Логика — одна из самых древних наук Как

Логика - одна из самых древних наук. Как самостоятельная наука логика оформилась в трудах греческого ученого Аристотеля (384– 322 г. до н. э. ) и стала впоследствии называться формальной или Аристотелевой логикой. Математическая логика возникла на стыке двух наук: традиционной или философской логики и математики. Идея построения логики на математической основе была впервые выдвинута Лейбницем (1646 – 1716). Окончательно как раздел математики математическая логика сформировалась в работах Д. Буля (1815 – 1864), Г. Фреге (1848 – 1925), Б. Рассела (1872 – 1970), Д. Гильберта (1862 – 1943).

Математическая логика есть логика по предмету, математика по методу. Логика, в отличие от математики (изучающей количественные отношения и пространственные формы) изучает не количественные отношения между объектами. Вопросы математики: «сколько? » , «как далеко? » , «как долго? » и т. д. (т. е. вопросы о количественных отношениях). Вопросы логики: «что это значит? » . «есть ли противоречие в этом суждении? » , «каковы основания этого доказательства? » и т. д. (т. е. вопросы о неколичественных отношениях). Основными объектами математической логики являются высказывания и логические процедуры, поскольку все научные знания и процессы управления формулируются как последовательность утвердительных повествовательных предложений (т. е. высказываний субъектно-предикатной структуры).

Поэтому логика как наука должна содержать список правил получения правильных высказываний. Такой набор правил, умозаключений называется списком силлогизмов. Для силлогизмов используется символическая запись вида: P 1, P 2, . . . , Pn D Основная задача логики – отделение правильных схем рассуждения от неправильных и систематизации первых. При этом истинность и правильность мышления суть различных объектов: истинность характеризует рассуждение в его отношении к действительности; правильность характеризует рассуждение в его отношении к законам и правилам логики.

Правильность рассуждения (умозаключения, вывода, доказательства) зависит только от его формы и не зависит от конкретного содержания. «Бармаглот» «Варкалось. Хливкие шорьки Пырялись по наве. И хрюкотали зелюки, Как мюмзюки в мове…» (Льюис Кэррол «Алиса в зазеркалье» )

Логика называется: классической (двузначной), если |M|=2 (например М={0, 1} или М={И, Л}); неклассической (многозначной), если |M|>2; бесконечнозначной, если |M|=N (это т. н. счетнозначные логики) или |M|=D (это т. н. контенуальнозначные логики); вероятностной, если истинностные значения М представляются вероятностями (степенями правдоподобия высказываний); темпоральной (временной), если элементы М зависят от времени; модальной, если алфавит ее языка включает связки, интерпретируемые как “возможно, что…”

Классическая логика, как наука о правильных умозаключениях, основывается на следующих четырех законах: Закон тождества (Аристотель): ╞ A A (знак ╞ придумал американский логик С. К. Клини в 1956 г. и читается он как «истинно, что …» ) Закон непротиворечия (Аристотель): ╞ (A&ØA) (╞ следует читать как «ложно, что…» ). Закон исключения третьего (Аристотель): ╞ (AVØA). Закон достаточного основания (Лейбниц): «Никакое высказывание не может быть принято, если оно не является следствием, полученным в ходе применения силлогизмов из ранее принятых утверждений или строго установленных фактов, выраженных также в форме высказываний» .

Парадокс Рассела. (Задача о брадобрее) Примечание. Множество всех множеств принадлежит себе как элемент. А, например, множество {1, 2} не принадлежит себе как элемент, т. к. в этом множестве лишь два элемента: « 1» и « 2» .

Математическая логика используется при решении трех групп задач. Во-первых, это формулировка логических рассуждений с помощью специальных символов и изучение этих рассуждений с использованием математического аппарата. Во-вторых, это построение формальных теорий (исчислений) для различных математических объектов на основе аксиоматического метода. В-третьих, это применение аппарата математической логики к различным областям практической деятельности. В настоящее время математическая логика с успехом применяется в радиотехнике, лингвистике, теории автоматического управления, программировании, системах искусственного интеллекта. При этом умозаключения в логике делятся на дедуктивные и индуктивные.

Дедукция – переход от общего к частному по правилам логического вывода, позволяющим получить из истинных посылок (известных знаний) истинное заключение (новое знание, т. е. выводное знание). Индукция – переход от частного к общему. В отличие от дедуктивных рассуждений (построений) индукция не гарантирует истинного заключения при истинности посылок. Принято дедуктивную логику называть достоверной, а индуктивную логику – правдоподобной (проблематичной). Основными разделами математической логики являются: логика высказываний, логика предикатов, построение формальных аксиоматических теорий (исчисления), металогика.

ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ Определение. Высказыванием называется повествовательное языковое предложение, относительно которого можно сказать истинно оно или ложно. Отрицанием высказывания А называется высказывание ØА, которое истинно тогда и только тогда, когда высказывание А ложно. Чтобы составить отрицание А достаточно в разговорном языке сказать “неверно, что А”. Конъюнкцией двух высказываний А и B называется высказывание А&B, истинное тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания А и B. В разговорной речи конъюнкции соответствует союз “и”. Пример. А = “Треугольник прямоугольный”. B = “Треугольник равнобедренный”. А&B = “Треугольник прямоугольный и равнобедренный”.

Дизъюнкцией двух высказываний А и B называется высказывание А V B, ложное тогда и только тогда, когда ложны оба высказывания А и B. В разговорной речи конъюнкции соответствует союз “или”. Пример. А = “Иванов юрист”. B = “Иванов экономист”. АVB = “Иванов юрист или экономист”. Эквивалентностью двух высказываний А и B называется высказывание А B, истинное тогда и только тогда, когда оба высказывания А и B одновременно истинны или ложны. Говорят, что А эквивалентно B или A имеет место тогда и только тогда, когда имеет место B. Пример. А = “Треугольник равнобедренный”. B = “В треугольнике углы при основании равны”. А B = “Треугольник является равнобедренным тогда и только тогда, когда углы при основании равны”.

Импликацией двух высказываний А и B называется высказывание А Þ B, ложное тогда и только тогда, когда А истинно, а B ложно. Импликации соответствуют следующие выражения разговорной речи: “А влечет за собой B”; или “из А следует B”; или “если А, то B”. Истинность импликации означает лишь то, что, если истинна посылка, то истинно и заключение. При ложной посылке заключение всегда истинно. Пример. Рассмотрим четыре высказывания: A = “Дважды два четыре” = И; B = “Дважды два пять” = Л; C = “Снег белый” = И; D – “Снег черный” = Л. Образуем четыре импликации: АÞ C = “Если дважды два четыре, то снег белый” = ИÞ И = И; BÞ C = “Если дважды два пять, то снег белый” = ЛÞ И = И; АÞ D = “Если дважды два четыре, то снег черный” = ИÞ Л = Л; BÞ D = “Если дважды два пять, то снег черный” = ЛÞ Л = И.

Формулы логики высказываний. Равносильность формул Определение. Формула логики высказываний определяется индуктивно следующим образом: 1. Любая высказывательная (пропозициональная) переменная, а также константы И, Л есть формула. 2. Если A и B – формулы, то ØА, AVB, A&B, АÞB, А B есть формулы. 3. Ничто, кроме указанного в пунктах 1 – 2, не есть формула. Две формулы называются равносильными, если на всех одинаковых наборах переменных значения этих формул совпадают. Равносильность формул A и B будем обозначать: A º B.

Для любых формул A, B, C справедливы следующие равносильности: 1. Коммутативность. а) A&B º B&A (для конъюнкции); б) AVB º BVA (для дизъюнкции). 2. Ассоциативность. а) A&(B&C) º (A&C)&C (для конъюнкции); б) AV(BVC) º (AVB)VC (для дизъюнкции). 3. Дистрибутивность. а) A&(BVC) º A&BVA&C (для конъюнкции относительно дизъюнкции); б) AV(B&C) º (AVB)&(AVC) (для дизъюнкции относительно конъюнкции). 4. Закон де Моргана. а) Ø(A&B) ºØAVØB (отрицание конъюнкции есть дизъюнкция отрицаний); б) Ø(AVB) º ØA&ØB (отрицание дизъюнкции есть конъюнкция отрицаний).

5. Идемпотентность. а) A&A º A (для конъюнкции); б) AVA º A (для дизъюнкции). 6. Поглощение. а) A&(AVB) º A (1– ый закон поглощения); б) AVA&B º A (2– ой закон поглощения). 7. Расщепление (склеивание). а) A&B V A&(ØB) º A (1–ый закон расщепления); б) (AVB) & (AVØB) º A (2–ой закон расщепления). 8. Двойное отрицание. Ø(ØA) º A. 9. Свойства констант. а)A&И º A; б) A&Л º Л; в)AVИ º И; г) AVЛ º A; д) ØЛº И; е) ØИº Л. 10. Закон противоречия. A&ØA º Л. 11. Закон “исключенного третьего”. AVØA º И. 12. AÞB º AVB º (A& B). 13. A B º (AÞB)&(BÞA) º (A&B) V (ØA&ØB) º (АVØB)&(ØAVB).

Справедливы также обобщенные законы дистрибутивности и обобщенные законы де Моргана: 14. (A 1 VA 2 V. . . VAn)&(B 1 VB 2 V. . . VBm) º ºA 1&B 1 VA 1&B 2 V. . . VA 1&Bm. V. . . VAn&B 1 VAn&B 2 V. . . VAn&Bm. 15. (A 1&A 2&. . . &An)V(B 1&B 2&. . . &Bm) º º(A 1 VB 1)&(A 1 VB 2)&. . &(A 1 VBm)&. . &(An. VB 1)&(An. VB 2)&. . &(An. VBm). 16. Ø(A 1&A 2&. . . &An) ºØA 1 VØA 2 V. . . VØAn. 17. Ø(A 1 VA 2 V. . . VAn) ºØA 1&ØA 2&. . . &ØAn В равносильностях 1 – 17 в качестве A, B, Ai, Bi могут быть подставлены любые формулы и, в частности, переменные.

Пример. Доказать равносильность формул логики высказываний: (АÞ B) & (A V B) º B. Преобразуем левую часть, последовательно используя равносильности 12, 14, 10, 5 а, 9 г, 6 б: (АÞB) & (A V B) ºØА V B) & (A V B) ºØА&A V ØА&B V B&А V B&Bº ØА&B V B&А V B º B. Равносильность доказана.

Запись сложного высказывания в виде формулы логики высказываний Пример. A = "Будет холодное лето". B = "Будет дождливое лето". C = "Будет засушливое лето". D = "Будет хороший урожай". Формула (A&B V C) Þ ØD соответствует сложному высказыванию: ''Если будет холодное и дождливое или засушливое лето, урожай будет плохим". Всякая теорема имеет вид импликации: АÞB (прямая теорема); B ÞА (обратная теорема); ØB Þ ØА (противоположная теорема). Пример. A = “Треугольник прямоугольный”. B = “Квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон” А Þ B (прямая теорема) = “Если треугольник прямоугольный, то квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон”. B Þ А (обратная теорема) = “Если квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный”. ØB Þ Ø А (противоположная теорема) = “Если квадрат одной стороны не равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник не прямоугольный”.

Равносильность А Þ B º ØB Þ ØА есть основание метода доказательства от противного. Например, для доказательства теоремы: “Если треугольник равнобедренный, то углы при основании равны” (А Þ B) достаточно доказать теорему: “Если углы при основании не равны, то треугольник не равнобедренный” (ØB Þ ØА). Используя равносильные преобразования, можно получать различные формулировки одного и того же суждения, а также отрицаний суждений.

Определение логической функции. Пусть М - множество функций f(x 1. . . хn), переменные которых xi (i = 1, n) определены на множестве Е 2 (1, 0), для которых f( 1, . . . n) ∈ Е 2, если i ∈ E 2. Функции из множества М есть функции алгебры логики, или Булевы функции. Среди переменных логической функции есть существенные переменные и фиктивные. Функция f (x 1, . . . хi-1, xi+1, . . . хп) существенно зависит от переменной xi , если найдутся два набора а- =(а 1. . . ai-1, 0, ai+1, . . . an) и а+=(а 1. . . ai-1, 1, ai+1, . . . an) такие, что f(a-) ≠ f(a+). В этом случае переменная xi является существенной переменной и фиктивной в противном случае. Если переменная xi - фиктивная, то функцию f от n переменных можно свести к равной ей функции g от (n-1)-й переменной. Для этого нужно в таблице функции f вычеркнуть все строки, где xi=l (или xi=0) и столбец, соответствующий переменной xi.

Выпишем все функции от двух переменных. Очевидно, введенные ранее связки , , →, ( ) есть соответственно функции f 8, f 14, f 11, f 9. В качестве связок используются и другие функции, в частности f 7 - штрих Шеффера x 1|х2, f 1 - знак Лукашевича х1↓х2 (стрелка Пирсона), f 6 - разделительная дизъюнкция x 1 vx 2, соответствующая разделительному союзу "или".

Система связок логики высказываний называется полной, если всякая формула логики высказываний равносильна некоторой формуле, содержащей лишь связки этой системы. Используя формулы, равносильные импликации и двойной импликации, получим, что дизъюнкция, конъюнкция, отрицание образуют полную систему связок. Используя закон де Моргана, приходим к тому, что ( , ) и ( , ) - полные системы связок. В самом деле, из трех связок , , можно исключить дизъюнкцию: A В = ( А В) или конъюнкцию: А В = ( A В). Более того, любую формулу алгебры высказываний можно записать одной связкой - штрихом Шеффера.