Логика предикатов Модуль 2 Суждения Определение предиката

Логика предикатов Модуль 2. Суждения

Определение предиката n-местным предикатом, определенным на множествах М 1, М 2, …, Мn, называется предложение, содержащее переменные x 1, x 2, …, xn, превращающееся в высказывание при подстановке вместо этих переменных любых конкретных элементов из множеств М 1, М 2, …, Мn. Обозначение: P(x 1, x 2, …, xn). Примеры: P(x): «Река x впадает в озеро Байкал» . Пусть x – Селенга, тогда: «Река Селенга впадает в озеро Байкал» - ИСТИНА; Пусть x – Миасс, тогда «Река Миасс впадает в озеро Байкал» - ЛОЖЬ. P(x, y): , R Пусть x=1, y=2, тогда ? Пусть x=5, y=2, тогда ? .

Классификация предикатов n Тождественно-истинные предикаты – предикаты, которые при любых подстановках вместо переменных конкретных элементов из соответствующих множеств превращаются в истинные высказывания. n Тождественно-ложные предикаты - предикаты, которые при любых подстановках вместо переменных конкретных элементов из соответствующих множеств превращаются в ложные высказывания. n Выполнимые предикаты – такие предикаты, для которых существует, по меньшей мере, один набор конкретных элементов из соответствующих множеств, при подстановке которого вместо соответствующих переменных в предикат, он превращается в истинное высказывание. n Опровержимые предикаты – такие предикаты, для которых существует, по меньшей мере, один набор конкретных элементов из соответствующих множеств, при подстановке которого вместо соответствующих переменных в предикат, он превращается в ложное высказывание.

Множество истинности предиката Множеством истинности предиката P(x 1, x 2, …, xn), заданного на множествах М 1, М 2, …, Мn, называется совокупность всех упорядоченных n-систем (кортежей) a 1, a 2, …, an , в которых элемент a 1 берётся из множества M 1, элемент a 2 берётся из множества M 2, …, элемент an берётся из множества Mn, таких, что данный предикат превращается в истинное высказывание. Обозначение: P+ y Пример: P(x, y): x 2+y 2 ≤ 9, 3 R 0 P+={(x, y)/ x 2+y 2 ≤ 9}, 3 x

Логические операции над предикатами Над предикатами можно выполнять те же логические операции, которые выполняются над высказываниями: ¬, &, ۷, ~ , כ Отрицанием n-местного предиката P(x 1, x 2, …, xn), определённого на множествах М 1, М 2, …, Мn, называется новый предикат, определённый на тех же множествах, обозначаемый P(x 1, x 2, …, xn), который превращается в истинное высказывание при всех тех значениях переменных, при которых исходный предикат превращается в ложное высказывание. Пример: P(x): x≤ 5 ¬ P(x): x>5

Конъюнкция предикатов Конъюнкцией двух предикатов P(x 1, x 2, …, xn), определённого на множествах М 1, М 2, …, Мn и Q(y 1, y 2, …, ym), определённого на множествах N 1, N 2, …, Nm называется новый (n+m)местный предикат, определённый на множествах М 1, М 2, …, Мn, , N 1, N 2, …, Nm, обозначаемый P(x 1, x 2, …, xn)&Q(y 1, y 2, …, ym), который превращается в истинное высказывание при всех тех и только тех значениях переменных, при которых оба исходных предиката превращаются в истинные высказывания. y (P(x)&Q(y))+ Пример. P(x): Q(y): P(x)&Q(y): , R 0 1 x

Дизъюнкция предикатов Дизъюнкцией двух предикатов P(x 1, x 2, …, xn), определённого на множествах М 1, М 2, …, Мn и Q(y 1, y 2, …, ym), определённого на множествах N 1, N 2, …, Nm называется новый (n+m)-местный предикат, определённый на множествах М 1, М 2, …, Мn, , N 1, N 2, …, Nm, обозначаемый P(x 1, x 2, …, xn)⋁Q(y 1, y 2, …, ym), который превращается в истинное высказывание при всех тех и только тех значениях переменных, при которых хотя бы один исходный предикат превращается в истинное высказывание. y (P(x)۷(y))+ Пример. P(x): Q(y): P(x)۷Q(y): 0 1 2 x

Импликация предикатов Импликацией двух предикатов P(x 1, x 2, …, xn), определённого на множествах М 1, М 2, …, Мn и Q(y 1, y 2, …, ym), определённого на множествах N 1, N 2, …, Nm называется новый (n+m)-местный предикат, определённый на множествах М 1, М 2, …, Мn, , N 1, N 2, …, Nm, обозначаемый P(x 1, x 2, …, xn) כ Q(y 1, y 2, …, ym) такой, что для любых элементов a 1 из множества M 1, a 2 из множества M 2, …, an из множества Mn, b 1 из множества N 1, b 2 из множества N 2, …, bm из множества Nm, высказывание P(a 1, a 2, …, an) כ Q(b 1, b 2, …, bm) является импликацией высказываний P(a 1, a 2, …, an) и Q(b 1, b 2, …, bm).

Эквиваленция предикатов Эквиваленцией двух предикатов P(x 1, x 2, …, xn), определённого на множествах М 1, М 2, …, Мn и Q(y 1, y 2, …, ym), определённого на множествах N 1, N 2, …, Nm называется новый (n+m)-местный предикат, определённый на множествах М 1, М 2, …, Мn, , N 1, N 2, …, Nm, обозначаемый P(x 1, x 2, …, xn)~Q(y 1, y 2, …, ym) такой, что для любых элементов a 1 из множества M 1, a 2 из множества M 2, …, an из множества Mn, b 1 из множества N 1, b 2 из множества N 2, …, bm из множества Nm, высказывание P(a 1, a 2, …, an) כ Q(b 1, b 2, …, bm) является эквиваленцией высказываний P(a 1, a 2, …, an) и Q(b 1, b 2, …, bm).

Импликация предикатов Импликацией двух предикатов P(x 1, x 2, …, xn), определённого на множествах М 1, М 2, …, Мn и Q(y 1, y 2, …, ym), определённого на множествах N 1, N 2, …, Nm называется новый (n+m)-местный предикат, определённый на множествах М 1, М 2, …, Мn, , N 1, N 2, …, Nm, обозначаемый P(x 1, x 2, …, xn) כ Q(y 1, y 2, …, ym) такой, что для любых элементов a 1 из множества M 1, a 2 из множества M 2, …, an из множества Mn, b 1 из множества N 1, b 2 из множества N 2, …, bm из множества Nm, высказывание P(a 1, a 2, …, an) כ Q(b 1, b 2, …, bm) является импликацией высказываний P(a 1, a 2, …, an) и Q(b 1, b 2, …, bm).

Квантор общности Операцией связывания квантором общности называется правило, по которому каждому одноместному предикату P(x), определённому на множестве M сопоставляется высказывание (читается: «для любого x выполняется P(x)» ; «всякий x, такой что P(x)» ), которое истинно в том и только том случае, когда P(x) – тождественноистинный предикат. При этом переменная x называется связанной квантором общности. Пример. P(x): 1≤x, N - тождественно-истинный предикат; Q(x): x делит 30, N - опровержимый предикат. : «Всякое натуральное число 1» - ИСТИНА; : «Всякое натуральное число делит 30» - ЛОЖЬ.

Квантор существования Операцией связывания квантором существования называется правило, по которому каждому одноместному предикату P(x), определённому на множестве M сопоставляется высказывание (читается: «существует x, такой что P(x)» ), которое ложно в том и только том случае, когда P(x) – тождественно-ложный предикат. При этом переменная x называется связанной квантором существования. Пример. P(x): x=x+1, N - тождественно-ложный предикат; Q(x): x делит 30, N - опровержимый предикат. : «Существует такое натуральное число, которое в сумме с единицей даёт себя» - ЛОЖЬ; : «Существует такое натуральное число, которое делит 30» - ИСТИНА.

Алфавит логики высказываний n x, y, z, xi, yi, zi (iЄR) - предметные переменные, т. е n n n n переменные допустимые значения которых являются объекты предметной области; P, Q, R – нульместные предикатные переменные; P(…) – n-местная предикатная переменная; &, , ~, – логические связки; , - символы кванторов; ( – левая скобка; ) – правая скобка; , - запятая

Формулы логики предикатов 1. 2. 3. 4. 5. 6. Каждая нульместная предикатная переменная – есть формула Если P(…) - n-местная предикатная переменная, а x 1, x 2, …xn – предметные переменные, не обязательно различные, то P(x 1, x 2, …xn) формула. Такая формула называется атомарной. В атомарных формулах все предметные переменные свободны, связанных нет. Если Ф – формула, то ¬Ф тоже формула , причем, если переменная x – свободна (связанна) в Ф, то она свободна (связанна) и в Ф. Если Ф 1 и Ф 2 – формулы, то Ф 1&Ф 2, Ф 1⋁Ф 2, Ф 1~Ф 2, Ф 2 כ Ф 1, Ф 1~Ф 2 являются формулами. Если Ф – формула, x – предметная переменная, входящая в эту формулу свободно, то и являются формулами, в которых переменная x является связанной. Никакие другие объекты не являются формулами исчисления предикатов, кроме тех, которые ими являются согласно пунктам 1 -5 данного определения.

Классификация суждений n Общеутвердительные суждения: n Читается: «все… являются…» . n Частноутвердительные суждения: n Читается: «некоторые… являются…» n Общеотрицательные суждения: n Читается: «все… не являются…» или «никакой … не является…» n Частноотрицательные суждения: n Читается: «некоторые … не являются…»

Классификация формул логики предикатов n Выполнимые формулы логики предикатов. Формула логики предикатов называется выполнимой на множестве М, если при некоторой подстановке вместо предикатных переменных конкретных предикатов, заданных на этом множестве, она превращается в выполнимый предикат. n Опровержимые формулы логики предикатов. Формула логики предикатов называется опровержимой на множестве М, если при некоторой подстановке вместо предикатных переменных конкретных предикатов, заданных на этом множестве, она превращается в опровержимый предикат.

Классификация формул логики предикатов Тождественно-истинные формулы логики предикатов: n. Формула логики предикатов называется тождественно истинной на множестве M, если при всякой подстановке вместо предикатных переменных любых конкретных предикатов, заданных на этом множестве, она превращается в тождественно-истинный предикат. n. Формула логики предикатов называется тождественно истинной, общезначимой или тавтологией, если при всякой подстановке вместо предикатных переменных любых конкретных предикатов, заданных на каких угодно множествах, она превращается в тождественно-истинный предикат.

Классификация формул логики предикатов Тождественно-ложные формулы логики предикатов. n. Формула логики предикатов называется тождественно- ложной на множестве M, если при всякой подстановке вместо предикатных переменных любых конкретных предикатов, заданных на этом множестве, она превращается в тождественно-ложный предикат. n. Формула логики предикатов называется тождественно- ложной или противоречивой, если при всякой подстановке вместо предикатных переменных любых конкретных предикатов, заданных на каких угодно множествах, она превращается в тождественно-ложный предикат.

Тавтологии логики предикатов Теорема. Всякая формула, получающаяся из тавтологии логики высказываний заменой входящих в неё пропозициональных переменных произвольными предикатными переменными, является тавтологией логики предикатов. Пример:

Тавтологии логики предикатов n Законы де Моргана для кванторов: n Законы выражения кванторов друг через друга (являются следствием законов де Моргана и закона снятия двойного отрицания):

Тавтологии логики предикатов n Законы пронесения кванторов через конъюнкцию и дизъюнкцию: n Закон удаления квантора общности: n Закон введения квантора существования: n Законы коммутативности для кванторов:

Применение законов де Моргана для кванторов Пусть необходимо преобразовать суждение: «Не верно, что всякий грех может быть прощён» . В этом суждении имеет место предикат P(x): «Грех x может быть прощён» , определённый на множестве всех грехов. Перепишем суждение в виде формулы логики предикатов: По первому закону де Моргана эта формула эквивалентна формуле: Следовательно, исходное суждение можно сформулировать так: «Существуют грехи, которые не могут быть прощены» или «Некоторые грехи не могут быть прощены» .