Логическое следствие Применение логики предикатов в математике и

Логическое следствие Применение логики предикатов в математике и для анализа рассуждений

Логическое следствие в логике предикатов Определение. Формула G логики предикатов называется логическим следствием формул F 1, F 2 … Fn , если для всякой интерпретации, при которой формулы F 1, F 2 … Fn принимают значение истина, формула G также принимает значение истина. Этот факт обозначается: F 1, F 2, …, Fn |=G. Формулы F 1, F 2 … Fn называют посылками, а формулу G − заключением.

Свойства логического следствия 1. F 1, F 2, …, Fn |= Fi, i = 1, 2, …, n. 2. Если F 1, F 2, …, Fn |= Gi, для i = 1, 2, …, t, и если G 1, G 2, …, Gt |= H, то F 1, F 2, …, Fn |= H. 3. Если F 1, F 2, …, Fn |= G и G = H, то F 1, F 2, …, Fn |= H. 4. F 1, F 2, …, Fn |= G F 1 F 2 … Fn G является общезначимой формулой. 5. F 1, F 2, …, Fn |= G, F 1, F 2, …, Fn-1 |= Fn G (теорема дедукции). Две формулы равносильны тогда и только тогда, когда каждая из них является логическим следствием другой.

Правила вывода в логике предикатов

Правила вывода в логике предикатов

Анализ рассуждений с помощью логики предикатов Все рациональные числа действительные. Все целые числа рациональные. Следовательно, все целые числа действительные. Решение: введем обозначения: Q(x) – x – рациональное число, R(x) – x – действительное число, Z(x) x – целое число. Тогда посылки рассуждения запишутся так: По правилу силлогизма получаем: любое целое число a является действительным, то есть заключение истинно

Анализ рассуждений с помощью логики предикатов Все штангисты спортсмены. Никто из спотсменов не курит. Следовательно ни один штангист не курит. Решение: введем обозначения: U(x) – x – штангист, S(x) – x спортсмен, K(x) x – курящий человек. Тогда посылки рассуждения запишутся так: Снова по правилу силлогизма получаем: любой штангист является некурящим, то есть заключение истинно:

Анализ рассуждений с помощью логики предикатов Все хирурги врачи. Некоторые врачи Герои России. Следовательно, некоторые хирурги Герои России. Решение. Введем обозначения предикатов: U(x) – x хирург, E(x) – x врач, H(x) x Герой России. Тогда посылки рассуждения запишутся так: а заключение – формула: Чтобы доказать, что рассуждение неверно, достаточно привести пример интерпретации формул, при которой посылки истинны, а заключение ложно.

Решение задачи о хирургах Пусть M 1= {a, b} множество хирургов, M 2 ={a, b, c, d} множество врачей, M 3={c} множество героев врачей. При интерпретации на этих множествах посылки принимают значение 1 (истина), а заключение принимает значение 0 (ложь). Значит, определение логического следствия не выполняется, и формула не является логическим следствием формул и

Доказать выполнение следования: От противного: пусть есть такие конкретные предикаты P 1(x) и Q 1(x), которые заданы на множестве M и (1) но (2) Из (1) следует, что a M а из (2) найдется b M, такой, что Поэтому Q 1(b)=1, P 1(b) = 0. Тогда что противоречит (1). Значит, сделанное предположение неверно, и данное логическое следствие имеет место.

Запись предложений на языке логики предикатов Задачи такого типа имеют важное методологическое значение, так как позволяют перейти от естественной постановки задачи к ее математической постановке, с тем чтобы для решения задачи использовать математические методы ( построить математическую модель). Пример. Записать предложение на языке логики предикатов: Существует не более одного значения х, такого, что выполняется P(x). Изменим предложение, не искажая смысл: Неверно, что есть 2 разных предмета x и y, что P(x) и P(y).

Запись на языке логики предикатов Ответ: Пример 2. Существует точно один предмет x, что P(x). Ответ: Пример 3. Существуют, по меньшей мере два разных предмета x таких, что P(x). Ответ:

Запись на языке логики предикатов Определить подходящие предикаты и перевести предложение на язык логики предикатов: 1. Все рациональные числа – действительные. Решение. Определим одноместные предикаты: Q(x) – x – рациональное число, R(x) – x – действительное число. 2. Некоторые действительные числа рациональные. Используя введенные ранее предикаты, получаем:

Задача Выяснить, верно ли следующее рассуждение: Ни один человек не является четвероногим. Все студенты – люди. Следовательно, ни один студент не является четвероногим.