ЛОГАРИФМИЧЕСК ИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА МКОУ СОШ

«ЛОГАРИФМИЧЕСК ИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА» МКОУ «СОШ № 32» УЧИТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ ОРШОКДУГОВА РИММА МАЖИДОВНА. 11 «РН» КЛАСС

Определение Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим Где , Оно имеет единственное решение при любом b.

ЛОГАРИФМИЧЕСК ИЕ УРАВНЕНИЯ

Логарифмические неравенства

ЛОГАРИФМИЧЕС КАЯ ФУНКЦИЯ

Логарифмические уравнения – Решу ЕГЭ.

Проблема Дефицит методов решения экзаменационных логарифмических неравенств, предлагаемых в С 3. Ответ на вопрос: а в жизни нашей встречаются логарифмы?

Учебно-исследовательские мини-проекты

«ЛОГАРИФМЫ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ В ПРИРОДЕ И ТЕХНИКЕ» Актуальность Логарифмы появились в ХVI в. под влиянием все возрастающих потребностей практики как средство для упрощения вычислений. Нужны ли они сегодня, когда вычислительная техника достаточно развита, чтобы справляться с самыми сложными расчетами? Так зачем изучают логарифмы сегодня в школе? Цель, задачи Обучающая цель: -научить видеть знакомое в незнакомом; -расширить представление о логарифмической функции; -рассмотреть применение ее свойств в нестандартных ситуациях; Воспитательная цель: -формировать целостную систему знаний и научного мировоззрения; Развивающая цель: - развитие творческого, критического интегративного мышления, развитие самостоятельности; -развивать логическое мышление, познавательный интерес.

ЛОГАРИФМЫ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ Десятичный логарифм: lg a = log 10 a Натуральный логарифм: ln a = loge a, e ≈ 2, 718…

ЛОГАРИФМЫ В ПРИРОДЕ Яркость источников света шкала звездных величин Блеск в астрономии — величина пропорциональная логарифму светового потока. Однако коэффициент пропорциональности отрицателен (при основании логарифма больше единицы), поэтому самым ярким объектам на небе соответствует большая отрицательная величина (– 26, 8 для Солнца), а для самых тусклых — положительная (28 для едва различимых в телескоп звезд) Астрономы измеряют «блеск» небесных светил в звездных величинах

ХИМИЧЕСКАЯ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ — ШКАЛА КИСЛОТНОСТИ Первыми химическими индикаторами были наши вкусовые рецепторы, которыми сегодня пользуются только повара, а раньше Пользовались и химики.

ВОСПРИЯТИЕ ПСИХИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ — ШКАЛА ЭМОЦИЙ Воспоминание академика В. Л. Гинзбурга: «… Ландау имел «шкалу заслуг» в области физики. Шкала была логарифмическая (классу 2 отвечали достижения в 10 раз меньше, чем для класса 1). Из физиков нашего века класс 0, 5 имел только Эйнштейн, к классу 1 относились Бор, Дирак, Гейзенберг и ряд других…» Остается неясным, логарифм по какому основанию — 10 или 2, 512… — использовал Лев Ландау для определения уровня гениальности физиковтеоретиков. Несомненно лишь одно: для этих сугубо эмоциональных, субъективных оценок он использовал логарифмическую шка лу.

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ЛИНЕЙКА ВЫЧИСЛЕНИЕ ЛОГАРИФМОВ, ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ И ДРУГИХ— АНАЛОГОВОЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЕ УСТРОЙСТВО, ПОЗВОЛЯЮЩЕЕ ВЫПОЛНЯТЬ НЕСКОЛЬКО МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ, В ТОМ ЧИСЛЕ, УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ЧИСЕЛ, ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ (ЧАЩЕ ВСЕГО В КВАДРАТ И КУБ) И ВЫЧИСЛЕНИЕ КВАДРАТНЫХ И КУБИЧЕСКИХ КОРНЕЙ И ОПЕРАЦИИ.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ЛИНЕЙКИ В ХХL ВЕКЕ Однако в начале XXI века логарифмические линейки получили второе рождение в наручных часах. Дело в том, что следуя моде производители дорогих и престижных марок часов перешли от электронных хронометров с ЖК- экранами к стрелочным и соответственно места для встраиваемого калькулятора оказалось недостаточно. Однако спрос на хронометры со встроенным вычислительным устройством среди следящих за модой людей заставил производителей часов выпустить модели с встроенной логарифмической линейкой выполненной в виде вращающихся колец со шкалами вокруг циферблата.

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ СПИРАЛЬ, плоская кривая, описываемая точкой, движущейся по прямой, которая вращается около одной из своих точек О (полюса логарифмической спирали) Раковины многих моллюсков, улиток, а также рога горных козлов закручены по логарифмической спирали

НИКОГДА ЕЩЕ В ПРИРОДЕ НЕ СУЩЕСТВОВАЛО СТОЛЬ СОВЕРШЕННОГО ПРИМЕРА ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ СПИРАЛЕЙ…) Логарифмические линии в природе замечают не только математики, но и художники, например, этот вопрос чрезвычайно волновал Сальвадора Дали. картина Вермера «Кружевница»

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ СПИРАЛЬ В ТЕХНИКЕ Логарифмическая спираль пересекает свои радиус-векторы под постоянным углом. На основании этого ее называют равноугольной. Это свойство находит свое применение в технике. Дело в том, что в технике часто применяются вращающиеся ножи. Сила с которой они давят на разрезаемый материал, зависит от угла резания, т. е. угла между лезвием ножа и направлением скорости вращения. Для постоянного давления нужно, чтобы угол резания сохранял постоянное значение, а это будет в том случае, если лезвия ножей очерчены по дуге логарифмической спирали. Величина угла резания зависит от обрабатываемого материала. В гидротехнике по логарифмической спирали изгибают трубу, проводящую поток воды к лопастям турбины. Благодаря такой форме трубы потери энергии на изменение направления течения в трубе оказываются минимальными и напор воды используется с максимальной производительностью. Нажимая на клавиши современного рояля, мы, можно сказать, играем на логарифмах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Поистине безграничны приложения логарифмической функции и логарифмов в самых различных областях науки и техники. Многообразное применение функции вдохновило английского поэта Э. Брилла на написание оды о логарифмах. Были поэты, которые не посвящали логарифмам целых од, но упоминали их в своих стихах. Известный поэт Борис Слуцкий в своём нашумевшем стихотворении «Физики и лирики» писал: «Потому-то, словно пена, Опадают наши рифмы И величие степенно Отступает в логарифмы» . Выполняя данную работу, я сделала для себя открытие, что логарифмы и логарифмическая функция помогли человеку следовать путём технического прогресса и объяснить многие тайны природы, человеческих ощущений. Быть может человечество стоит на пороге новых революционных открытий, и поможет нам в этом «царица наук» - математика!

Равносильные уравнения. Определение 1. Два уравнения с одной переменной и называют равносильными, если множества их корней совпадают. Иными словами, два уравнения называют равносильными, если они имеют одинаковые корни (например и ) или если оба уравнения не имеют корней (например , и )

Определение 2. Если каждый корень уравнения является в то же время корнем уравнения то второе уравнения называют следствием первого. Например, уравнение является следствием уравнения , в то же время уравнение не является следствием уравнения .

Определение 3. Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого. Определение 4. Областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения называют множество тех значений переменной, при которых одновременно имеют смысл выражения и .

Основные методы решения логарифмических уравнений 1) по определению логарифма; например, уравнение loga х = b (а > 0, а≠ 1, b>0 ) имеет решение х = аb. 2) функционально-графический метод;

3) метод потенцирования; Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их: если , loga f(х) = loga g(х), то f(х) = g(х), f(х)>0, g(х)>0 , а > 0, а≠ 1.

4. Метод введение новой переменной. 5. Метод логарифмирования обеих частей уравнения. 6. Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию.

Этапы решения уравнения • Найти область допустимых значений (ОДЗ) переменной • Решить уравнение, выбрав метод решения • Проверить найденные корни непосредственной подстановкой в исходное уравнение или выяснить, удовлетворяют ли они условиям ОДЗ

Виды простейших логарифмических уравнений и методы их решения Уравнение Решение

Уравнения вида loga f(x) = b, a > 0, a ≠ 1. Уравнения данного вида решаются по определению логарифма с учётом области определения функции f(x). Уравнение равносильно следующей системе

Уравнения вида logf(x) b = с, b > 0. Данное уравнение равносильно следующей системе

Решить уравнения: 1. log 3(5 х – 1) = 2. 2. log 2(х – 5) + log 2(х + 2) = 3. 3. log 3 (x 2 – 3 x – 5) = log 3 (7 – 2 x). 4. logx– 19 = 2. 5. log 6 (x – 1) = 2 – log 6 (5 x + 3).

Метод потенцирования применяется в том случае, если все логарифмы, входящие в уравнение, имеют одинаковое основание. Для приведения логарифмов к общему основанию используются формулы:

log 2 х – 2 logх2 = – 1 Решение: ОДЗ: x > 0, х ≠ 1 Используя формулу перехода к новому основанию, получим

Обозначим

Решить уравнения:

Введение новой переменной где a > 0, a 1, A, В, С – действительные числа. Пусть t = loga f(x), t R. Уравнение примет вид t 2 + Bt + C = 0. Решив его, найдём х из подстановки t = loga f(x). Учитывая область определения, выберем только те значения x, которые удовлетворяют неравенству f(x) > 0.

Пример 1. Решить уравнение lg 2 x – lg x – 6 = 0. Решение. Область определения уравнения – интервал (0; ). Введём новую переменную t = lg x, t R. Уравнение примет вид t 2 – t – 6 = 0. Его корни t 1 = – 2, t 2 = 3.

Вернёмся к первоначальной переменной lg x = – 2 или lg x = 3, х = 10 – 2 или х = 10 3. Оба значения x удовлетворяют области определения данного уравнения (х > 0). Ответ. х = 0, 01; х = 1000.

Пример 2. Решить уравнение Решение. Найдём область определения уравнения Применив формулу логарифма степени, получим уравнение

Так как х < 0, то | x | = –x и следовательно

Решить уравнения

Решить уравнение 3 = log 28 Найдём область Область определения уравнения: уравнения 2 -x >0 1 < x < 2 x-1 >0 Данный корень удовлетворяет области определения уравнения 1 < x < 2

Решить уравнение Область определения уравнения x > 1 х = 6

Решить уравнение Область определения уравнения части Умножим обе уравнения на log 3(x + x+1>0, x+1≠ 1 1) x > -1, x≠ 0 Данный корень удовлетворяет области определения уравнения (log 3(x + 1)– 1)2 = 0 log 3(x + 1) = 1 x = 2

Решить уравнение (1 + log 3 x) log 3 x = 2. Область определения уравнения x > 0 t = log 3 x Так как при х > 0 обе части уравнения (1 + t) t = 2 положительны, а функция y = logt 2 + t – 2 = 0 t монотонна прологарифмируем обе части уравнения t 1 = – 2, t 2 = 1 log 3 x = – 2, log 3 x = 1/9, х = 3 3 Оба корня входят в область определения уравнения

Решить уравнение logb a + logb c = logb (ac)

Решить уравнение Найдём область определения уравнения t = log 3 (–x) Так как х < 0, то | x | = –x t 2 – 4 t + 4 = 0 t 1, 2 = 2 log 3 (–x) = 2 –х = 9 Данный корень входит в область определения уравнения х = – 9

Решить уравнение lg 2100 x + lg 210 x + lgx = 14 lg 2100 x = (lg 100 x)2 = (lg 100 + lgx)2 = (2 + lgx)2 lg 210 x = (lg 10 x)2 = (lg 10 + lgx)2 = (1 + lgx)2 t = lgx (2 + t)2 + (1 + t)2 + t = 14 2 t 2 + 7 t - 9 = 0 t 1 = -9/2 и t 2 = 1 lg 2100 x + lg 210 x + lgx = 14 Область определения уравнения x>0 lgx = -9/2 lgx =1 По определения логарифма выражаем x: Оба корня удовлетворяют области определения

Решить уравнение Область определения уравнения определяется условиями Данный корень удовлетворяет области определения уравнения

Уравнения – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы С. Коваль Источники q. Алгебра и начала анализа 3600 задач для школьников и поступающих в вузы Звавич Л. И. , Шляпочкин Л. Я. , Чинкина М. В. q. Соболь Б. В. , Виноградова И. Ю. , Рашидова Е. В. Пособие для подготовки к ЕГЭ и централизованному тестированию по математике. Изд. 3 -е. – Р н/Д: «Феникс» , 2003. – 352 с. q http: //edu. nstu. ru/courses/dovuz/urner/demo/Log/Teor/Fru_m. htm q http: //www. math. md/school/praktikum/logr. html

УЧЕБНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ «ЛОГАРИФМЫ В ЕГЭ И НЕ ТОЛЬКО… » ВЫПОЛНИЛА Карамурзова Д. УЧЕНИЦА 11 РН КЛАССА МКОУ СОШ № 32 УЧИТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ Оршокдугова Р. М.

СХЕМА ПРЕЗЕНТАЦИИ Проблема История вопроса Цель Проектный продукт План работы Выводы

ПРОБЛЕМА Дефицит методов решения экзаменационных логарифмических неравенств, предлагаемых в С 3. Ответ на вопрос: а в жизни нашей встречаются логарифмы?

ЦЕЛЬ Исследование механизма решения задач С 3 при помощи нестандартных методов Выявление интересных фактов логарифмов

ПЛАН РАБОТЫ Подборка математической литературы по теме исследования. Отбор задач по методам решения. Составление сборника задач и презентации «Логарифмы вокруг нас» . Письменное оформление исследовательской работы. Выполнение презентации к выступлению на конференции.

ИСТОРИЯ ВОПРОСА Слово логарифм происходит от греческого λογο(число)и ρίνμοφ (отношение) и переводится, следовательно, как отношение чисел. Выбор изобретателем (1594 г. ) логарифмов Джоном Непером такого названия объясняется тем, что логарифмы возникли при сопоставлении двух чисел, одно из которых является членом арифметической прогрессии, а другое – геометрической. Ежели под геометрическою прогрессиею, начинающеюся с единицы, подписана будет арифметическая прогрессия, начинающаяся с нуля, то числа, внизу подписанные, называются для верхних – логарифмы. Положим, что даны прогрессии: геом. 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, арифм. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Тогда логарифм 1 будет 0; логарифм 4 будет 2; а логарифм 32 будет 5 и проч. » Джон Непер (Шотландия, 17 век)

ПРОЕКТНЫЙ ПРОДУКТ Сборник « Задачи С 3 с решениями» (32 уравнения) Презентация «Логарифмы вокруг нас»

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ Равносильные переходы и обобщённый метод интервалов Метод рационализации Нестандартная подстановка Задания с ловушками (свойства функций)

ПРИМЕР ИЗ СБОРНИКА

ПРИМЕР ИЗ СБОРНИКА

СОДЕРЖАНИЕ ПРЕЗЕНТАЦИИ «ЛОГАРИФМЫ ВОКРУГ НАС» Логарифмическая спираль Звёзды и логарифмы Шумы и логарифмы Живопись и логарифмы

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ СПИРАЛЬ «УДИВИТЕЛЬНОЕ РЯДОМ»

ЛОГАРИФМЫ И ЖИВОПИСЬ Логарифмически е линии в природе замечают не только математики, но и художники, например, этот вопрос чрезвычайно волновал Сальвадора Дали.

ВЫВОДЫ Поставленная цель проекта достигнута, проблема решена. А я получила наиболее полный и разносторонний опыт проектной деятельности на всех этапах работы. В ходе работы над проектом у меня основное развивающее воздействие было оказано на мыслительную компетентность, деятельность, связанную с логическими мыслительными операциями, развитие творческой компетентности, личной инициативы, ответственности, настойчивости, активности. Гарантией успеха при создании исследовательского проекта для меня стали: значительный школьный опыт, умение добывать информацию из различных источников, проверять ее достоверность, ранжировать ее по значимости. Кроме непосредственно предметных знаний по математике, расширила свои практические навыки в области информатики, получила новые знания и опыт в области психологии, наладила контакты с одноклассниками, научилась сотрудничать с взрослыми людьми. В ходе проектной деятельности развивались организационные, интеллектуальные и коммуникативные общеучебные умения и навыки.

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. Корянов А. Г. , Прокофьев А. А. Системы неравенств с одной переменной (типовые задания С 3) 2. Малкова А. Г. Подготовка к ЕГЭ по математике. 3. Самарова С. С. Решение логарифмических неравенств. 4. Математика. Сборник тренировочных работ под редакцией А. Л. Семёнова и И. В. Ященко. -М. : МЦНМО, 2009. - 72 с. - 5 Математика. Тематические тесты. Часть 2. Подготовка к ЕГЭ -2010. 10 -11 классы / Ф. Ф. Лысенко. — Ростов-на-Дону: Легион, 2009. — 176 с. — (Готовимся к ЕГЭ ) 6. Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ : 2010: Математика /авт. -сост. И. Р. Высоцкий, Д. Д. Гущин, П. И. Захаров и др. ; 7. Ященко И. В. , Шестаков С. А. , Захаров П. И. Подготовка к ЕГЭ по математике в 2010 году. Методические рекомендации. 8. Универсальные материалы для подготовки учащихся / ФИПИ — М: Интеллект-Центр, 2010. — 96 с. (Под редакцией А. Л. Семенова и И. В. Ященко) 9. Сайт Дмитрия Гущина «РЕШУ ЕГЭ»

Спасибо!