Скачать презентацию Логика предикатов Лекция 7 Синтаксис и семантика Скачать презентацию Логика предикатов Лекция 7 Синтаксис и семантика

Lec_7.ppt

  • Количество слайдов: 17

Логика предикатов Лекция 7 Логика предикатов Лекция 7

Синтаксис и семантика языка логики предикатов ¡ ¡ Понятие предиката. Кванторы и связанные переменные. Синтаксис и семантика языка логики предикатов ¡ ¡ Понятие предиката. Кванторы и связанные переменные. Синтаксис языка логики предикатов. Формулы логики предикатов и формализация суждений. Семантика формул логики предикатов.

Понятие предиката ¡ Предикат (от лат. «сказуемое» ) P(X 1, X 2, . . Понятие предиката ¡ Предикат (от лат. «сказуемое» ) P(X 1, X 2, . . . Xn) – функция, переменные которой принимают значения из некоторого произвольного множества М или множеств, возможно и бесконечных, а сама функция принимает 2 значения: «истина» или «ложь» . P(X 1, X 2, … Xn): Mn. B, B: {0, 1}

¡ ¡ ¡ Предикат – это отображение n-степенного произвольного множества в бинарное множество B, ¡ ¡ ¡ Предикат – это отображение n-степенного произвольного множества в бинарное множество B, элементы которого истина или ложь. Переменные называются предметными или пропозициональными. Таким образом, понятие предиката является расширением понятия логическая функция. Предикат от n переменных называется nместным предикатом. Вместо предметных переменных в предикат могут быть подставлены определенные значения из предметной области М, то есть константы. Также в предикат могут быть подставлены некоторые n-местные функции: f(x 1, x 2, . . . xn): Mn. M

¡ ¡ Обозначения: предикатные символы: F, G, H, P, Q, . . . предметные ¡ ¡ Обозначения: предикатные символы: F, G, H, P, Q, . . . предметные переменные: x, y, z, v, w, . . . Высказывание – нульместный предикат, одноместный предикат – свойство, nместный предикат – n-местное отношение. Предикат на конечных множествах может быть задан соответствующей таблицей.

Пример: ¡ ¡ P(x, y) «x<y» Мх ={1, 2, 3} Му ={2, 4} М Пример: ¡ ¡ P(x, y) «x

Кванторы и связанные переменные ¡ Все формулы логики высказывания являются частными случаями логики предикатов. Кванторы и связанные переменные ¡ Все формулы логики высказывания являются частными случаями логики предикатов. Все операции логики высказывания переносятся в логику предикатов для связывания предметных букв.

¡ ¡ ¡ x обладают свойствами F(X), где – квантор общности, – квантор существования. ¡ ¡ ¡ x обладают свойствами F(X), где – квантор общности, – квантор существования. Квантор общности и квантор существования называются двойственными. Если переменная связана квантором, то она называется связанной, иначе – свободной. x F(x, y), здесь x – связанная переменная, y – свободная переменная.

Отрицание предложений с квантором Отрицание предложений с квантором

Синтаксис языка логики предикатов. Формулы логики предикатов и формализация суждений. ¡ ¡ При определении Синтаксис языка логики предикатов. Формулы логики предикатов и формализация суждений. ¡ ¡ При определении формулы используется понятие «терм» . Терм – объединение понятий переменных и функции, к которым применяются предикатные буквы. Всякая предметная переменная или константа – терм. Если f – n-местная функция, а t 1, t 2, . . . tn – терм, то fn(t 1, t 2, . . . tn) – тоже терм. Никакие другие выражения не являются термами.

Пример: f 3(a, x, g 2(x, y)) ¡ Понятие элементарная формула: ¡ Всякая пропозициональная Пример: f 3(a, x, g 2(x, y)) ¡ Понятие элементарная формула: ¡ Всякая пропозициональная буква – элементарная формула. ¡ Пропозициональное выражение – это выражение с неопределенными переменными, при выборе конкретных значений которых выражение преобразуется в истинное или ложное высказывание. ¡

¡ ¡ Если F – n-местный предикат, t 1, t 2, . . . ¡ ¡ Если F – n-местный предикат, t 1, t 2, . . . tn – термы, то Fn(t 1, t 2, . . . tn) – элементарная формула. Никакие другие выражения не являются элементарными формулами. Введем понятие формула: Всякая элементарная формула – это формула. Если F и - формулы, а х – предметная переменная, которая входит в F, то x F(x), , F , F являются формулами.

¡ Примеры: ¡ P 2(a, f 1(x)) – формула ¡ Q 1(x, g 2(x, ¡ Примеры: ¡ P 2(a, f 1(x)) – формула ¡ Q 1(x, g 2(x, b)) – не формула ¡ P 2(y, Q 1(z)) – не формула ¡ f 1(g 2(x, y)) – не формула, а терм ¡ F 2(a, y) Q 1(b) – формула

Семантика формул логики предикатов ¡ ¡ Формула имеет семантику, то есть определенный смысл, и Семантика формул логики предикатов ¡ ¡ Формула имеет семантику, то есть определенный смысл, и обозначает определенное высказывание, если существует ее некоторая интерпретация. Интерпретировать формулу – значит связать с ней определенное непустое множество, т. е. конкретизировать предметную область (область интерпретации), а также указать соответствие: l l l Каждой предметной константе в формуле – конкретный элемент из множества М. Каждой n-местной функциональной букве в формуле – конкретную n-местную функцию на множестве М. Каждой n-местной предикатной букве – конкретное отношение между n элементами на М.

Пример ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ G 2(f(a, b)), g 2(a, b) Пусть М Пример ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ G 2(f(a, b)), g 2(a, b) Пусть М – множество натуральных чисел a=2 b=3 f – сложение (a+b) g – умножение (a b) G – отношение «не меньше» ( ) 2+3 2 3 – ложное высказывание Если a = 1, b = 2 – высказывание истинное. Не существует ни одной интерпретации G, при которой эта формула и истина и ложна. «x 2+y 2 2 xy»

Общезначимость, выполнимость, и невыполнимость ¡ ¡ Формула без свободных переменных называется замкнутой. Для данной Общезначимость, выполнимость, и невыполнимость ¡ ¡ Формула без свободных переменных называется замкнутой. Для данной интерпретации всякая замкнутая формула представляет собой высказывание, которое истинно или ложно. А всякая формула со свободными переменными выражает некоторое отношение на области интерпретации, которое может быть истинно для одних значений переменных и ложна для других значений.

¡ ¡ Если формула истинна при всех интерпретациях, то она общезначима: Если формула ложна ¡ ¡ Если формула истинна при всех интерпретациях, то она общезначима: Если формула ложна при любых интерпретациях, то она невыполнима: Формула выполнима, если существует интерпретация, в которой она выполнима. ¡ Логика предикатов II порядка – логика, использующая кванторы по предикатным буквам. ¡