ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ 1 Основные понятия связанные

ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ

§ 1. Основные понятия, связанные с предикатами

Определение. Определенным на множествах М 1, М 2, . . . , Мn nместным предикатом называется предложение, содержащее n переменных x 1, x 2, …, xn, превращающееся в высказывание при подстановке вместо этих переменных любых конкретных элементов из множеств М 1, М 2, . . . , Мn соответственно. (лат. praedicatum - логическое сказуемое). Для n-местного предиката будем использовать обозначение P(x 1, Переменные x 1, x 2, …, xn). называют предметными, а элементы множеств М 1, М 2, . . . , Мn , которые эти переменные пробегают, — конкретными предметами. Всякий n-местный предикат P(x 1, x 2, …, xn)), определенный на множествах М 1, М 2, . . . , Мn, представляет собой функцию n аргументов, заданную на указанных множествах и принимающую значения в множестве всех высказываний. Поэтому предикат называют также функциейвысказыванием.

Примеры предикатов: Р 1(x): = "x - простое число", P 2(6, y): ="y меньше 6", P 3(x, y, z): = "студент x университета y, обучающийся по специальности z. Примеры не предикатов: x+y, "x - простое число? ",

Еще один подход к понятию предиката. Предикат P(x 1, x 2, …, xn), определенный на множествах М 1, М 2, . . . , Мn превращается в конкретное высказывание P(a 1, a 2, …, an), если вместо предметных переменных x 1, x 2, …, xn подставить в него конкретные предметы (элементы a 1, a 2, …, an) из множеств М 1, М 2, . . . , Мn соответственно. Это высказывание может быть либо истинным, либо ложным, т. е. его логическое значение равно 1 или 0. Следовательно, данный предикат определяет функцию n аргументов, заданную на множествах М 1, М 2, . . . , Мn и принимающую значение в двухэлементном множестве {0, 1}. Иногда эту функцию и называют предикатом.

Определение. Предикат P(x 1, x 2, …, xn), заданный на множествах М 1, М 2, . . . , Мn , называется: а) тождественно истинным, если при любой подстановке вместо переменных x 1, x 2, …, xn любых конкретных предметов a 1, a 2, …, an из множеств М 1, М 2, . . . , Мn соответственно он превращается в истинное высказывание P(a 1, a 2, …, an), б) тождественно ложным, если при любой подстановке вместо переменных x 1, x 2, …, xn любых конкретных предметов из множеств М 1, М 2, . . . , Мn соответственно он превращается в ложное высказывание; в) выполнимым (опровержимым), если существует по меньшей мере один набор конкретных предметов a 1, a 2, …, an из множеств М 1, М 2, . . . , Мn соответственно, при подстановке которых вместо соответствующих предметных переменных в предикат P(x 1, x 2, …, xn) последний превратится в истинное (ложное) высказывание P(a 1, a 2, …, an)

Приведем примеры предикат Предикат опровержимой в R. является тождественно истинным в R. , как известно, является тождественно ложным в N. является одновременно выполнимой и

Определение. Множеством истинности предиката P(x 1, x 2, …, xn), заданного на множествах М 1, М 2, . . . , Мn, называется совокупность всех упорядоченных n-систем (a 1, a 2, …, an), в которых a 1 М 1 , a 2 М 2 , …, a n Мn таких, что данный предикат обращается в истинное высказывание P(a 1, a 2, …, an), при подстановке x 1=a 1, …, х n = an. Это множество будем обозначать Р+. Таким образом, Р+ = {(a 1, a 2, …, an ) : P(a 1, a 2, …, an) = 1}. P(x): =“x – сталица России. ”, где М – множество всех городов. Р+ = {Москва} P(x): =“ 2 x=3” где М=N. Р+ =

• Равносильность и следование предикатов. Определение. Два n-местных предиката P(x 1, x 2, …, xn) и Q (x 1, x 2, …, xn) , заданных над одними и теми же множествами М 1, М 2, . . . , Мn называются равносильными, если набор предметов (элементов) a 1 М 1 , a 2 М 2 , …, a n Мn превращает первый предикат в истинное высказывание P(a 1, a 2, …, an) в том и только в том случае, когда этот набор предметов превращает второй предикат в истинное высказывание Q(a 1, a 2, …, an). Другими словами (на языке множеств истинности), предикаты P(x 1, x 2, …, xn) и Q(a 1, a 2, …, an) равносильны тогда и только тогда, когда их множества истинности совпадают: Р+ = Q+. Утверждение о равносильности двух предикатов Р и Q символически будем записывать так: P Q

Это понятие очень важно для школьной математики, потому что изучаемые в ней уравнения и неравенства представляют собой частные виды предикатов. Решение уравнения и неравенства есть поиск их множеств истинности. При таком поиске мы проделываем над уравнением и неравенством различные преобразования, и здесь важно, чтобы эти преобразования были равносильными, т. е. чтобы найденное множество оказалось бы множеством истинности именно исходного уравнения или неравенства. Аналогична ситуация при решении систем уравнений или неравенств. пример. Пусть требуется решить уравнение (найти множество истинности предиката): 4 х - 2 = -Зх - 9. Преобразуем его равносильным образом: 4 х - 2 = -Зх - 9 4 х+ Зх = -9+2 х = -1. Ответ: {-1} — - множество всех решений данного уравнения (множество истинности данного предиката).

Определение. Предикат Q (x 1, x 2, …, xn), заданный над множествами М 1, М 2, . . . , Мn, называется следствием P(x 1, x 2, …, xn), заданного над теми же множествами, если он превращается в истинное высказывание на всех тех наборах значении предметных переменных из соответствующих множеств, на которых в истинное высказывание превращается предикат P(x 1, x 2, …, xn) Другими словами (на языке множеств истинности), предикат Q (x 1, x 2, …, xn) следует из предиката P(a 1, a 2, …, an) тогда и только тогда, когда : Р+ Q+. Утверждение о равносильности двух предикатов Р и Q символически будем записывать так. Q P

Теорема. Каждые два тождественно истинных (тождественно ложных) предиката, заданных на одних и тех же множествах равносильны. Обратно, всякий предикат, равносильный тождественно истинному (тождественно ложному) предикату, сам является тождественно истинным (тождественно ложным) предикатом. Теорема. Каждый тождественно истинный n-местный предикат является следствием любого другого nместного предиката определенного на тех же множествах.

§. Логические операции над предикатами

Определение. Отрицанием n-местного предиката P(x 1, x 2, …, xn), определенного на множествах М 1, М 2, . . . , Мn , называется новый n-местный предикат, определенный на тех же множествах, обозначаемый P(x 1, x 2, …, xn) (читается: «неверно, что P(x 1, x 2, …, xn), который превращается в истинное высказывание при всех тех и только тех значениях предметных переменных, при которых исходное высказывание превращается в ложное высказывание. Пример. H(x): = “ x 3”. H(x): =“ x>3 “

Определение. Конъюнкцией n-местного предиката P(x 1, x 2, …, xn), определенного на множествах М 1, М 2, . . . , Мn и mместного предиката Q (y 1, y 2, …, ym), определенного на множествах N 1, N 2, . . . , Nm , называется новый (n+ т)-местный предикат, определенный на множествах М 1, М 2, . . . , Мn , N 1, N 2, . . . , Nm , обозначаемый P(x 1, x 2, …, xn) Q (y 1, y 2, …, ym) (читается «P(x 1, x 2, …, xn) и Q (y 1, y 2, …, ym) » ), который превращается в истинное высказывание при всех тех и только тех значениях предметных переменных, при которых оба исходных предиката превращаются в истинные высказывания. Например, конъюнкцией двух одноместных предикатов «х> -3» и «х< 3» , определенных на R, будет одноместный предикат «(х> -3) (х < 3)» , записываемый короче в виде: «-3 < х < 3» , Конъюнкцией двух одноместных предикатов «х = 0» и «у = 0» , заданных на R, является двухместный предикат «(х = 0) (у = 0)» , заданный на R 2

Операцию конъюнкции можно применять к предикатам, имеющим общие переменные. В этом случае число переменных в новом предикате равно числу n+ т - к, где n — число переменных первого предиката, т — число переменных второго предиката, к — число переменных общих для обоих предикатов. Более того, если оба предиката определены на одних и тех же множествах и зависят от одних и тех же переменных, то для них справедлива следующая теорема. Теорема. Для п-местных предикатов P(x 1, x 2, …, xn) и Q (x 1, x 2, …, xn), определенных на множествах М 1, М 2, . . . , Мn , множество истинности конъюнкции P(x 1, x 2, …, xn) Q (x 1, x 2, …, xn) совпадает с пересечением множеств истинности исходных предикатов: (Р Q) + = P+ Q+. P+ P+ Q+

Определение. Дизъюнкцией n-местного предиката P(x 1, x 2, …, xn), определенного на множествах М 1, М 2, . . . , Мn и mместного предиката Q (y 1, y 2, …, ym), определенного на множествах N 1, N 2, . . . , Nm , называется новый (n+ т)-местный предикат, определенный на множествах М 1, М 2, . . . , Мn , N 1, N 2, . . . , Nm , обозначаемый P(x 1, x 2, …, xn) Q (y 1, y 2, …, ym) (читается «P(x 1, x 2, …, xn) или Q (y 1, y 2, …, ym) » ), который превращается в истинное высказывание при всех тех и только тех значениях предметных переменных, при которых в истинное высказывание превращается по меньшей мере один из исходных предикатов. Например, дизъюнкцией двух одноместных предикатов «х> -3» и «х< 3» , определенных на R, будет одноместный предикат «(х> -3) (х < 3)» . Дизъюнкцией двух одноместных предикатов «х = 0» и «у = 0» , заданных на R, является двухместный предикат «(х = 0) (у = 0)» , заданный на R 2

. Теорема. Для n-местных предикатов P(x 1, x 2, …, xn) и Q (x 1, x 2, …, xn), определенных на множествах М 1, М 2, . . . , Мn , множество истинности дизъюнкции P(x 1, x 2, …, xn) Q (x 1, x 2, …, xn) совпадает с объединением множеств истинности исходных предикатов: (Р Q) + = P+ Q+

Импликация и эквивалентность двух предикатов. Импликация P(x 1, x 2, …, xn) Q (y 1, y 2, …, ym) определяется как такой предикат, что для любых предметов а 1 М 1, а 2 М 2, . . . , аn Мn и b 1 N 1, b 2 N 2, . . . , bm Nm высказывание P(a 1, a 2, …, an) Q (b 1, b 2, …, bm) является импликацией высказываний P(a 1, a 2, …, an) и Q (b 1, b 2, …, bm). Аналогично определяется эквивалентность двух предикатов.

Кванторные операции над предикатами Определение. Операцией связывания квантором общности называется правило, по которому каждому одноместному предикату Р(х), определенному на множестве М, сопоставляется высказывание, обозначаемое ( x)(P(x)) (читается: «для всякого [значения] х Р(х) [истинное высказывание]» ), которое истинно в том и только том случае, когда предикат Р(х) тождественно истинен, и ложно в противном случае. При чтении высказывания ( x)(P(x)) слова в квадратных скобках могут опускаться. Пример. Пусть задан предикат Р(х): = « x является натуральным числом» , в множество Z. Тогда ( x)(P(x)) – ложное высказывание

Определение. Операцией связывания квантором общности по переменной х1 называется правило, по которому каждому n-местного (n 2) предикату P(x 1, x 2, …, xn), определенному на множествах М 1, …, Мn, ставится в соответствие новый (n-1)-местный предикат, обозначаемый ( x 1) P(x 1, x 2, …, xn)) (читается: «для всех x 1 P(x 1, x 2, …, xn)» ), который для любых предметов а 2 М 2, . . . , аn Мn превращается в высказывание ( x 1) P(x 1, a 2, …, an)) , истинное в том и только в том случае, когда одноместный предикат P(x 1, a 2, …, an), определенный на множестве М 1, тождественно истинен, и ложное в противном случае. пример

Определение. Операцией связывания квантором существования называется правило, по которому каждому одноместному предикату Р(х), определенному на множестве М, сопоставляется высказывание, обозначаемое ( x)(P(x)) (читается: «существует [значение] х такое, что Р(х) [истинное высказывание]» ), которое ложно в том и только том случае, когда предикат Р(х) тождественно ложен, и истинно в противном случае. При чтении высказывания ( x)(P(x)) слова в квадратных скобках могут опускаться. Пример. Пусть задан предикат Р(х): = « x является натуральным числом» , в множество Z. Тогда ( x)(P(x)) – истинное высказывание

Определение. Операцией связывания квантором существования по переменной х1 называется правило, по которому каждому n-местного (n 2) предикату P(x 1, x 2, …, xn), определенному на множествах М 1, …, Мn, ставится в соответствие новый (n-1)-местный предикат, обозначаемый ( x 1) P(x 1, x 2, …, xn)) (читается: «существует такой x 1, что P(x 1, x 2, …, xn)» ), который для любых предметов а 2 М 2, . . . , аn Мn превращается в высказывание ( x 1) P(x 1, a 2, …, an)) , ложное в том и только в том случае, когда одноместный предикат P(x 1, a 2, …, an), определенный на множестве М 1, тождественно ложен, и истинное в противном случае. пример

• Численные кванторы. • В математике часто встречаются выражения вида • «по меньшей мере n» ( «хотя бы n» ), • «не более чем n» , • «n и только n» ( «ровно n» , «точно n» ), где n — натуральное число. Эти выражения называют численными кванторами.

Рассмотрим ряд случаев. 1) n = 1. Предложение «По меньшей мере один объект обладает свойством Р» имеет тот же смысл, что и предложение «Существует объект, обладающий свойством Р» , т. е. ( x)(P(x)) предложение «Не более чем один объект обладает свойством Р» равнозначно по смыслу предложению «Если есть объекты, обладающие свойством Р, то они совпадают» , т. е ( x)( y)[P(x) P(y) x=y] предложение «Один и только один объект обладает свойством Р» равнозначно конъюнкции предыдущих высказываний ): ( x)(P(x)) ( x)( y)[P(x) P(y) x=y]

n = 2. Предложение «По меньшей мере два объекта обладают свойством Р» означает то же, что и предложение «Существуют два различных объекта, обладающих свойством Р» , т. е. ( x)( y)(P(x) P(y) x y)

Замечание. Кванторы в явном виде впервые были введены немецким математиком Готлобом Фреге в работе «Begriffsschrift» ( «Исчисление понятий» , 1879). В 1885 г. английский логик Чарльз Пирс ввел термины «квантор» , «квантификация» , происшедшие соответственно от лат. quantun — «сколько» и лат. quantun лacio — «делать» . Это означает, что квантор показывает, о скольких (всех или некоторых) объектах говорится в том или ином предложении. Символику для кванторов в виде перевернутых латинских букв ввел итальянский математик Дж. Пеано в 90 -е гг. XIX в. После использования кванторов математиками Пеано, Шредером, Расселом они стали широко использоваться. ФРЕГЕ (Frege) Готлоб (18481925), немецкий логик, математик и философ, основоположник логицизма. Дал первую аксиоматику логики высказываний и предикатов, построил первую систему формализованной арифметики. Один из основоположников логической семантики.

• Понятие формулы логики предикатов. Зададим алфавит символов, из которых будут составляться формулы: предметные переменные: х, у, z, …; нуль-местные предикатные переменные: P, Q, R, …; n-местные (n > 1) предикатные переменные: Р(·, . . . , ·), Q( ·, . . . , ·), R(· , . . . , · ), . . . с указанием числа свободных мест в них; символы логических операций: , , , , ; кванторы: ; ; вспомогательные символы: ( , ) — скобки; , — запятая.

Определение (формулы логики предикатов). 1) Каждая нуль-местная предикатная переменная есть формула; 2) Если Р( , . . . , ) — n-местная предикатная переменная, то Р(х1, . . . , хn) есть формула, в которой все предметные переменные х1, . . . , хn свободны; 3) Если F — формула, то F — также формула. Свободные (связанные) предметные переменные в формуле F те и только те, которые являются свободными (связанными) в F; 4) Если F 1, F 2 — формулы и если предметные переменные, входящие одновременно в обе эти формулы, свободны в каждой из них, то выражения ( F 1 F 2 ), (F 1 F 2 ) также являются формулами. При этом предметные переменные, свободные (связанные) хотя бы в одной из формул F 1, F 2 называются свободными (связанными) и в новых формулах; 5) Если F — формула и х — предметная переменная, входящая в F свободно, то выражения ( x)(F) и ( x)(F) также являются формулами, в которых переменная х связанная, а все остальные предметные переменные, входящие в формулу F свободно или связанно, остаются и в новых формулах соответственно такими же; 6) Никаких других формул логики предикатов, кроме получающихся согласно пп. 1 — 5, нет.

Формулы, определенные в п. 1 и п. 2, называются элементарными (или атомарными). Формулы, не являющиеся элементарными, называются составными. Например, Р, Q(x, у, z), R(x 1, x 2) — элементарные формулы ( у)(Р(х, у, z)) — составная формула, предметная переменная у связана, а переменные х, z — свободные. ( х)( у)(Р(х, у, z)) — составная формула, предметные переменные х и у связаные, а переменная z — свободная. ((( x)(P(x)) Q) ( y)(R(x, y) – не формула , первое вхождение переменной х связано, а второе — свободно. Переменная у связана (заменив связанную переменную х какой-нибудь буквой, не входящей в данную формулу): ((( z)(P(z)) Q) ( y)(R(x, y) Формулы, в которых нет свободных предметных переменных, называются замкнутыми, а формулы, содержащие свободные предметные переменные, — открытыми.

Классификация формул логики предикатов. Если в формулу логики предикатов вместо каждой предикатной переменной подставить конкретный предикат, определенный на некотором выбранном множестве М, то формула превратится в конкретный предикат, заданный над множеством М. При этом, если исходная формула была замкнутой, то полученный конкретный предикат окажется нульместным, т. е. будет высказыванием. Если же исходная формула была открытой, т. е. содержала свободные вхождения предметных переменных, то в результате подстановки получим предикат, зависящий от некоторых предметных переменных. Если теперь подставить вместо этих предметных переменных конкретные предметы из множества M, то полученный предикат, а следовательно, и исходная формула превратятся в конкретное высказывание. Превращение формулы логики предикатов в высказывание описанным выше способом (а также само получаемое высказывание) называется интерпретацией этой формулы на множестве М. пример

Определение. Формула логики предикатов называется выполнимой (опровержимой) на множестве М, если при некоторой подстановке вместо предикатных переменных конкретных предикатов, заданных на этом множестве, она превращается в выполнимый (опровержимый) предикат. Другими словами, формула выполнима (опровержима) на М , если существует истинная (ложная) ее интерпретация на М. Определение. Формула логики предикатов называется тождественно истинной (тождественно ложной) на множестве М, если при всякой подстановке вместо предикатных переменных конкретных предикатов, заданных на этом множестве, она превращается в тождественно истинный (тождественно ложный) предикат. Определение 21. 6. Формула логики предикатов называется общезначимой, или тавтологией (тождественно ложной или противоречием), если при всякой подстановке вместо предикатных переменных конкретных предикатов, заданных на каких угодно множествах, она превращается в тождественно истинный (тождественно ложный) предикат.

Определение. Две формулы F и H логики предикатов называются равносильными на множестве М, если при любой подстановке в эти формулы вместо предикатных переменных любых конкретных предикатов, определенных на М, формулы превращаются в равносильные предикаты. Если две формулы равносильны на любых множествах, то их будем называть просто равносильными. Равносильность формул будем обозначать так: F H. Теорема. Формулы F и H равносильны тогда и только тогда, когда формула F H является тавтологией.

Теорема. Всякая формула алгебры предикатов, получающаяся из тавтологии алгебры высказываний заменой входящих в нее пропозициональных переменных произвольными предикатными переменными, является тавтологией логики предикатов. Из теоремы следует, что все основные равносильности алгебры высказываний имеют место и в алгебре предикатов!!!

а) ( x)(P(x)) ( x)( P(x)); б) ( x)(P(x)) ( x)( P(x)); в) ( x)(P(x) Q(x)) ( x)(P(x) ) ( x)(Q(x) ); г) ( x)(P(x) Q(x)) ( x)(P(x) ) ( x)(Q(x) ); д) H ( x)(P(x)) ( x)( H (P(x) ); е) H ( x)(P(x)) ( x)( H (P(x) ); ж) H ( x)(P(x)) ( x)( H (P(x) ); з) H ( x)(P(x)) ( x)( H (P(x) ); и) H ( x)(P(x)) ( x)( H (P(x) ); к) H ( x)(P(x)) ( x)( H (P(x) ); л) ( x)(P(x)) H ( x)(P(x) H); м) ( x)(P(x)) H ( x)(P(x) H); Здесь формула H не содержит переменной x.

Заметим 1. ( x)(P(x) Q(x)) ( x)(P(x) ) ( x)(Q(x) ); Заметим 2, что если в формуле связанную переменную заменить на любую другую переменную, не входящую в формулу, то получится формула равносильная данной.

Докажем, что ( x)(P(x)) ( x)( P(x)) Доказательство. Для доказательства равносильности нужно убедиться, что при любой интерпретации обе формулы одновременно истинны или одновременно ложны. Данные формулы замкнуты, т. е. не имеют свободных предметных переменных. Поэтому, подставив в эти формулы вместо предикатной переменной Р(х) любой конкретный одноместный предикат А(х), определенный на некотором множестве М получим высказывания: ( x)(А(x)) и ( x)( А(x)). Высказывание ( x)(А(x)) истинно тогда и только тогда, когда высказывание ( x)(А(x)) ложно, что возможно тогда и только тогда, когда предикат А(х) опровержим. Опровержимость предиката А(х) означает выполнимость его отрицания А(x) (обдумайте это!), что равносильно истинности высказывания ( x)( А(x)). Итак, высказывание ( x)(А(x)) истинно тогда и только тогда, когда истинно высказывание ( x)( А(x)). □

Докажем, что ( x)(P(x) Q(x)) ( x)(P(x) ) ( x)(Q(x) ). Доказательство. Подставим вместо предикатных переменных Р(х) и Q(x) конкретные предикаты А(х) и В(х), определенные на некотором множестве М. Формулы превратятся в высказывания: ( x)(А(x) В(x)) , ( x)(А(x) ) ( x)(В(x) ). Высказывание ( x)(А(x) В(x)) истинно тогда и только тогда, когда предикат А(х) В(х) тождественно истинен, что возможно в том и только в том случае, когда оба предиката А(х) и В(х) тождественно истинны. Тождественная истинность предикатов А(х) и В(х) равносильна истинности высказываний ( x)(А(x)) и ( x)(В(x)) соответственно, что равносильно истинности их конъюнкции ( x)(А(x) ) ( x)(В(x) ). Итак, левая и правая части равносильности одновременно истинны и одновременно ложны.

Приведенная форма для формул логики предикатов. Определение. Приведенной формой для формулы логики предикатов называется такая равносильная ей формула, в которой из операций алгебры высказываний имеются только операции , , , причем знаки отрицания относятся лишь к предикатным переменным и к высказываниям. Теорема. Для каждой формулы логики предикатов существует приведенная форма.

Предваренная нормальная форма для формул логики предикатов Определение. Предваренной нормальной формой для формулы логики предикатов называется такая ее приведенная форма, в которой все кванторы стоят в ее начале, а область действия каждого из них распространяется до конца формулы, т. е. это формула вида (К 1 x 1). . . (Ктхт) (F(x 1. . . , х n)) где Кi, есть один из кванторов или , причем формула F не содержит кванторов и является приведенной формулой. (Заметим, что кванторы в формуле могут отсутствовать вовсе. )

Теорема. Для каждой формулы логики предикатов существует предваренная нормальная форма.

§ 3. Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул

Проблема разрешимости для формул логики предикатов: существует ли единый алгоритм, позволяющий для каждой формулы логики предикатов определить, будет ли она выполнимой или общезначимой? Ответ отрицательный: - общего такого алгоритма не существует. Это было доказано в 1936 г. американским математиком А. Чёрчем. Тем не менее для некоторых частных видов формул данная проблема допускает решение. В настоящем параграфе покажем, как решается проблема разрешения для некоторых типов формул.

Решение проблемы для формул на конечных множествах. Если формула логики предикатов рассматривается на конечном множестве, то вместо ее предикатных переменных могут подставляться конкретные предикаты, определенные на этом конечном множестве. Ввиду того что операции квантификации на конечном множестве сводятся к конъюнкции и дизъюнкции, задача о выполнимости и общезначимости формулы логики предикатов на конечном множестве сводится к задаче о выполнимости или общезначимости некоторой формулы алгебры высказываний. Последняя задача, как мы знаем, эффективно разрешима.

Пример формулы, выполнимой на бесконечном множестве и невыполнимой ни на каком конечном множестве. Наличие такой формулы позволит сделать, в частности, следующий вывод относительно проблемы разрешения для выполнимости формул логики предикатов: по выполнимости формулы на некотором множестве нельзя судить о выполнимости этой формулы на его подмножествах.

Вот пример такой формулы

Эта замкнутая формула превращается в истинное высказывание, если в нее вместо предикатной переменной Р(х, у) подставить, например, двухместный предикат «х < у» , определенный на Nx N, где N— множество всех натуральных чисел, т. е. Покажем, что эта формула не выполнима ни на каком конечном множестве. Допустим противное, т. е. предположим, что существует конкретный предикат А(х, у), определенный на конечном Множестве М, такой, что высказывание

( x)( y)(А(x, y)) ( x)( А(x, x)) ( x)( y) ( z)[(А(x, y) А(y, z)) А(x, z)]. Истино Тогда истинным высказыванием будет и каждый член этой конъюнкции. В частности, истинно высказывание ( x)( y)(А(x, y)). Возьмем элемент а 1 М. Тогда из истинности последнего высказывания следует вывод: существует такой элемент а 2 М, что высказывание А(а 1, а 2) истинно. Далее, аналогично существует такой а 3 М, что истинно высказывание А{а 2, а 3), и т. д. Поскольку множество М конечно, то не все элементы а 1, а 2, а 3, . . . попарно различны. Пусть ар = a p+q (q > 0). Тогда из истинности высказываний А(ар, ар+1), А(ар+1, ар+2), . . . ; A(a p+q-1, a p + g) в силу истинности высказывания (третий член истинной конъюнкции ) ( x)( y) ( z)[(А(x, y) А(y, z)) А(x, z)] заключаем, что истинно высказывание А(ар, а р+д), т. е. высказывание А(ар, ар). Но это противоречит истинности высказывания (второй член истинной конъюнкции ) ( x)( А(x, x)). Полученное противоречие доказывает, что никакой конкретный предикат, определенный на конечном множестве, не может превратить данную формулу в истинное высказывание, т. е. данная формула невыполнима ни на каком конечном множестве.