Логическа алгебра (булева алгебра) - този раздел на математиката, изучава съжденията (твърденията) от гледна точка на тяхното логическо значение (истина или лъжа) и логическите операци над тях.
Джордж Бул
Логическо съждение — това е произволно повествователно предположение (изречение), в отношението на което може еднозначно да се определи, дали е истина или лъжа.
Така, например, предположението " Тревата е зелена" следва да се счита за съждение, тъй като то е истина. Предположението "Лъвът е птица" също е съждение, тъй като то е лъжа (неистина).
Не всяко изречение се явява логическо съждение. Съждения не се явяват , например, изреченията "ученик от десети клас " и "информатиката е интересен предмет".
Употребяваните в обикновената реч думи и словосъчетания "не", "или", "ако. . . , то", "тогава и само тогава" и други позволяват от вече зададени изречения да се строят нови изречения. Тези думи и словосъчетания се наричат логически връзки.
Съждения, образувани от други съждения с помощта на логически връзки се, наричат съставни. Съждения, които не са съставни, се наричат елементарни.
Така, например, от елементарните изречения "Петров е лекар", "Петров е шахматист" с помощта на връзката "и" може да се получи съставно изречение "Петров е лекар и шахматист", разбираемо като "Петров е лекар, добре играещ шах".
С помощта на връзката "или" от тези изречения може да се получи съставно изречение "Петров е лекар или шахматист", разбираемо в логическата алгебра като "Петров или е лекар, или е шахматист, или и лекар и шахматист едновременно".
За да е възможно обръщането към логически изрази, им се назначават имена. Нека чрез А е обозначено твърдението - Иван отива лятото на море", а чрез В – твърдението "Иван лятото се отправя към планината".
Тогава съставното съждение "Иван лятото е бил и на море, и на планина" може за кратко да се запише като А и В. Тук "и" е логическа връзка, А, В са логически променливи, които могат да приемат само две значения - "истина" или "лъжа", обозначаеми, съответно с "1" и "0".
НЕ Операция, изразена с думата "не", се нарича инверсна или отрицание и се обозначава с черта над съждението.
Твърдението А е истина, когато A е лъжа, и лъжа, когато A е истина. Пример. "Луната — спътник на Земята" (А); "Луната — не е спътник на Земята" (А).
И Операция, изразяваща връзката "и", се нарича конюнкция (лат. conjunctio — съединение) или логическо умножение и се обозначава с точка ". " (може също да се обозначава със знака / или &).
Твърдението А · В е истина тогава и само тогава, когато едновременно твърденията А и В са истина. Например, съждението "10 се дели на 2 и 5 и не се дели на 3" е истина, ако твърденията "10 се дели на 2 и 5" и "10 не се дели на 3" — са истина.
ИЛИ Операция, изразяваща връзката "или" (в неизключващ смисъл тази дума), се нарича дизюнкция (лат. disjunctio — разделение) или логическо събиране и се обозначава със знака v (или плюс).
АКО-ТО Операция, изразяваща връзката "ако. . . , то", "от. . . следва", ". . . следователно . . . ", се нарича импликация (лат. implico - тясно свързани) и се обозначава със знака . Твърдението А В е невярно тогава и само тогава, когато А е истина, а В лъжа.
РАВНОСИЛНО Операция, изразяваща връзката "тогава и само тогава", "необходимо и достатъчно", ". . . равносилно. . . ", се нарича еквиваленция или двойна импликация и се обозначава със знака или ~. Твърдението А В е истина тогава и само тогава, когато значенията на А и В съвпадат.
С помощта на логическите променливи и символите за логически операции произволно твърдение може да се формализова, или може да се замени с логическа формула.
Определение логически формули : 1. Всяка логическа променлива и символите "истина" ("1") и "лъжа" ("0") – са формули. 2. Ако А и В – са формули, то А , А · В , А v В , А B , А В - са също формули. 3. Никакви други формули в логическата алгебра няма.
Логически елементи на компютъра -това са електронни логически схеми, които реализират елементарни логически функции.
Логическите елементи на компютъра се явяват електронните схеми И, ИЛИ, НЕ, И—НЕ, ИЛИ—НЕ и други.
Всеки логически елемент има свое условно обозначение, което изразява неговата логическа функция, но не указва с каква именно електронна схема в него е реализиран. Това опростява записа и разбирането на сложни логически схеми.
Таблица на истинност - това е таблично представяне на логическите схеми (операции), в които са изчислени всички възможни съчетания на значението на истинност на входните сигнали (операнди) заедно със значението на истинност на изходните сигнали (резултат от операцията) за всяко от тези съчетания.
Схема И реализира конюнкция на две или повече логически значения. X Y & F=X·Y
Таблица на истинност на схема И X Y X*Y 0 0 0 1 0 1 1 1 Единица на изхода на схема И ще има, тогава когато на всички входове има единици. Когато на единия от входовете има нула, на изхода също ще има нула.
С х е м а ИЛИ Схема ИЛИ реализира дизюнкция на две или повече логически значения. X Y 1 F=X+Y
Таблица на истинност на схеми ИЛИ x y x v y 0 0 1 1 1 0 1 1 Когато на един от входовете на схема ИЛИ има единица, на нейня изход също ще има единица.
С х е м а НЕ Схема НЕ (инвертор) реализира операцията отрицание. Връзката между входа x на тези схеми и изхода F може да се запише със съотношението F = x където х се чете като "не x" или "инверсия х". X 1 F=X
Таблица на истинност на схема НЕ x x 0 1 1 0 Ако на входа на схемата е 0, то на изхода е 1. Когато на входа е 1, на изхода е 0.
С х е м а И—НЕ Схема И—НЕ се състои от елемента И и инвертор и осъществява отрицание на резултата на схема И. Връзката между изхода F и входа x и y схемата записва по следния начин: F=x·y, където x·y се чете като "инверсия на x и y". X Y & F=X·Y
Таблица на истинност на схеми И-НЕ x y X*Y 0 0 1 1 1 0
С х е м а ИЛИ—НЕ Схема ИЛИ—НЕ се състои от елемента ИЛИ и инвертора и осъществява отрицание на резултата на схемата ИЛИ. Връзката между изхода F и входа x и y схемите записват в следния вид : F=x+y, където x+y , се чете като "инверсия x или y ". X Y 1 F=X+Y
Таблица на истинност на схеми ИЛИ —НЕ x y X+Y 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0
Тригер – това е електронна схема, широко използвана в регистрите на компютъра за надеждно запомняне на един разряд двоичен код. Тригера има две устойчиви състояния, едното от които съответствува на двоична единица, а другото на двоична нула.
Най-разпространения тип тригер е така наречения RS-тригер (S и R, съответно, от английски set — зареждане, и reset — нулиране). S R 0 1 Q Q
Суматор – това е електронна логическа схема, извършваща сумиране на двоични числа. Суматора служи, преди всичко, като централен възел на аритметико-логическото устройство на компютъра, като намира приложение също и в други устройства и машини.
Многоразряден двоичен суматор
Скачать презентацию Логическа алгебра булева алгебра — този раздел на
df463e8362a8310efe3dbd27cfa22e39.ppt