Логические операции Основные логические операции В логике

Логические операции

Основные логические операции В логике над высказываниями производятся следующие основные операции (логические связки): отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция, неравнозначность. Они рассматриваются как средство вычисления логического значения сложного высказывания по логическим значениям составляющих его простых высказываний.

Отрицание (логическая связка «не» ) • А 0 1 1 0

Логическое умножение (конъюнкция) •

Логическое сложение (дизъюнкция) Дизъюнкция двух высказываний А и В — это сложное логическое высказывание, которое ложно только в случае ложности всех составляющих высказываний, в противном случае оно истинно. Таким образом, дизъюнкция истинна, когда истинно хотя бы одно из составляющих ее высказываний. Обозначается: A B или А+В. Эта запись читается: «А или В» . Таблица истинности дизъюнкции: А 0 0 1 1 В 0 1 A B 0 1 1 1

Логическое следование (импликация) В математических доказательствах часто пользуются сложными высказываниями, образованными с помощью слов «если…, то…» . В таких конструкциях высказывание, расположенное после слова «если» , называется посылкой, а высказывание, расположенное после слова «то» , называется следствием или заключением. Импликацией двух высказываний А и В называется высказывание, обозначаемое символом А →В, которое ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно. Иногда встречается обозначение А ⊃В. Читается: «если А, то В» ( «А влечет В» , «из А следует В» ).

Таблица истинности импликации А 0 0 1 1 В 0 1 А В 1 1 0 1

Логическое тождество (эквиваленция) Эквиваленцией (эквивалентностью, равнозначностью) двух высказываний А и В называется высказывание, обозначаемое символом А В (или А↔В), которое истинно тогда и только тогда, когда истинностные значения высказываний А и В совпадают, и ложно — в противном случае. Таблица истинности для эквивалентности имеет вид: А В А↔В 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Интерпретация логической связки эквиваленция Логическая операция А↔В соответствует словосочетанию «А тогда и только тогда, когда В» и читается: «А эквивалентно В» ( «равнозначно » , «для того, чтобы А необходимо и достаточно, чтобы В» ). Когда мы говорим «А тогда и только тогда, когда В» , то имеем в виду, что оба утверждения А и В одновременно истинны, либо одновременно ложны. В математике такого рода теоремы называются критериями. Например, критерий делимости на 3 формулируется так: натуральное число n делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр числа n делится на 3.

Исключающее «или» (неравнозначность) Неравнозначностью двух высказываний А и В называется высказывание, истинное, когда истинностные значения А и В не совпадают, и ложное — в противном случае. Обозначается: А B. Читается: «либо А, либо В» (либо понимается — в разделительном смысле). А В А B 0 0 1 1 0 1 0 0

Формулы алгебры высказываний

Алфавит алгебры высказываний Алфавит языка алгебры высказываний состоит из следующих символов: пропозициональные переменные А, В, С, …, логические связки ¬ - отрицание, &, - конъюнкция, - дизъюнкция, - исключенное или, → - импликация, ↔ - эквиваленция скобки (, ), [, ]

Логические формулы Логическая формула определяется индуктивно по следующей схеме: 1) Всякая пропозициональная переменная есть формула. 2) Если А — формула, то ¬A является формулой. 3) Если А и В — формулы, то выражения (A&В), (A→В), (A В), (А↔В) также являются формулами. 4) Других формул, кроме построенных по правилам трех предыдущих пунктов, нет.

Соглашение об упрощении записи формул Чтобы упростить запись формул (снять некоторое количество скобок), примем ряд соглашений об упрощении записи формул: 1) Наружные скобки в записи формул можно опускать. 2) Считается, что конъюнкция «сильнее» дизъюнкции, а обе они «сильнее» неравнозначности, импликации и эквиваленции. 3) Отрицание «сильнее» всех других операций. Поэтому часть скобок, определяющих порядок действий, можно опускать. 4) Скобки, определяющие порядок действий, в ассоциативном случае можно опускать. 5) Конъюнкцию можно обозначать знаком «» или знак конъюнкции опускать.

Примеры

Представить логическими формулами следующие высказывания: 1. «Сегодня суббота или воскресенье» . Решение. Пусть А: «сегодня суббота» и В: «сегодня воскресенье» . Тогда утверждение «сегодня суббота или воскресенье» представимо формулой: A⊕B 2. «Идет снег или дождь» . Решение. Пусть А: «идет снег» и В: «идет дождь» . Тогда логическая формула для высказывания «идет снег или дождь» имеет вид: . A B 3. «Если идет дождь, то крыши мокрые» . Решение. Пусть А: «идет дождь» и В: «крыши мокрые» . Тогда «если идет дождь, то крыши мокрые» представимо формулой: A →B

4. «Что в лоб, что по лбу» . Решение. Пусть А: «в лоб» и В: «по лбу» . Тогда «что в лоб, что по лбу» может иметь вид: A↔B 5. «В квартире грязно и холодно» . Решение. Пусть А: «в квартире грязно» и В: «в квартире холодно» . Тогда «в квартире грязно и холодно» представимо логической формулой: A&B 6. «Если допоздна работаешь с компьютером и при этом пьешь много кофе, то утром просыпаешься в дурном настроении или с головной болью» . Решение. . (A&В) →С ∨Е

Пусть даны высказывания: А: «число 9 делится на 3» В: «число 10 делится на 3» Требуется определить значения истинности следующих высказываний: 1. В → А 2. ¬ A → B 3. ¬ B→ ¬A 4. ¬ B & A 5. A↔B

Задание функций с помощью логических формул Каждую логическую функцию можно задать с помощью формулы. Особую роль в алгебре высказываний играют логические функции одной и двух переменных — унарные и бинарные логические операции. Среди них: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция, неравнозначность (сумма по модулю 2) и др. Эти функции очевидным образом интерпретируются естественными логическими связками «не» , «или» и т. д. , широко используемыми при описании систем, явлений, формализации рассуждений и пр.

Пример •

Таблица истинности А 0 В 0 С 0 1 1 2 1 3 0 4 1 5 0 6 0 7=F 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1

Равносильность формул Назовем эквивалентными (или равносильными) формулы, которые задают равные функции (от одного и того же числа переменных). Равносильность формул в алгебре логики обозначается знаком тождественного равенства ≡ (или символом ). Стандартный метод установления равносильности двух формул: 1) для каждой формуле строится таблица истинности; 2) полученные таблицы сравниваются по каждому набору значений переменных.

Основные эквивалентные соотношения (законы) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. A≡А (закон тождества) A&0 ≡ 0 A 0 ≡A A&1 ≡A A 1 ≡ 1 ¬(¬A) ≡A (закон двойного отрицания) A&(¬A) ≡ 0 (закон логического противоречия)

Основные эквивалентные соотношения (законы) 8) A (¬A)≡ 1 (закон исключенного третьего) 9) A& A ≡ A(идемпотентность конъюнкции) 10) A A ≡ A(идемпотентность дизъюнкции) 11) A&В ≡ В&A(коммутативность конъюнкции) 12) A В ≡ В∨A(коммутативность дизъюнкции) 13)(A&B)&C A&(B&C) (ассоциативность конъюнкции) 14) (A B) C A (B C) (ассоциативность дизъюнкции)

Основные эквивалентные соотношения (законы) •

Основные эквивалентные соотношения (законы) 22) A≡ (A B) &(A ¬B) (второй закон расщепления) 23) A→В≡¬B→¬A (закон контрапозиции) 24) A→В ≡¬ A B≡¬(A&¬В) 25) A B≡(¬A B)&(¬B A)≡ (А&B) ∨(¬A&¬B) 26) A B ≡ (A&¬B)∨(¬A&В) 27) A∨B≡¬ A→B≡¬(¬A&¬B) 28) A&B≡¬(A→¬B)≡¬(¬A ¬B)

Эквивалентные (тождественные) преобразования формул Эквивалентным (или тождественным) преобразованием формулы называют переход к любой формуле, эквивалентной данной. Для преобразований применяется ряд правил. Правило подстановки состоит в замене всех вхождений некоторой переменной А некоторой формулой F. вместо перемен-ной . Это правило применяется к эквивалентным соотношениям для получения новых эквивалентных соотношений.

Эквивалентные (тождественные) преобразования формул По определению, подформула — это часть формулы, сама являющаяся формулой. Правило замены подформул позволяет, используя известные эквивалентные соотношения, получать формулы, эквивалентные данной (в частности, упрощать формулы). Если некоторая формула F содержит G в качестве подформулы, то можно заменить G на эквивалентную ей H. Полученная с помощью такой замены новая формула E эквивалентна исходной F.

Полные системы логических функций

Определение полной системы логических функций •

Определение стандартного базиса •

Другие полные системы функций •

•

Полнота системы { , } •

Базисом Жегалкина Определение. Система функций {⊕, &, 1} называется базисом Жегалкина. В случае использования базиса Жегалкина вместо символа & используется символ умножения ∙ Теорема. Система функций { , ∙, 1} полна. Доказательство. Полнота следует из тождеств: ¬ A≡A⊕ 1 и A∨B≡A⋅B⊕A⊕B ∎

Иванович Жегалкин Ива нович Жега лкин (22. 06 (3. 07) 1869 г. , Мценск, Российская империя — 28. 03. 1947 г. , Москва) — российский и советский математик и логик. Из его открытий наибольшую известность получил так называемый полином Жегалкина.