Логические основы компьютеров Логические выражения и операции

Логические основы компьютеров Логические выражения и операции

Булева алгебра Двоичное кодирование – все виды информации кодируются с помощью 0 и 1. Задача – разработать оптимальные правила обработки таких данных. Джордж Буль разработал основы алгебры, в которой используются только 0 и 1 (алгебра логики, булева алгебра). Почему "логика"? Результат выполнения операции можно представить как истинность (1) или ложность (0) некоторого высказывания.

Логические высказывания Логическое высказывание – это повествовательное предложение, относительно которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Высказывание или нет? q Сейчас идет дождь. q Жирафы летят на север. q История – интересный предмет. q У квадрата – 10 сторон и все разные. q Красиво! q В городе N живут 2 миллиона человек. q Который час?

Обозначение высказываний A – Сейчас идет дождь. B – Форточка открыта. ! простые высказывания (элементарные) Любое высказывание может быть ложно (0) или истинно (1). Составные высказывания строятся из простых с помощью логических связок (операций) "и", "или", "не", "если … то", "тогда и только тогда" и др. Aи. B A или не B если A, то B не A и B A тогда и только тогда, когда B Сейчас идет дождь и открыта форточка. Сейчас идет дождь или форточка закрыта. Если сейчас идет дождь, то форточка открыта. Сейчас нет дождя и форточка открыта. Дождь идет тогда и только тогда, когда открыта форточка.

Операция НЕ (инверсия) Если высказывание A истинно, то "не А" ложно, и наоборот. также: , not A (Паскаль), А не А ! A (Си) 0 1 1 0 таблица истинности операции НЕ Таблица истинности логического выражения Х – это таблица, где в левой части записываются все возможные комбинации значений исходных данных, а в правой – значение выражения Х для каждой комбинации.

Операция И (логическое умножение, конъюнкция) Высказывание "A и B" истинно тогда и только тогда, когда А и B истинны одновременно. также: A·B, A and B (Паскаль), A B А и B A && B (Си) 0 1 2 3 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 A B конъюнкция – от лат. conjunctio — соединение

Операция ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция) Высказывание "A или B" истинно тогда, когда истинно А или B, или оба вместе. также: A+B, A or B (Паскаль), A B А или B A || B (Си) 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 дизъюнкция – от лат. disjunctio — разъединение

Операция "исключающее ИЛИ" Высказывание "A B" истинно тогда, когда истинно А или B, но не оба одновременно. также: A xor B (Паскаль), A B А B A ^ B (Си) 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 арифметическое сложение, 1+1=2 остаток сложение по модулю 2: А B = (A + B) mod 2

Логические основы компьютеров Преобразование логических выражений

Законы алгебры логики название двойного отрицания исключения третьего операции с константами повторения поглощения переместительный сочетательный распределительный правила де Моргана для ИЛИ

Логические основы компьютеров Логические элементы компьютера

Логические элементы компьютера значок инверсии или и НЕ и И-НЕ или ИЛИ-НЕ

Составление схем последняя операция - ИЛИ И НЕ НЕ ИЛИ И

Триггер – это логическая схема, способная хранить 1 бит информации (1 или 0). Термин триггер происходит от английского слова trigger - защёлка, спусковой крючок. Для обозначения этой схемы в английском языке чаще употребляется термин flip-flop, что в переводе означает "хлопанье". Это звукоподражательное название электронной схемы указывает на её способность почти мгновенно переходить ("перебрасываться") из одного электрического состояния в другое. • Это важнейшая структурная единица оперативной памяти компьютера и внутренних регистров процессора. • Триггер позволяет запоминать, хранить и считывать информацию (каждый триггер может хранить 1 бит информации). Триггер можно построить из двух логических элементов «или» и двух логических элементов «не» .

Самый распространённый тип триггера - это RS-триггер (S и R соответственно от английских set - установка, и reset - сброс). set, установка S (1) 1 0 R reset, сброс ИЛИ 1 НЕ обратные связи ИЛИ 0 НЕ 0 Q вспомогательный выход 1 Q основной выход В обычном состоянии на входы триггера подан сигнал « 0» , и триггер хранит сигнал « 0» . Для записи « 1» на вход S (установочный) подается сигнал « 1» . По схеме видно, что триггер переходит в это состояние и будет устойчиво находиться в нем и после того, как сигнал на входе S исчезнет. Триггер запомнил « 1» , т. е. с выхода триггера можно считать « 1» . Для того, чтобы сбросить информацию и подготовиться к приему новой, подается сигнал « 1» на вход R (сброс), после чего триггер возвратится к исходному «нулевому» состоянию.

Триггер (англ. trigger – защёлка) Ø Если на входы подать: S=1, R=0, то на выходе Q=0. После этого на входах нижнего вентиля R=0, Q=0, на выходе Q=1. Триггер переходит в единичное состояние. Ø Аналогично, если S=0, R=1, то Q=0, Q=1. При подаче сигнала на вход R триггер сбрасывается в устойчивое нулевое состояние. Ø Если на двух входах нет сигнала (S=0 и R=0), то триггер сохраняет на выходе Q тот сигнал, который был установлен входным импульсом (R или S). При отсутствии входных сигналов триггер хранит 1 бит информации. S R Q режим 0 0 Последние значения 0 1 Сброс (установка 0) 1 0 1 1 1 0 установка 1 Хранение 1 бит Запрещено! ØЕсли на два входа подана логическая « 1» , то появляется неоднозначный результат после снятия входных сигналов, поэтому такая комбинация запрещена!

Регистры Несколько триггеров можно объединить в группы – регистры. Регистр – это устройство компьютера, предназначенное для: § кратковременного хранения двоичной информации; § для обработки информации. Число триггеров в регистре называется разрядностью компьютера, которая может быть равна 8, 16, 32 и 64. Если в регистр входит n триггеров, то можно запомнить n бит информации. Совокупность регистров, используемых ЭВМ для запоминания программы работы, исходных и промежуточных результатов называется оперативной памятью (ОП). Современные микросхемы содержат миллионы триггеров.

Полусумматор – это логическая схема, способная складывать два одноразрядных двоичных числа. сумма B P 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 не A перенос Σ 1 1 0 S и или не и и ? Схема на 4 -х элементах?

Сумматор является центральным узлом арифметикологического устройства процессора. Находит он применение и в других устройствах компьютера. Сумматор выполняет сложение многозначных двоичных чисел. Он представляет собой последовательное соединение полусумматоров, каждый из которых осуществляет сложение в одном разряде. Если при этом возникает переполнение разряда, то перенос суммируется с содержимым старшего соседнего разряда. На рисунке показано, как из n сумматоров можно составить устройство для сложения двух n-разрядных двоичных кодов, это схема многоразрядного сумматора.

Сумматор – это логическая схема, способная складывать два одноразрядных двоичных числа с переносом из предыдущего разряда. A перенос Сумматор имеет 3 входа и 2 выхода. Его работа может быть описана следующей таблицей истинности: P S 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 перенос сумма C 0 Σ B 0 0 0 1 1 0 1 1 1

Многоразрядный сумматор это логическая схема, способная складывать два n-разрядных двоичных числа. перенос Σ Σ Σ перенос

Логические основы компьютеров Логические задачи

Метод рассуждений Задача 1. Министры иностранных дел России, США и Китая обсудили за закрытыми дверями проекты договора, представленные каждой из стран. Отвечая затем на вопрос журналистов: "Чей именно проект был принят? ", министры дали такие ответы: Россия — "Проект не наш (1), проект не США (2)"; США — "Проект не России (1), проект Китая (2)"; Китай — "Проект не наш (1), проект России (2)". Один из них оба раза говорил правду; второй – оба раза говорил неправду, третий один раз сказал правду, а другой раз — неправду. Кто что сказал? проект США (? ) проект Китая (? ) (1) (2) проект России (? ) (1) (2) Россия + – Россия + + Россия – + США + – США + + США – Китай + – + Китай

Табличный метод Задача 2. Дочерей Василия Лоханкина зовут Даша, Анфиса и Лариса. У них разные профессии и они живут в разных городах: одна в Ростове, вторая – в Париже и третья – в Москве. Известно, что • Даша живет не в Париже, а Лариса – не в Ростове, • парижанка – не актриса, • Много вариантов. • в Ростове живет певица, • Есть точные данные. • Лариса – не балерина. Париж Ростов Москва 0 1 0 0 1 ! Певица Даша Анфиса Лариса 1 0 0 Балерина Актриса 0 1 0 0 0 1 В каждой строке и в каждом столбце может быть только одна единица!

Использование алгебры логики Задача 3. Следующие два высказывания истинны: 1. Неверно, что если корабль A вышел в море, то корабль C – нет. 2. В море вышел корабль B или корабль C, но не оба вместе. Определить, какие корабли вышли в море. Решение: … если корабль A вышел в море, то корабль C – нет. 1. Неверно, что если корабль A вышел в море, то корабль C – нет. 2. В море вышел корабль B или корабль C, но не оба вместе.

Использование алгебры логики Задача 4. Когда сломался компьютер, его хозяин сказал «Память не могла выйти из строя» . Его сын предположил, что сгорел процессор, а винчестер исправен. Мастер по ремонту сказал, что с процессором все в порядке, а память неисправна. В результате оказалось, что двое из них сказали все верно, а третий – все неверно. Что же сломалось? Решение: A – неисправен процессор, B – память, C – винчестер хозяин: сын: мастер: Если ошибся хозяин: Если ошибся сын: Если ошибся мастер: В общем случае: ! Несколько решений!