Логические основы информатики Лекция № 3_2
Алгебра логики • Математическая логика присутствует в различных разделах информатики: • в виде двоичной логики, на которой основана работа цифровых компьютеров; • в виде специальной алгебры логики, лежащей в основе математической модели реляционных баз данных; • в виде правил, определяющих функционирование алгоритмов и программ, работу интеллектуальных и экспертных систем.
Понятие высказывания • Основным понятием математической логики является понятие простого высказывания. • В алгебре логики все высказывания рассматриваются только с точки зрения их логического значения. Каждое высказывание либо истинно, либо ложно, и ни одно высказывание не может быть одновременно истинным и ложным. • Пример. Волга впадает в Каспийское море. Значение высказывания — «истина» . • Лондон — столица Франции. Значение высказывания — «ложно» . • Карась не рыба. Значение высказывания — «ложно» . • Число 6 делится на 2 и на 3. Значение высказывания — «истина» .
Высказывание • Высказывание, представляющее собой одно утверждение, принято называть простым, или элементарным. • Высказывания, которые получаются из элементарных с помощью грамматических связок «не» , «или» , «если» , «тогда и только тогда» , принято называть сложными, или составными. • В приведенном примере «Карась — рыба» путем добавления отрицания «не» ; • четвертое высказывание образовано из элементарных высказываний «Число 6 делится на 2» , «Число 6 делится на 3» , соединенных союзом «и» . • Из простых высказываний «Юноша окончил среднюю школу» и «Юноша получает аттестат зрелости» путем добавления грамматической связки «если. . . , то. . . » . • Аналогично, сложные высказывания могут быть получены из простых высказываний путем добавления грамматических связок «или» , «тогда и только тогда» .
Элементарные высказывания • элементарные высказывания обозначают малыми буквами латинского алфавита; • истинное значение высказывания цифрой 1, а ложное значение — цифрой 0. • Например, если высказывание а истинно, то будет справедлива запись а = 1, если высказывание а ложно, то а = 0.
Обозначения в алгебре высказываний
Логические операции над высказываниями • Над высказываниями можно выполнять следующие логические операции: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквивалентность. • Операция отрицания высказывания х обозначается х и читается «не х» или «неверно, что х» . Таблицы подобного вида принято называть таблицами истинности.
Операция конъюнкции • Операция конъюнкции высказываний х и у обозначается символом д, а выражение х у читается «х и у» . • Высказывания х и у называются членами конъюнкции. Логические значения операции конъюнкции описываются следующей таблицей истинности:
Операция конъюнкции •
Операция дизъюнкции • Операция дизъюнкции высказываний х и у обозначается символом v, а выражение х v у читается как «х или у» . Высказывания х и у называются членами дизъюнкции. • Логические значения операции дизъюнкции описываются следующей таблицей истинности:
Операция дизъюнкции • Обозначим высказывание «В треугольнике DFE угол D острый» как х, а высказывание «В треугольнике DFE угол Е острый» как у. • Тогда дизъюнкция х у этих высказываний «В треугольнике DFE угол D или угол Е острый» ис тинна, так как обязательно истинно хотя бы одно из высказываний. • В повседневной речи союз «или» употребляется в различном смысле: исклю чающем и не исключающем. В алгебре логики союз «или» всегда употребляется в не исключающем смысле. • Из определения операции дизъюнкции и отрицания ясно, что высказывание х v х всегда истинно.
Операция импликации • Операция импликации высказываний х и у обозначается символом , а вы ражение х у читается как «если х, то у» . • Высказывание х называют условием, или посылкой, высказывание у — следствием, или заключением, а высказывание х у — следованием, или импликацией. • Логические значения операции импликации описываются следующей таблицей истинности: X У х у 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1
Операция импликации • Обозначив высказывание «Число 12 делится на 6» как х, а высказывание «Число 12 делится на 3» как у, мы получим импликацию x у, которая отражает высказывание «Если число 12 делится на 6, то оно делится на 3» и является ис тинным. • Употребление слов «если. . . , то. . . » в алгебре логики отличается от употребления их в обыденной речи, где мы, как правило, считаем, что если высказыванием ложно, то высказывание «Если х, то у» не имеет смысла. • Кроме того, строя предложение «Если х, то y, мы всегда подразумеваем, что предложение у вытекает из предложе ниях. Употребление слов «если. . . , то. . . » в математической логике не требует этого, поскольку в ней смысл высказываний не рассматривается.
Операция эквивалентности • Операция эквивалентности высказываний х и у обозначается символом , а выражение х у читается «для того чтобы х, необходимо и достаточно, чтобы y» или «х тогда и только тогда, когда у» . • Высказывания х и у называются членами эквивалентности. • Логические значения операции эквивалентности описываются следующей таблицей истинности: X У х у 1 1 0 0 0 1
Операция эквивалентности • Эквивалентность играет важную роль в математических доказательствах. • Из вестно, что значительное количество теорем формулируется в форме необходимых и достаточных условий, то есть в форме эквивалентности. • В этом случае, зная об истинности или ложности одного из двух членов эквивалентности и доказав ис тинностьсамой эквивалентности, мы приходим к заключению об истинности или ложности второго члена эквивалентности.
Операция эквивалентности • Обозначив высказывание «Треугольник SPQ с вершиной S и основанием PQ равнобедренный» как х, а высказывание «В треугольнике SPQ с вершиной S и основанием PQ P = Q» как у, мы можем записать высказывание «Треуголь ник PQ с S вершиной S и основанием PQ равнобедренный тогда и только тогда, когда P = Q» в форме эквивалентности х у. • Эквивалентность является ис тинной, так как высказывания либо одновременно истинны, либо одновременно ложны. • Эквивалентность играет важную роль в математических доказательствах. • Из вестно , что значительное количество теорем формулируется в форме необходимых и достаточных условий, то есть в форме эквивалентности. • В этом случае, зная об истинности или ложности одного из двух членов эквивалентности и доказав ис тинность самой эквивалентности, мы приходим к заключению об истинности или ложности второго члена эквивалентности.
Понятие формулы алгебры логики •
Формулы алгебры логики • Формулы алгебры логики будем обозначать прописными буквами латинского алфавита А, В, С, . . • Буквенные обозначения формул алгебры логики используются в основном в определениях, когда надо обозначить некоторые общие для формул закономерности. • Для того чтобы логическими высказываниями, сформулированными на есте ственном языке, можно было оперировать при помощи алгебры логики, их необ ходимо формализовать, то есть перевести с естественного языка на язык символов алгебры логики.
Перевод с естественного языка на язык символов алгебры логики. • Для этого рекомендуется следующая процедура: • Если высказывание простое, то ему ставится в соответствие элементарная фор мула. • Если высказывание составное, то для составления соответствующей формулы нужно: • выделить все элементарные высказывания и логические связки, образующие данное составное высказывание; • заменить их соответствующими символами (различные элементарные вы сказывания обозначатся различными символами); • расставить скобки в соответствии со смыслом данного высказывания.
Правила записи формулы •
Таблица истинности x y 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0
Равносильные формулы алгебры логики •
Понятие равносильности • Между понятиями равносильности и эквивалентности существует следующая связь: • если формулы А и В равносильны, то формула А В — тавтология, и об ратно, если формула А В — тавтология, то формулы А и В равносильны. Важнейшие равносильности алгебры логики можно разбить на три группы: • основные равносильности; • равносильности, выражающие одни логические операции через другие; • равносильности, выражающие основные законы алгебры логики. • Используя равносильности, можно часть формулы или формулу полностью заменить равносильной ей формулой. Такие преобразования формул называются равносильными. • Равносильные преобразования используются для доказательства равносильности, для приведения формул к заданному виду, для упрощения формул.
Равносильные преобразования • Формула А считается проще равносильной ей формулы В, если она содержит меньше символов, меньше логических операций. При этом обычно операции экви валентности и импликации заменяются операциями дизъюнкции и конъюнкции, а отрицание относят к элементарным высказываниям.
Основные равносильности
Равносильности, выражающие одни логические операции через другие
Равносильности • Из равносильности этой группы следует, что всякую формулу алгебры логики можно заменить равносильной ей формулой, содержащей только две логические операции: конъюнкцию и отрицание или дизъюнкцию и отрицание. • Дальнейшее исключение логических операций невозможно. Так, если мы будем использовать только конъюнкцию, то уже такая формула, как отрицание х, не мо жет быть выражена с помощью операции конъюнкции. • Однако существуют операции, с помощью которых может быть выражена любая из пяти логических операций, которыми мы пользуемся. Такой операцией являет ся, например, операция Штрих Шеффера. Эта операция обозначается символом | и определяется следующей таблицей истинности: x y 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1
Равносильности, выражающие основные законы алгебры логики • х у у х — коммутативность конъюнкции. • х у у х— коммутативность дизъюнкции. • х (y z) (х у) z — ассоциативность конъюнкции. • х (у z) (х у) z — ассоциативность дизъюнкции. • х (у z) (х у) (х z) — дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции. • х (y z) (х у) (х z) — дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции.
Скачать презентацию Логические основы информатики Лекция 3_2 Алгебра
Логические основы информатики.pptx