все нормальные каталоги, поскольку составленный им каталог тоже является нормальным.

Вопрос n"Является ли "нет" правильным ответом nна этот вопрос? " n

Отношение логического следования n Отношением логического следования называется такая связь между высказываниями А 1, А 2, …Аn - посылками с одной стороны и высказыванием В - заключением с другой, при которой заключение В не может оказаться ложным, если все посылки А 1, А 2, …Аn являются истинными. n Это логическое отношение можно записать следующим образом: А 1, А 2, …Аn В, n где знак отношения логического следования между посылками и заключением.

Отношение логического следования n Отношение логического следования рефлексивно. Это означает, что каким бы по своему содержанию не было некоторое высказывание А, из А всегда логически следует А, т. е. (А А).

Отношение логического следования n Отношение логического следования также транзитивно: если А В и В С, то А С. Например, если вы поступили в институт (А), то вы являетесь студентом (В); если вы являетесь студентом (В), то вы должны за время обучения в институте сдать ряд экзаменов по строго определенным программой предметам (С). Таким образом, если Вы поступили в институт (А), то Вы должны сдать экзамены по предусмотренным программой предметам (С).

Отношение логического следования n Но отношение логического следования является несимметричным. Если А В, то вовсе не обязательно, чтобы В А. Например, если вы являетесь студентом вуза, то вы должны сдавать экзамены; но, если вы сдаете экзамены, то из этого логически не следует, что вы обязательно учитесь именно в вузе.

Что значит «значит» ? n Чтобы установить, является ли данное рассуждение последовательным необходимо прочитать его по схеме: "Если А, то В, тогда всегда, если не-В, то не-А". Эта схема имеет следующий чисто логический смысл: "Если из А логически следует В, то из не-В логически следует не-А". В результате получим следующее рассуждение: "Если мы будем читать слишком быстро, то ничего не поймем, тогда всегда, если мы все понимаем, то это означает, что мы читаем медленно"(? !). Вторая половина фразы вызывает у читателя естественное недоумение, поскольку отсутствие логического следования, которое недостаточно явно усматривалось при «прямом» прочтении исходной фразы, при прочтении её по предложенной схеме стало очевидным.

Правило контрапозиции n Если отношение логического следования отсутствует при "обратном прочтении", то оно не имеет места и в исходном рассуждении. Данное правило получило в логике название "правила контрапозиции" и является эффективным средством проверки последовательности рассуждений, состоящих из простых или элементарных высказываний.

Дедуктивное и индуктивное доказательство n Если логическая последовательность рассуждений в процессе доказывания истинности определенных высказываний восстановлена полностью, мы имеем дело дедуктивным доказательством или с собственно доказательством в узком смысле. А если последовательность рассуждений в процессе доказывания истинности определенных высказываний восстановлена не полностью, то мы имеем дело с индуктивным доказательством. Термины "дедукция", "дедуктивный" происходят от латинского слова "deductio" - выведение. В дедуктивных рассуждениях или умозаключениях из истинных посылок получаются только истинные следствия (заключения), т. е. истинность заключения в дедуктивных рассуждениях или умозаключениях носит необходимый характер.

Упражнение 1. n Используя правила контрапозиции, определите, имеет ли место отношение логического следования в следующих рассуждениях. n 1. Если произойдет короткое замыкание, то свет погаснет. n 2, Если человек есть только телесное существо, то смерть есть конец всего. (Л. Толстой)

Упражнение 2. n Постройте доказательство приведенного в книге Р. Смаллиана «принципа пьяницы» . n Существует один принцип, играющий важную роль в современной логике. Некоторые из моих аспирантов дали ему выразительное название «принцип пьяницы» . … Проблема состоит в следующем: существует ли в действительности такой человек, что если он пьет, то пьют все? Ответ на этот вопрос удивит многих из вас. n Вариант проблемы, двойственный принципу пьяницы: существует ли по крайней мере один человек, такой, что если кто-нибудь пьет, то пьет и он?

Решение n Да, существует такой человек, что если он пьет, то пьют все. Это следует, в конечном счете, из странного принципа, согласно которому из ложного утверждения следует любое утверждение. n Взглянем на проблему со следующей точки зрения. Утверждение о том, что все пьют, либо истинно, либо ложно. Предположим, что оно истинно. Выберем кого-нибудь и назовем его Джимом. Так как все пьют и Джим пьет, то верно, что если Джим пьет, то пьют все. Следовательно, существует, по крайней мере, один такой (а именно Джим) человек, что если он пьет, то пьют все. n Предположим теперь, что наше утверждение ложно, то есть не верно, что все пьют. Что тогда? В этом случае существует, по крайней мере, один человек (назовем его Джимом), который не пьет. Поскольку не верно, что Джим пьет, то верно, что е с л и Джим пьет, то пьют все. Следовательно, и в этом случае существует такой человек (а именно Джим), что если он пьет, то пьют все.

Решение n Перейдем теперь к «двойственному» принципу, согласно которому существует такой человек, что если ктонибудь вообще пьет, то он пьет. Иначе говоря, либо существует по крайней мере один человек, который пьет, либо не существует. Если ни одного пьющего не существует, то выберем любого и назовем его Джимом. Поскольку не верно, что кто-нибудь пьет, то верно, что е с л и кто-нибудь пьет, то Джим пьет. С другой стороны, если существует кто-нибудь пьющий, то возьмем любого пьющего и назовем его Джимом. Тогда верно, что если кто-нибудь пьет, и верно, что и Джим пьет. Следовательно, верно, что если кто-нибудь пьет, то Джим пьет. [1] n [1] Смаллиан Р. Как же называется эта книга, М. , 1981. С. 206.

Требования к тезису n Требование ясности и точности – тезис доказательства или опровержения должен быть ясно и точно сформулирован. n В этом требовании находит свое отражение логический закон тождества. Примерами не ясной формулировки тезисов могут служить высказывания типа: «эта книга плохая» или «эта одежда вам не идет» . Не трудно заметить, что смысл таких ключевых терминов как «плохая» и «не идет» совершенно не ясен. Но именно под формулировки такого рода тезисов можно подобрать массу весьма «убедительных» оснований. Чем менее ясно и точно выражена мысль в формулировке тезиса, тем больше неопределенности она предполагает.

n Требование неизменности – на протяжении всего процесса доказательства или опровержения содержание тезиса не должно изменяться. n Если это правило нарушается, то происходит то, что в логике называют «подменой тезиса» . То есть собирались доказать или опровергнуть одно, а на самом деле доказали, соответственно, опровергли другое. Так, например, один из научно-популярных журналов вышел со статьей под сенсационным заголовком «Снежный человек существует!» . Таков был тезис, доказательством которого должна была, по замыслу журнала, явиться данная статья. Действительный же вывод, к которому пришли весьма серьезные и уважаемые ученые, написавшие статью, гласил: «существование снежного человека не противоречит современным научным взглядам на эволюцию» , а значит «снежный человек возможно существует» . Последнее высказывание носит лишь вероятностный характер и не является тождественным исходному тезису, сформулированному в заголовке. Издатели журнала подменили тезис и вынесли в заголовок утверждение, которое отнюдь не разделяли авторы. Такова природа многих сенсаций.

Требования к основаниям n Требование истинности – в качестве оснований должны использоваться только истинные высказывания. Если данное требование не выполняется, то становится весьма затруднительным и практически невозможным установление отношения логического следования между основаниями как посылками и доказываемым или опровергаемым тезисом как заключением. n Требование независимости - истинность каждого из оснований не должна быть доказана ни с помощью других оснований, используемых в данном доказательстве или опровержении, ни с помощью доказываемого или опровергаемого тезиса. В противном случае получается «порочный круг» : оправдание истинности оснований пытаются найти в самих же основаниях или в еще недоказанном с их помощью тезисе, т. е. в еще не установленной с помощью доказательства, а следовательно, и с помощью этих же самых оснований, истинности тезиса.

n n Требование ясности и точности – высказывания, используемые в качестве оснований, должны быть ясно и точно сформулированы. При формулировке высказываний, выступающих в роли оснований доказательства или опровержения, следует использовать только те языковые выражения, смысл и значение которых известны тому, кому адресуется само доказательство или опровержение тезиса. В противном случае доказательство или опровержение хотя и может быть вполне логичным с точки зрения теории, но совершенно не убедительным на практике. Так в одной из телепередач, посвященной социальным проблемам современной России, известный ученый-историк высказал мнение, о связи многих проблем российской жизни с тем, что в характере русского человека преобладают черты аттрактивности (? ). Очевидно, далеко не каждому телезрителю и даже достаточно образованному человеку хорошо известно значение этого, не слишком часто употребляемого в разговорном языке, термина. Поэтому вряд ли этот аргумент позволил прояснить суть дела и убедить большинство людей в справедливости того взгляда на российскую жизнь, который предлагался им уважаемым ученым. А аттрактивность, как ее определяют толковые словари, это, оказывается, абстрактное влечение человека к идеям добра, справедливости и правды, при котором игнорируются конкретные реалии жизни. Аналогичным образом, средства, которыми мы пользуемся при коммуникации, обязательно должны применяться с учетом реальной ситуации, в которой она строится и, в частности, должны учитываться информационные возможности того, кого мы стремимся убедить в своей правоте.

Требования к основаниям Требование достаточности – совокупность высказываний, выступающих в качестве оснований, должна быть достаточной для доказательства или опровержения тезиса. n Например, преподаватель, листая свой журнал, где он фиксирует выполнение студентами контрольных заданий по логике, останавливается вдруг на фамилии одного из них и спрашивает, почему данный студент пропустил большую часть занятий. Не трудно заметить, что вопрос содержит в себе некоторый тезис, доказательство истинности которого не предвещает ничего хорошего студенту. Наиболее «логичный» выход в этой ситуации – не впадать в уныние и признаваться во всех совершенных и несовершенных грехах, а вежливо поинтересоваться его основаниями. А они состоят в том, что ряд контрольных заданий данного студента не поступил на проверку к преподавателю. Обычный же учет посещаемости не велся. Тогда наш студент может заявить, что он аккуратно присутствовал на всех занятиях, но, затрудняясь с выполнением заданий, не успевал их во время сдавать на проверку. Основания, использованные преподавателем, в данном случае являются не достаточными для доказательства того, что студент не посещал занятий, что может несколько смягчить участь нерадивого студента. n

Требования к основаниям n Требование непротиворечивости – высказывания, используемые в качестве оснований в доказательствах и в опровержениях не должны противоречить другу. n Появление противоречий в доказательстве приводит к его «разрушению» . Если базисный набор высказываний противоречив, то с такими «основаниями» можно доказать все, что угодно. Известное подтверждение правильности этого требования, принадлежащее выдающемуся логику и математику Бертрану Расселу, приводится во многих учебниках логики. Если это требование правильно, попросили Рассела, то докажите, например, что вы Папа Римский. Подумав некоторое время, Рассел предложил следующее доказательство: Если 2+2=4 и 2+2=5, то 4=5. Тогда, вычитая из левой и правой частей данного равенства одно и то же число 3, мы получим новое равенство 1=2. Рассел и римский Папа это два человека, но если 2=1, то это один человек. Следовательно, Рассел и Папа Римский есть одно и то же лицо. В данном случае выражение «следовательно» не фиксирует в действительности отношения логического следования, а лишь создает иллюзию такого отношения.

Требования к демонстрации n Основным требованием, предъявляемым к демонстрации, т. е. к способам или методам логического выведения тезиса из своих оснований, является требование о строгом соблюдении последовательности и правильности применения определенных логических правил, операций или «шагов алгоритма» самого доказательства или опровержения. Знакомство с этими правилами предполагает детальное рассмотрение форм и логических процедур различного вида доказательств и опровержений.

Упражнение 1. n Соблюдены ли правила доказательства (какие) в следующих рассуждениях: n У первого начала термодинамики было три автора: Майер, Джоуль и Гельмгольц. У второго — два автора: Карно и Клаузиус, а у третьего — всего один автор: Нернст. Следовательно, число авторов четвертого начала термодинамики должно равняться нулю, т. е. такого закона просто не может быть. Таким образом, Нернст завершил разработку фундаментальных законов термодинамики. n Так как некоторые студенты нашего факультета являются спортсменами, то, значит, некоторые учащиеся являются спортсменами. А так как все студенты нашего факультета являются учащимися, то, значит, и некоторые спортсмены являются учащимися.

Пример: n "Все предметы состоят из атомов и молекул, а логика как наука есть предмет, значит, она тоже состоит из атомов и молекул". n Данное рассуждение по форме соответствует прямому доказательству, но здесь имеет место явная подмена тезиса: слово "предмет" употреблено в разном значении, поэтому тезис "логика состоит из атомов и молекул" не следует с необходимостью из данных аргументов. n

Упражнение n Пополните информацию оснований доказательства таким образом, чтобы тезис оказался доказанным. n 1. Этот человек имеет право участвовать в выборах (поскольку по достижении совершеннолетия всякий дееспособный человек имеет право участвовать в выборах).