Логика предикатов Лекция 8 Преобразование формул логики

Логика предикатов Лекция 8

Преобразование формул логики предикатов l l l Принцип логического вывода. Тождественные преобразования формул логики предикатов. Универсум Эрбрана.

Принцип логического вывода При логическом выводе задача формулируется в виде теоремы Ф 0 → F, где Ф 0 – посылки, а F – следствие. Доказательство теоремы в логике предикатов заключается в следующем: Показать, что каждая интерпретация, удовлетворяющая Ф 0 удовлетворяет и F, или, что то же самое, доказать, что объединение невыполнимо. Указанную процедуру называют логическим выводом, так как она устанавливает отношение следования между конъюнкцией посылок и заключением. ¡

Теоремы и правила ¡ Теорема дедукции: если из множества формул Г и формулы A следует формула B, следовательно из одного множества Г следует A B:

¡ Правило сведения к абсурду: если из множества посылок Г и посылки A выводится противоречие, то из одних посылок Г выводимо :

Тождественные преобразования формул логики предикатов ¡ ¡ Над предикатом вводят логическую операцию, инверсия предиката – предикат, множество истинности которого является инверсией исходного множества. Конъюнкция предиката – предикат, у которого множество истинности является пресечением множеств истинности исходных множеств. Дизъюнкция предиката – предикат, у которого множество истинности является объединением множеств истинности исходных множеств. Аналогично вводятся понятия импликации, эквиваленции и т. д.

¡ ¡ ¡ При проверке отношения следования между конъюнкцией посылок и заключением в логике предикатов все формулы во множестве Ф 1 записываются в виде дизъюнкции литералов. Литера, литерал – любая элементарная формула или её отрицание. Формула, представляющая собой дизъюнкцию литералов называется предложением или дизъюнктом (клауза).

¡ Основные равносильности логики предикатов:

Если имеется несколько кванторов, тогда нужно слева направо каждый квантор поменять на двойственный ему квантор и произвести инверсию предиката. ¡ На конечном множестве квантор можно заменить конъюнкцией, а квантор - на дизъюнкцию. ¡

¡ ¡ ¡ Все кванторы могут быть перенесены в начало формулы. Такая формула называется предварённой. Если в формуле отсутствуют символы импликации и эквиваленции, то такую формулу называют приведенной. Производят замену:

¡ Проводят стандартизацию переменных: в области действия кванторов связанные переменные можно заменить любой переменной, не совпадающей с какой-либо другой переменной, входящей в область действия этих кванторов. ¡ x F(x, y) x G(x) = z F(z, y) x G(x) ¡ Такое переименование переменных, при котором каждый квантор имеет собственную переменную, отличную от других, называется стандартизацией переменных.

¡ ¡ ¡ При представлении формул логики предикатов в виде множества дизъюнктов исключаются кванторы существования. x y P(x, y) Квантор существования находится внутри области действия квантора общности, поэтому y зависит от x и можно записать y = g(x) x y P(x, g(x)) Такая функция называется функцией Сколема.

¡ ¡ ¡ Если квантор существования находится в области действия двух кванторов общности, то функция Сколема будет зависеть от 2 переменных. Если квантор существования не находится в действии ни одного квантора общности, то функция Сколема является константой. x. F(x) = F(a), где a – const Процесс исключения кванторов существования называется сколемизацией.

¡ ¡ После исключения квантора существования и стандартизации переменных формула содержит кванторы общности, каждый из которых имеет свою переменную. Поэтому кванторы общности можно перенести в начало формулы и областью их действия будет вся формула. Так как все формулы замкнуты и порядок следования кванторов общности не существенен, то эти кванторы можно в явном виде не указывать. Далее формула приводится к КНФ.

Универсум Эрбрана ¡ ¡ ¡ Нужно доказать невыполнимость Ф 1 = Ф 0 F. Это означает, что не существует интерпретации, которая ему удовлетворяет. Утверждение: Если Ф 1 невыполнимо в некоторой области Н(Ф 1) (универсум Эрбрана), то оно невыполнимо в любой области. Н(Ф 1) определяется следующим образом: Множество всех предметных констант упомянутых в Ф 1 принадлежат Н(Ф 1). Если некоторые термы принадлежат Ф 1, то и функции от этих термов принадлежат Н(Ф 1). Никакие другие термы не принадлежат универсуму Эрбрана.

¡ ¡ Таким образом, универсум Эрбрана составляет множество константных термов, т. е. термов, не содержащих предметных переменных. В общем случае Н(Ф 1) является бесконечным, но счётным множеством, т. е. его можно пронумеровать. Ф 1 = {P(x) Q(a) P(f(x)), Q(b) P(g(x, y))} Н(Ф 1) = a, b, f(a), f(b), g(a, a), g(b, b), … , g(a, b), g(b, a), f(f(a)), f(f(b)), …

¡ Выражение, полученное при подстановке в произвольную формулу константных термов, называют её константным частным случаем. Используя константные частные случаи можно получить семантическое дерево, в котором каждое ребро соответствует истинности или ложности константного частного случая.