Логика Известная старинная задача Крестьянину нужно перевести через

Логика Известная старинная задача: Крестьянину нужно перевести через реку волка, козла и капусту. Лодка так мала, что в ней кроме крестьянина может поместиться только один. Но, если оставить волка с козлом, то волк его съест, если оставить козла с капустой, то будет съедена капуста. Как быть крестьянину?

Переправу нужно начать с перевозки козла. Затем крестьянин возвращается и берет волка, которого перевозит на другой берег и там оставляет, но везет обратно на первый берег козла. Здесь он его оставляет и перевозит к волку капусту. А затем, возвращаясь, перевозит козла.

А лгебра - раздел математики, который развивает общую теорию алгебраических операций и является обобщением и расширением арифметики. Слово «алгебра» происходит от арабского «аль-джабр» — восполнение, воссоединение, связь, завершение; часть названия трактата аль-Хорезми «аль-Китаб аль-Джебр валь-Мукабала» (араб. , ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻠﺔ англ. Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala) перев. «Книга о восполнении и противопоставлении» ) В этом трактате содержатся общие приёмы для решения задач, сводящихся к алгебраическим уравнениям I и II степеней. При этом, для приведения квадратного уравнения общего вида к каноническому виду аль-Хорезми вводит два действия: - аль-джебр - перенесение отрицательного члена из одной части в другую для получения в обеих частях положительных членов; - валь-мукабала — приведение подобных членов в обеих частях уравнения. Предметом изучения современной алгебры являются множества с заданными на них алгебраическими операциями.

Алгебра - изучение алгебраических операций логические величины числа Булева алгебра Обычная алгебра логики Джорж Буль 1854 г Простое высказывание Логические значения: истина - И - 1 - T (true) ложь - Л - 0 - F (false) – nil(пусто)

George Boole (1815 -1864) 1854 г. : Булева алгебра - раздел математической логики, изучающий высказывания и операции над ними. Наиболее известными операциями булевой алгебры являются: конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность, отрицание

сложное (составное) высказывание: НЕ, И, ИЛИ, ЕСЛИ … ТО Отрица ние НЕ Конъюнкция (логическое умножение) И • Дизъюнкци я (логическое Имплика ция Эквивале нция: сложение) ИЛИ + Если x, то y (x тогда и только тогда, когда y) x y x ( x) x y (x y) x y 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1

ПРИМЕНЕНИЕ Переключательная схема Электронные схемы ИЛИ И Диаграммы Венна (алгебра множеств) A B

Логические операции A B НЕ A И ИЛИ XOR = 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 XOR – сложение по модулю 2 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10 1 1=0 (исключающее ИЛИ, неэквивалентность)

Варианты обозначения основных логических операций: Дизъюнкция ИЛИ Конъюнкция И Отрицание НЕ |, || + or and &, && * ~ not ! max min inv Варианты обозначения логических значений: Истина И 1 T True Ложь Л 0 F False - Любое значение Х + T nil

законы алгебры логики: Коммутативность x y = y x Конъюнкции x y = y x Дизъюнкции Ассоциативность x (y z)=(x y) z Конъюнкции x (y z)=(x y) z Дизъюнкции Дистрибутивность x ( y z ) = ( x y ) ( x z ) Конъюн. от-но дизъюнк. x ( y z ) = ( x y ) ( x z ) Дизъюн. от-но конъюнк.

Аксиомы алгебры логики Идемпотентность x x…x x = x Конъюнкции x x…x x = x Дизъюнкции Инволютивность x =x Снятие двойного отрицания Дополнительность x x = F Закон противоречия x x = Т Закон исключенного третьего Свойства констант x T=T x F=x x F=F x T = x

Законы де-Моргана ( x y ) = x y Законы Блейка-Порецкого x ( x y)=x y Законы поглощения x (y x) =x Конъюнкции дизъюнкцией x (y x) =x Дизъюнкции конъюнкцией Законы склеивания ( x y ) = y x=>y = x y Импликация через дизъюнкцию x<=>y = (x=>y) (y=>x) Эквиваленция через импликацию

Часть законов проверяется через таблицы истинности, например, закон де-Моргана для дизъюнкции: ( A B ) = A B 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 A B A B 0 0 1 1 1 (A B) A B Другие проверяются прямым вычиcлением, при этом удобно перейти к “арифметическому” набору обозначения логических операций: + * ~ Проверим закон склеивания для дизъюнкции: ( x y ) = (x+y)(~x+y)=x~x+y~x+xy+yy= =0+y(~x+x)+y=y*1+y=y

Диаграммы Венна (алгебра множеств) A B ( A B ) = A B

Обобщенные унарные и бинарные логические операции (функции) Функция Знак gn(1) gn(0) g 0 – ложь 0 0 0 g 1 – отрицание 0 1 g 2 – тождество = 1 0 g 3 – истина 1 1 1

Функция Знак Fn(1, 1) Fn(1, 0) Fn(0, 1) Fn(0, 0) F 0 – ложь 0 0 0 0 1 1 0 0 F 5 – инверсия y 0 1 F 6 – сумма по модулю 2, исключающее ИЛИ, неэквивалентность 0 1 1 0 0 1 1 1 F 1 – стрелка Пирса (ф-я Даггера, ф-я Вебба, отрицание дизъюнкции, ИЛИ-НЕ) F 2 – инверсия импликации y к x nor __ <= F 3 – инверсия х, F 4 – инверсия импликации х к y F 7 – штрих Шеффера, отрицание конъюнкции, И-НЕ __ => NEQV xor ^ | ‘ nand

Функция Знак Fn(1, 1) Fn(1, 0) F 8 – конъюнкция, И & && and * Min 1 0 0 0 F 9 – эквиваленция <=> EQV ~ 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 F 10 – y F 11 – импликация от x к y => F 12 – x Fn(0, 1) Fn(0, 0) F 13 – импликация от y к x <= 1 1 0 1 F 14 – дизъюнкция, ИЛИ | || or + max 1 1 0 1 1 F 15 – истина

Алгебра логики послужила основным математическим инструментом при создании компьютеров. Она легко преобразуется в битовую логику: истинность высказывания обозначается одним битом (0 — ЛОЖЬ, 1 — ИСТИНА); тогда операция приобретает смысл вычитания из единицы; — немодульного сложения; & — умножения; <=> — равенства; — в буквальном смысле сложения по модулю 2 (исключающее Или — XOR); | — непревосходства суммы над 1 (то есть A B = (A + B) <= 1).

Штрих Шеффера: x y = (x y) x y 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 x = x x x y = (x y) Аналогично можно рассматривать стрелку Пирса (x, y)= (x y)