ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ Предикат это повествовательное предложение содержащее

ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ Предикат – это повествовательное предложение, содержащее предметные переменные, определенные на соответствующих множествах; при замене переменных конкретными элементами этих множеств предложение принимает значение «истинно» или «ложно» . Например: А – «Рубль – валюта России» - истинно; В – «Доллар – валюта России» - ложно; С – «Доллар – валюта США» - истинно. Р(х) – « х - валюта России » , одноместный предикат. Пусть хЄ { рубль, доллар, фунт стерлингов, евро }. Р(х, у) – « х – валюта у » , двухместный предикат. Пусть уЄ { Россия, Германия, Англия, США }.

. С помощью логических связок и скобок предикаты могут объединяться в различные логические – предикатные формулы. Исследование предикатных формул и способов установления их истинности является основным предметом логики предикатов.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ n – местный предикат – это функция Р(х1, х2, х3, …, хn) от n переменных, принимающих значение из заданных множеств, так что х1Є М 1, х 2Є М 2, . . , х nЄ Мn, а сама функция принимает два логических значения В = { И, Л} или В = {1, 0}. Множества Мi – называются предметными областями предиката. Тип функции Р: Мn В.

СООТВЕТСТВИЯ МЕЖДУ ПРЕДИКАТАМИ, ОТНОШЕНИЯМИ И ФУНКЦИЯМИ 1. Для любых М и n существует взаимно-однозначное соответствие между n-местными предикатами Р: Мn В и n-местными отношениями R ⊆ Мn : Всякий предикат Р определяет отношение R такое, что (а 1, а 2, …, аn)Є R тогда и только тогда, когда Р(а 1, а 2, …, аn)=1; Каждому n-местному отношению R соответствует предикат Р (х1, х2, …, хn) такой, что Р(а 1, а 2, …, аn) =1, тогда и только тогда, когда (а 1, а 2, …, аn)Є R.

2. Всякой функции F: Мn M соответствует предикат Р: Мn+1 B такой, что Р(а 1, а 2, …, аn, an+1)=1 тогда и только тогда, когда f(a 1, a 2, …, an)=an+1

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПРЕДИКАТЫ 1. Предикат тождества Е: N 2 B: Е(а 1, а 2)=1 ⇔ а 1 = а 2 2. Предикат порядка Q: N 2 B: Q(a 1, a 2)=1 ⇔ а 1 ≤ а 2 3. Предикат делимости D: N 2 B: D(a 1, a 2)=1 ⇔ а 1 делится на а 2 4. Предикат суммы S: N 3 B: S(a 1, a 2, a 3)=1 ⇔ а 1 + а 2 = а 3 5. Предикат произведения П: N 3 B: П(а 1, а 2, а 3)=1 ⇔ а 1 · а 2 = а 3

УПРАЖНЕНИЯ: 1. 2. 3. Проиллюстрировать на примере предиката делимости понятие переменного высказывания, истинного высказывания, ложного высказывания. Записать формулой логики предикатов свойство транзитивности отношения делимости целых чисел. Дать словесные формулировки следующих составных высказываний: (S(a, b, c)∧D(a, d)∧D(b, d)) D(c, d) (П(a, b, c)˄(D(a, 3)˅D(b, 3))→D(c, 9) S(a, b, c)= S(b, a, c)

5. Проиллюстрировать на примере предиката порядка понятия истинного, ложного и переменного высказывания. 6. Записать предикатной формулой предложение, которое выражает для произвольных a, b, c Є N : коммутативность умножения : ab=ba; ассоциативность сложения: (a+b)+c=a+(b+c); ассоциативность умножения (ab)c=a(bc); дистрибутивность слева умножения относительно сложения : a(b+c)=ab+ac; дистрибутивность справа умножения относительно сложения: (a+b)c=ac+bc; транзитивность равенства: a=b, b=c → a=c.