Скачать презентацию Логические операции над предикатами Продолжение Отрицание предикатов Скачать презентацию Логические операции над предикатами Продолжение Отрицание предикатов

лекция 9 (пс-пед) 6 (2 проф).ppt

  • Количество слайдов: 34

Логические операции над предикатами Продолжение Логические операции над предикатами Продолжение

Отрицание предикатов • Довольно часто приходиться в математике строить предложения, в которых что-либо отрицается. Отрицание предикатов • Довольно часто приходиться в математике строить предложения, в которых что-либо отрицается. • Например: Треугольник АВС не прямоугольный. • Отрицая ложь, мы получаем истину. Отрицая истину, мы получаем ложь.

• Отрицание предиката можно образовать с помощью связки «неверно, что» или с помощью • Отрицание предиката можно образовать с помощью связки «неверно, что» или с помощью частицы «не» . • Например: неверно, что пингвины летают. • Пингвины не летают. • Обозначают отрицание предиката так же, как и отрицание высказываний.

• Определение. Отрицанием предиката P(x) называется новый предикат ¬P(x), который принимает значение «истина» • Определение. Отрицанием предиката P(x) называется новый предикат ¬P(x), который принимает значение «истина» при всех значениях переменной из области определения, при которых предикат P(x) принимает значение «ложь» , и принимает значение «ложь» при всех переменных, при которых P(x) принимает значение «истина» .

• Теорема: множество истинности отрицания предиката P(x) есть дополнение к множеству T(P). • • Теорема: множество истинности отрицания предиката P(x) есть дополнение к множеству T(P). • Доказать самостоятельно!

Импликация предикатов • Определение: • Импликацией предикатов P(x) и Q(x) называется сложный предикат , Импликация предикатов • Определение: • Импликацией предикатов P(x) и Q(x) называется сложный предикат , который является ложным при тех и только тех значениях переменной из области определения, при которых одновременно P(x) – истина, Q(x) - ложь

• Импликация предикатов образуется с помощью связки «если…. . , то» . • • Импликация предикатов образуется с помощью связки «если…. . , то» . • Например: Если 48 кратно 6, то 48 кратно 3. • Данный предикат составлен из двух простых предикатов: • А(х): число 48 кратно 6; • В(х): число 48 кратно 3.

• Поскольку при каждом фиксированном х из области определения предикатов справедлива равносильность то • Поскольку при каждом фиксированном х из области определения предикатов справедлива равносильность то

• Докажем равносильность Для доказательства выберем значение переменной из области определения. Пусть х • Докажем равносильность Для доказательства выберем значение переменной из области определения. Пусть х = а, тогда

Р(а) Q(а) И И И Л Л Л И И И ч. т. д. Р(а) Q(а) И И И Л Л Л И И И ч. т. д.

• • • Например: импликация А(х): если х+2>0, то x>0. составлена из предикатов • • • Например: импликация А(х): если х+2>0, то x>0. составлена из предикатов Р(х): х+2>0 и Q(x): х>0 T(P)=(-2; +∞) T(Q)=(0; +∞) Следовательно,

Эквиваленция предикатов • Определение. Эквиваленцией предикатов P(x) и Q(x) называется сложный предикат P(x) ↔ Эквиваленция предикатов • Определение. Эквиваленцией предикатов P(x) и Q(x) называется сложный предикат P(x) ↔ Q(x), который обращается в «истину» при всех тех и только тех значениях переменной, при которых P(x) и Q(x) оба истинны или оба ложны.

• Понятие эквиваленции предикатов позволяет говорить об отношении следования и равносильности между предикатами. • Понятие эквиваленции предикатов позволяет говорить об отношении следования и равносильности между предикатами. • Правильно использовать слова: • Следовательно; • «Из данного предложения следует» • «отсюда вытекает» …

• Например: A(x)- число х кратно 4; • В(х)- число х кратно 2. • Например: A(x)- число х кратно 4; • В(х)- число х кратно 2. • В каком отношении находятся эти два предиката? • В отношении следования (импликации) или равносильности (эквиваленции)?

• Определение. • Из предиката А(х) следует предикат В(х), если предикат В(х) обращается • Определение. • Из предиката А(х) следует предикат В(х), если предикат В(х) обращается в истинное высказывание при всех тех значениях х, при которых А(х) истинно. • Замечание. В этом случае мы имеем дело с импликацией предикатов.

• С теоретико - множественной точки зрения предикат означает, что • С теоретико - множественной точки зрения предикат означает, что

• Определение: • Предикаты А(х) и В(х) равносильны, если из предиката А(х) следует • Определение: • Предикаты А(х) и В(х) равносильны, если из предиката А(х) следует предикат В(х), а из В(х) следует А(х). • Замечание: в этом случае мы имеем дело с эквиваленцией предикатов.

• С теоретико – множественной точки зрения предикат означает, что • С теоретико – множественной точки зрения предикат означает, что

• Чтобы ответить на поставленный вопрос: в каком отношении находятся предикаты А(х)- число • Чтобы ответить на поставленный вопрос: в каком отношении находятся предикаты А(х)- число х кратно 4 и В(х) – число х кратно 2. Найдем их множества истинности. Т(А)={4, 8, 12, 16, 20…. } Т(В) ={2, 4, 6, 8. 10, 12…} Значит,

• Справедливо предложение: • Из того, что х кратно 4 следует, что число • Справедливо предложение: • Из того, что х кратно 4 следует, что число х кратно 2.

• Предикат прочитать можно по разному: • Из А(х) следует В(х); • Всякое • Предикат прочитать можно по разному: • Из А(х) следует В(х); • Всякое А(х) есть В(х); • Если А(х), то В(х) • В(х) есть следствие А(х) • А(х) есть достаточное условие для В(х) • В(х) есть необходимое условие для А(х)

• Задание: Сформулировать предложение с помощью слов необходимо и достаточно. • 1. Сумма • Задание: Сформулировать предложение с помощью слов необходимо и достаточно. • 1. Сумма двух четных чисел есть четное число. • 2. Если число делится на 2 и на 5, то это число делится на 10.

• Замечание: В начальном курсе математике синонимом слова необходимо является слово «нужно» , • Замечание: В начальном курсе математике синонимом слова необходимо является слово «нужно» , ( «надо» ), а синонимом слова «достаточно» - слово «можно» . • Например: для того чтобы умножить сумму натуральных чисел на 5, нужно (необходимо) каждое слагаемое умножить на 5. • Для того чтобы вычесть число из суммы, можно (достаточно) вычесть его из одного из слагаемых.

Кванторные операции (связывание кванторами) • Определение. Кванторными операциями называются операции, преобразующие предикаты в высказывания. Кванторные операции (связывание кванторами) • Определение. Кванторными операциями называются операции, преобразующие предикаты в высказывания. • Пусть имеется предикат Р(х), определенный на множестве Х. • Р(х) – х-четное число. • Р(4) – 4 четное число. И -высказывание • Р(5) -5 четное число. Л-высказывание • Но существуют еще две операции, которые превращают предикат в высказывания.

Квантор общности • Пусть Р(х) – предикат, определенный на множестве Х. • Под выражением Квантор общности • Пусть Р(х) – предикат, определенный на множестве Х. • Под выражением понимают высказывание, истинное, когда Р(х) истинно для каждого элемента х из множества Х, и ложное в противном случае. Это высказывание уже не зависит от х. Соответствующее ему словесное выражение звучит так: “для всякого х Р(х) истинно ”.

• Символ называют квантором всеобщности (общности). Переменную х в предикате Р(х) называют свободной • Символ называют квантором всеобщности (общности). Переменную х в предикате Р(х) называют свободной (ей можно придавать различные значения из Х), в высказывании же х называют связанной квантором всеобщности.

• Сравните! В параллелограмме В любом диагонали равны. параллелограмме диагонали равны. Число х • Сравните! В параллелограмме В любом диагонали равны. параллелограмме диагонали равны. Число х Всякое число хнатуральное Человек имеет право на труд Каждый человек имеет право на труд

Квантор существования • Пусть P(x) -предикат определенный на множестве Х. • Под выражением понимают Квантор существования • Пусть P(x) -предикат определенный на множестве Х. • Под выражением понимают высказывание, которое является истинным, если существует элемент , для которого P(x) истинно, и ложным – в противном случае. Это высказывание уже не зависит от x. Соответствующее ему словесное выражение звучит так: “Существует x, при котором P(x) истинно. ”

• Символ называют квантором существования. • В высказывании переменная x связана этим квантором • Символ называют квантором существования. • В высказывании переменная x связана этим квантором (на нее навешен квантор).

• Сравните! В параллелограмме В любом диагонали равны. параллелограмме диагонали равны. Существует параллелограмм, • Сравните! В параллелограмме В любом диагонали равны. параллелограмме диагонали равны. Существует параллелограмм, у которого диагонали равны Число х натуральное Всякое число хнатуральное Найдется натуральное число х Человек имеет право на труд Каждый человек имеет право на труд Есть люди, имеющие право на труд Ромб х есть квадрат Любой ромб х есть квадрат Существует ромб х, являющийся квадратом.

• В математике часто встречаются выражения вида “по меньшей мере n” (“хотя бы • В математике часто встречаются выражения вида “по меньшей мере n” (“хотя бы n”), “не более чем n”, “n и только n” (“ровно n”), где n – натуральное число. • Эти выражения, называемые численными кванторами, имеют чисто логический смысл;

• Пусть n=1. • Предложение “По меньшей мере один объект обладает свойством P” • Пусть n=1. • Предложение “По меньшей мере один объект обладает свойством P” имеет тот же смысл, что и предложение “Существует объект, обладающий свойством P”, т. е.

• Предложение “не более чем один объект обладает свойством P” равнозначно предложению “Если • Предложение “не более чем один объект обладает свойством P” равнозначно предложению “Если есть объекты, обладающие свойством P, то они совпадают”, т. е.

• Спасибо за внимание! • Спасибо за внимание!