Логическое следствие Анализ рассуждений Логическое следствие

Логическое следствие. Анализ рассуждений

Логическое следствие • Опр: Формула G называется логическим следствием формул F 1, F 2, …, Fn , если всякий раз, когда для некоторого набора значений переменных X 1, X 2, …, Xm формулы F 1, F 2, …, Fn принимают значение истина, формула G также принимает значение истина при том же наборе значений переменных X 1, X 2, …, Xm. • Если формула G логическое следствие формул F 1, F 2, …, Fn , то пищут: F 1, F 2, …, Fn |= G. Формулы F 1, F 2, …, Fn называют посылками, а формулу G заключением или логическим следствием. G заключение, если в какой – то строке таблицы все посылки F 1, F 2, …, Fn принимают значение истина, то и G в этой строке принимает значение истина.

Алгоритм проверки по таблице истинности • Для того, чтобы с помощью таблицы истинности выяснить, следует ли логически формула G из формул F 1, F 2, …, Fn , достаточно выполнить следующие действия: 1. Построить таблицу истинности для формул F 1, F 2, …, Fn и G для всех значений входящих в них логических переменных X 1, X 2, …, Xm. 2. Выделить в этой таблице все строки, в которых формулы F 1, F 2, …, Fn принимают одновременно значение истина. 3. Выяснить, какие значения в выделенных строках принимает формула G. • Если формула G во всех этих строках принимает значение истина , то G является логическим следствием формул F 1, F 2, …, Fn , иначе формула G не является логическим следствием формул F 1, F 2, …, Fn.

Пример логического следствия Пример: Является ли формула G = X логическим следствием посылок X Y, Y Z, : Из анализа таблицы и определения заключения следует, что X Y, Y Z, |= X.

Свойства логического следствия: 1. F 1, F 2, …, Fn |= Fi, i = 1, 2, …, n. Доказательство: Если при каком - то наборе значений логических переменных все формулы F 1, F 2, …, Fn принимают значение истина , то и формула Fi, содержащаяся среди них, также принимает значение истина , => Fi является логическим следствием формул F 1, F 2, …, Fn. 2. Если F 1, F 2, …, Fn |= Gi, для i = 1, 2, …, t, и если G 1, G 2, …, Gt |= H, то F 1, F 2, …, Fn |= H. 3. Если F 1, F 2, …, Fn |= G и G = H, то F 1, F 2, …, Fn |= H.

Свойства логического следствия: Теорема 1: F 1, F 2, …, Fn |= G F 1 F 2 … Fn G является ТИ формулой (тавтологией). Теорема 2 (дедукции): F 1, F 2, …, Fn |= G, F 1, F 2, …, Fn-1 |= Fn G. Доказательство : Дано: F 1, F 2, …, Fn |= G, доказать: F 1, F 2, …, Fn-1 |= Fn G. F 1 F 2 … Fn G ТИ формула (т. 1). F 1 F 2 … Fn G = ((F 1 F 2 … Fn-1 ) Fn ) G = =(F 1 F 2 … Fn -1) (F 1 F 2 … Fn-1 ) .

Следствия из теоремы дедукции Следствие 1. A |= B Û A B. Следствие 2. A B, B С |= A С (правило силлогизма). Можно считать, что А = 1. Тогда В = С = 1. A B, B С, A |= C. Теперь по теореме дедукции A B, B С |= A С.

Правила вывода 1. 2. 3. 4.

Правила вывода 5. 6. 7. 8. .

Пример использования правил вывода Пример: доказать, используя правила вывода и теорему дедукции, что A B |= (A C) (B C). Решение: заключение имеет вид импликации. Для решения таких задач используется теорема дедукции, причем в качестве дополнительной посылки берется посылка в импликации. 1. 2. 3. 4. 5. 6. A C посылка; A из (1) по правилу удаления коньюнкции A B посылка из условия; B из (2) и (3) по правилу заключения; C из (1) по правилу удаления коньюнкции; B C из (4) и (5) по правилу вывода (4). Итак, A B, A C |= B C; A B |= (A C) (B C).

Анализ рассуждений • Чтобы проверить, справедливо ли рассуждение, нужно выполнить следующие действия: 1. Выделить все простые высказывания, имеющиеся в рассуждении, и обозначить каждое из них логической переменной; 2. Записать каждое отдельно взятое предложение в виде логической формулы, используя введенные логические переменные и логические операции; 3. Выделить (по смыслу) из полученных формул посылки и заключение; 4. Выяснить, является ли заключение логическим следствием посылок; 5. Если заключение является логическим следствием посылок, то делаем вывод, что рассуждение является верным, иначе рассуждение неверное.

Пример анализа рассуждений Пример. Если множество простых чисел конечно, то существует наибольшее простое число. Наибольшего простого числа не существует. Следовательно, множество простых чисел бесконечно. Обозначим: A – множество простых чисел конечно; В существует наибольшее простое число. Используя эти обозначения и союзы, запишем рассуждение в виде формул: А B, Первые две формулы являются посылками, а третья заключением. По правилу отрицания (8) убеждаемся, что логическое следствие А B, имеет место.

Метод проверки правильности рассуждений от противного Предположим, что в формуле F 1, F 2, …, Fn |= G заключение не является логическим следствием посылок F 1, F 2, …, Fn. Тогда существует такой набор значений логических переменных X 1, X 2, …, Xm , при котором формулы F 1, F 2, …, Fn истинны, а G ложна. При поиске такого набора возможны две cитуации: 1. Мы докажем, что не существует такого набора значений переменных X 1, X 2, …, Xm , при котором F 1, F 2, …, Fn истинны, а G ложна. Значит G является логическим следствием посылок; 2. Мы найдем такой набор значений переменных X 1, X 2, …, Xm, при котором F 1, F 2, …, Fn истинны, а G ложна. Значит G не является логическим следствием посылок F 1, F 2, …, Fn.

Пример проверки правильности рассуждения методом от противного Пример: проверить, справедливо ли рассуждение: Андрей или переутомился или болен. Если он переутомился, то он раздражается. Он не раздражается. Значит, он болен. Решение. Введем обозначения: A Андрей переутомился; B Андрей болен; C Андрей раздражается. Тогда рассуждение описывается формулой: От противного: пусть AÚB = 1, A C = 1, , но B = 0. Тогда C = 0, A = 1, следовательно A C = 0. Получили противоречие. Следовательно, B – логическое следствие данных посылок.

Проблема разрешения в алгебре высказываний Задача: указать алгоритм, позволяющий для каждой логической функции выяснить, является ли она ТИ формулой или нет. Имея такой алгоритм, мы одновременно получаем также и способ узнать, будет ли данная формула выполнимой или нет. Поставленная задача носит название проблемы разрешения. Искомый алгоритм решения задачи в алгебре высказываний основан на приведение формулы к нормальной форме.

Проблема разрешения в алгебре высказываний Теорема 1: Элементарная дизъюнкция – ТИ когда она наряду с некоторой логической переменной Xi содержит и ее отрицание. Теорема 2: Элементарная конъюнкция – ТЛ когда она наряду с некоторой логической переменной Xi содержит и ее отрицание. Теорема 3: Формула F – ТИ формула когда ее КНФ является конъюнкцией ТИ элементарных дизъюнкций. Теорема 4: Формула F ТЛ формула когда ее ДНФ является дизъюнкцией ТЛ элементарных конъюнкций.

Пример проверки формулы на тавтологию Является ли ТИ формулой формула F = Каждая дизьюнкция в скобках ТИ формула, поэтому из теоремы 3 следует, что F ТИ формула.

Задача Если Петр поедет во Владивосток, то Иван – в Калугу. Петр поедет во Владивосток или в Читу. Если Петр поедет в Читу, то Аня останется в Москве. Аня в Москве не останется. Следовательно, Иван поедет в Калугу. Проверить правильность заключения.