Логические основы ЭВМ 1 Логика — это

Логические основы ЭВМ 1

Логика - это наука о формах и способах мышления. 2

1 этап – формальная логика Основатель – Аристотель (384 -322 гг. до н. э. ) Ввёл основные формулы абстрактного мышления 3

2 этап – математическая логика Основатель – немецкий ученый и философ Лейбниц(1642 -1716), предпринял попытку логических вычислений. 4

3 этап - Алгебра высказываний (Булева алгебра) Основатель - английский математик Джордж Буль(1815 – 1864), ввёл алфавит, орфографию и грамматику для математической логики. 5

Алгебра логики — это математический аппарат, с помощью которого записывают, вычисляют, упрощают и преобразовывают логические высказывания. Создателем алгебры логики является живший в ХIХ веке английский математик Джордж Буль, в честь которого эта алгебра названа булевой алгеброй высказываний. 6

7 Логические высказывания Логическое высказывание – это повествовательное предложение, относительно которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Высказывание или нет? q Сейчас идет дождь. q Жирафы летят на север. q История – интересный предмет. q У квадрата – 10 сторон и все разные. q Красиво! q В городе N живут 2 миллиона человек. q Который час? 7

Алгебра логики В алгебре высказываний высказывания обозначаются именами логических переменных, которые могут принимать лишь два значения «истинно» и «ложно» . Истинно =1 Ложно=0 2/5/2018 8

Алгебра логики n Логические связки – употребляемые в обычной речи слова и словосочетания «не» , «или» , «если…, то» , «тогда и только тогда» и др. Составные высказывания – , образованные из других высказываний с помощью логических связок. Высказывания, не являющиеся составными, называются элементарными. 9

Обозначение высказываний A – Сейчас идет дождь. B – Форточка открыта. ! 10 простые высказывания (элементарные) Любое высказывание может быть ложно (0) или истинно (1). Составные высказывания строятся из простых с помощью логических связок (операций) «и» , «или» , «не» , «если … то» , «тогда и только тогда» и др. Aи. B A или не B если A, то B не A и B A тогда и только тогда, когда B Сейчас идет дождь и открыта форточка. Сейчас идет дождь или форточка закрыта. Если сейчас идет дождь, то форточка открыта. Сейчас нет дождя и форточка открыта. Дождь идет тогда и только тогда, когда открыта форточка. 10

Алгебра логики n Пример: «Петров - врач» , «Петров шахматист» . При помощи связки «и» получаем составное высказывание «Петров – врач и шахматист» , понимаемое как «Петров – врач, хорошо играющий в шахматы» . 11

Алгебра логики Пример: «Петров - врач» , «Петров шахматист» . При помощи связки «или» получаем составное высказывание «Петров – врач или шахматист» , понимаемое в алгебре логики как «Петров или врач или шахматист, или и врач и шахматист одновременно» 12

Для образования новых высказываний используются базовые логические операции: логическое отрицание -операция не - инверсия n логическое умножение - операция и конъюнкция n логическое сложение - операция или - дизъюнкция n 2/5/2018 13

Логическое отрицание (инверсия) Присоединение частицы «не» к высказыванию. Инверсия делает истинное высказывание ложным и, наоборот. Соответствует союзу НЕ Обозначение Ā, ¬А В языках программирования not Таблица истинности A Ā 0 1 1 0 14

Логическое умножение (конъюнкция) Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза «и» . Составное высказывание истинно только тогда, когда истины оба простых высказывания. Соответствует союзу И Обозначение &, ^ В языках программирования and; Таблица истинности A B A&B 0 0 1 15

Логическое сложение (дизъюнкция) Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза «или» . Составное высказывание истинно только тогда, когда истинно хотя бы одно из двух простых высказывания. Соответствует союзу ИЛИ Обозначение V В языках программирования or Таблица истинности A B Av. B 0 0 1 1 16

Логическое следование (импликация) Импликация образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если…, то…» . Импликация ложна только тогда, когда из истинного первого высказывания(предпосылки) следует ложный вывод (второе высказывание). Соответствует обороту Если…, то… Обозначение А→В В языках программирования if … then … Таблица истинности A B A→B 0 0 1 1 1 0 0 1 17

Логическое равенство (эквивалентность) Эквивалентность образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «… тогда и только тогда, когда …» . Составное высказывание, образованное с помощью логической операции эквивалентности истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны. Соответствует обороту тогда и только тогда, когда … Обозначение А≡В, А~B Таблица истинности A B А~B 0 0 1 0 1 0 0 1 18

Импликацию можно выразить через дизъюнкцию и отрицание: Эквиваленцию можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию: Таким образом, операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции достаточно, чтобы описывать и обрабатывать логические высказывания. 19

Логические выражения и таблицы истинности Логическое выражение – формула, в которую входят логические переменные и знаки логических операций. Пример: Порядок выполнения логических операций: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Действия в скобках. Инверсия, Конъюнкция, Дизъюнкция, Импликация, Эквивалентность. Для логического выражения можно построить таблицу истинности, которая определяет его истинность или ложность при всех возможных комбинациях исходных значений простых высказываний. 20

Построение таблицы истинности 1. Определить количество строк в таблице по формуле 2 n, где n – количество логических переменных. 2. Определить количество столбцов таблицы: количество логических переменных + количество логических операций. 3. Построить таблицу истинности, обозначить столбцы, внести всевозможные наборы исходных данных логических переменных. 4. Заполнить таблицу истинности, выполняя базовые логические операции в необходимой последовательности. 21

Построение таблицы истинности для 1. Количество строк таблицы 22 = 4, т. к. в формуле две переменные A и B. 2. Количество столбцов: 2 переменные + 5 логических операций = 7. A 0 0 1 1 B Av. B 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 22

Равносильные логические выражения - это выражения, у которых последние столбцы таблиц истинности совпадают, обозначают “=“. Докажите равносильность выражений: Таблица истинности для A 0 0 1 1 B 0 1 Av. B Таблица истинности для A B 0 0 0 1 1 23

Тавтология n n n Некоторые формулы принимают значение “истина” при любых значениях истинности входящих в них переменных. Например, формула А v Такие формулы называются тождественно истинными формулами или тавтологиями. Высказывания, которые формализуются тавтологиями, называются логически истинными высказываниями. 24

Тождественная ложь В качестве другого примера рассмотрим формулу А • , которой соответствует, например, высказывание “Катя самая высокая девочка в классе, и в классе есть девочки выше Кати”. Очевидно, что эта формула ложна, так как либо А, либо обязательно ложно. Такие формулы называются тождественно ложными формулами или противоречиями. Высказывания, которые формализуются противоречиями, называются логически ложными высказываниями. 25

26 Законы алгебры логики название для ИЛИ двойного отрицания исключения третьего операции с константами повторения поглощения переместительный сочетательный распределительный законы де Моргана 26

Логические операции «И» , «ИЛИ» , «НЕ» лежат в основе работы преобразователей информации любого компьютера американский математик, доказал применимость булевой алгебры в теории контактных и релейноконтактных схем (в 1938 году) Клод Шеннон (1916 г. ) 27

А В & F 1 1 F 2 V F 3 A&Bv. B Функциональная схема логического устройства Структурная формула ЛУ Зная функциональную схему, можно составить структурную формулу данного ЛУ. Анализируя структурную формулу, можно создать функциональную схему и понять, как работает данное ЛУ. 28

Так как все многообразие операций в ПК сводится к сложению двоичных чисел, то главной частью процессора (АЛУ) является сумматор. Рассмотрим сложение одноразрядных двоичных чисел: Слагаемые Перенос Сумма А В Р S 0 0 0 1 1 0 29

Слагаемые Перенос Сумма А 0 В 0 Р 0 0 1 1 P=A&B S 0 0 S=(А v B) & (A & B) Докажем это, построив таблицу истинности для данного ЛВ А B 1 AVB 2 A&B 3 NOT(2) 4 1&3 0 0 0 1 1 1 0 1 0 30

S=(А v B) & (A & B) P=A&B Теперь, на основе полученных логических выражений, можно построить схему данного устройства A P & B 1 & S V Данная схема называется полусумматором, так как суммирует одноразрядные двоичные числа без учета переноса из младшего разряда. 31

32 Логические элементы компьютера значок инверсии 1 & НЕ И & И-НЕ ИЛИ 1 ИЛИ-НЕ 32

33 Логические элементы компьютера Любое логическое выражение можно реализовать на элементах И-НЕ или ИЛИ-НЕ. И: НЕ: & ИЛИ: & & & 33

34 Составление схем последняя операция - ИЛИ И & & 1 & 34

Для хранения информации в ОП и регистрах ЦП применяется устройство ТРИГГЕР. Ячейка памяти состоит из 8, 16 или 32 триггеров, что и определяет разрядность ЦП. Триггер строится из двух элементов «ИЛИ» и двух элементов «НЕ» . S(1) V 1 1 0 0 1 R В обычном состоянии на входы подан « 0» . Для записи на вход S подается « 1» . Он его будет хранить и даже после того, как сигнал на входе «S» исчезнет. Чтобы сбросить информацию, подается « 1» на вход R (Reset), после чего триггер возвращается к исходному «нулевому» состоянию. 35

36 Триггер (англ. trigger – защёлка) Триггер – это логическая схема, способная хранить 1 бит информации (1 или 0). Строится на 2 -х элементах ИЛИ-НЕ или на 2 -х элементах И-НЕ. set, установка вспомогательный выход 1 S R Q режим 0 0 хранение 1 основной выход 0 1 сброс 1 0 обратные связи 1 0 0 0 установка 1 1 1 запрещен reset, сброс 36

Несколько триггеров можно объединить в группы - регистры И использовать в качестве запоминающих устройств (ЗУ). n n Если в регистр входит N триггеров, то при таком ЗУ можно запоминать N-разрядные двоичные слова. n Один регистр образует одну ячейку памяти, каждая из которых имеет свой номер т ОЗУ ЭВМ часто конструируется в виде набора регистров. n т т т Таким образом, ЭВМ состоит из огромного числа Отдельных логических элементов, образующих все ее узлы и память. 37

38 Полусумматор – это логическая схема, способная складывать два одноразрядных двоичных числа. Σ сумма A B P S перенос 0 0 0 1 1 0 & 1 & & ? Схема на 4 -х элементах? 38

39 Сумматор – это логическая схема, способная складывать два одноразрядных двоичных числа с переносом из предыдущего разряда. A перенос сумма перенос C P S 0 Σ B 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 39

40 Многоразрядный сумматор это логическая схема, способная складывать два n-разрядных двоичных числа. перенос Σ Σ Σ перенос 40