Скачать презентацию ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Построение n Параметрические уравнения n Скачать презентацию ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Построение n Параметрические уравнения n

13.Линии второго порядка.ppt

  • Количество слайдов: 46

ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Построение n Параметрические уравнения n Уравнение в полярных координатах n Касательные ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Построение n Параметрические уравнения n Уравнение в полярных координатах n Касательные n. Общее уравнение n Классификация ЛВП n

Линии второго порядка n Геометрические места точек (ГМТ) n n Эллипс Гипербола Парабола Конические Линии второго порядка n Геометрические места точек (ГМТ) n n Эллипс Гипербола Парабола Конические сечения 2

Определение и построение конических сечений Конические сечения - траектории точек, образованные при пересечении плоскостей Определение и построение конических сечений Конические сечения - траектории точек, образованные при пересечении плоскостей и конусов n Геометрические места точек (ГМТ) n 3

Определение параболы, Менехм (IV в. до н. э. ) Определение параболы, Менехм (IV в. до н. э. )

Определение параболы по Менехму n Квадрат на полухорде LM в каждой точке сечения равен Определение параболы по Менехму n Квадрат на полухорде LM в каждой точке сечения равен прямоугольнику PLSК, построенному на отрезке PL оси до вершины на постоянном отрезке PК. n PК – фокальный параметр

Конические сечения, Аполлоний Пергский (III в. до н. э. ) Конические сечения, Аполлоний Пергский (III в. до н. э. )

Вырожденные конические сечения Вырожденные конические сечения

Линии второго порядка n Геометрические места точек (ГМТ) n Эллипс Гипербола Парабола n ? Линии второго порядка n Геометрические места точек (ГМТ) n Эллипс Гипербола Парабола n ? n n n Конические сечения n n n Эллипс Гипербола Парабола Точка Пара пересекающихся прямых 8

Определение и построение конических сечений Конические сечения - траектории точек, образованные при пересечении плоскостей Определение и построение конических сечений Конические сечения - траектории точек, образованные при пересечении плоскостей и конусов n Геометрические места точек (ГМТ) n 9

ЭЛЛИПС ЭЛЛИПС

ГИПЕРБОЛА ГИПЕРБОЛА

ПАРАБОЛА ПАРАБОЛА

ПАРАБОЛА ПАРАБОЛА

Проективное определение ЛВП Проективное определение ЛВП

Виды уравнений ГМТ n Общее (неявное) уравнение n Явное уравнение n Параметрические уравнения Виды уравнений ГМТ n Общее (неявное) уравнение n Явное уравнение n Параметрические уравнения

Виды уравнений эллипса с центром О n Каноническое уравнение n Явное уравнение Виды уравнений эллипса с центром О n Каноническое уравнение n Явное уравнение

Параметрические уравнения эллипса n n Задача. Отрезок постоянной длины скользит концами по сторонам прямого Параметрические уравнения эллипса n n Задача. Отрезок постоянной длины скользит концами по сторонам прямого угла. Найти линию, описываемую точкой М движущегося отрезка.

Параметрические уравнения эллипса n n Пусть точка М делит отрезок АВ на части а Параметрические уравнения эллипса n n Пусть точка М делит отрезок АВ на части а и b. Тогда х=ОМ 1=a cos t у=ОМ 2=b sin t n n n здесь для I коорд. четверти, аналогично для II-IV четвертей 0 t 2

Уравнения эллипса, гиперболы, параболы в полярных координатах n n Общее свойство: Отношение фокального расстояния Уравнения эллипса, гиперболы, параболы в полярных координатах n n Общее свойство: Отношение фокального расстояния точки линии к расстоянию от нее до соответствующей директрисы равно эксцентриситету

Уравнения эллипса, гиперболы, параболы в полярных координатах n n Введем полярную систему координат: Полюс Уравнения эллипса, гиперболы, параболы в полярных координатах n n Введем полярную систему координат: Полюс – один из фокусов F n n n Полярная ось – фокальная n n для эллипса – левый для гиперболы – правый сонаправлена Ох ε – эксцентриситет линии

Уравнения эллипса, гиперболы, параболы в полярных координатах Уравнения эллипса, гиперболы, параболы в полярных координатах

Уравнения эллипса, гиперболы, параболы в полярных координатах Уравнения эллипса, гиперболы, параболы в полярных координатах

Уравнения эллипса, гиперболы, параболы в полярных координатах Уравнения эллипса, гиперболы, параболы в полярных координатах

Уравнения эллипса, гиперболы, параболы в полярных координатах где n r – фокальный радиус точки Уравнения эллипса, гиперболы, параболы в полярных координатах где n r – фокальный радиус точки – полярный радиус, n р – фокальный параметр (расстояние от фокуса до директрисы), n - эксцентриситет, n - полярный угол точки

Уравнения эллипса, гиперболы, параболы в полярных координатах n - эксцентриситет n n n 0 Уравнения эллипса, гиперболы, параболы в полярных координатах n - эксцентриситет n n n 0 1 – эллипс, =0 – окружность 1 – гипербола =1 – парабола

Уравнения эллипса, гиперболы, параболы в полярных координатах n - полярный угол точки n n Уравнения эллипса, гиперболы, параболы в полярных координатах n - полярный угол точки n n n при 0 1 – эллипс, =0 – окружность =1 – парабола 1 – гипербола § для правой ветви для левой ветви § где 0 - угол между асимптотами §

Касательные к линиям второго порядка n Уравнение ЛВП Эллипс n Окружность n Гипербола n Касательные к линиям второго порядка n Уравнение ЛВП Эллипс n Окружность n Гипербола n Парабола Уравнение касательной

Виды уравнений эллипса n n Каноническое уравнение Явное уравнение n Параметрические уравнения n Уравнение Виды уравнений эллипса n n Каноническое уравнение Явное уравнение n Параметрические уравнения n Уравнение в полярных координатах

Виды уравнений гиперболы n Заполнить самостоятельно n Каноническое уравнение n Явное уравнение n Параметрические Виды уравнений гиперболы n Заполнить самостоятельно n Каноническое уравнение n Явное уравнение n Параметрические уравнения n Уравнение в полярных координатах

Виды уравнений параболы n Заполнить самостоятельно n Каноническое уравнение n Явное уравнение n Параметрические Виды уравнений параболы n Заполнить самостоятельно n Каноническое уравнение n Явное уравнение n Параметрические уравнения n Уравнение в полярных координатах

Общее уравнение эллипса n Каноническое уравнение n Общее уравнение Общее уравнение эллипса n Каноническое уравнение n Общее уравнение

Общее уравнение эллипса n Каноническое уравнение n Общее уравнение Общее уравнение эллипса n Каноническое уравнение n Общее уравнение

Общее уравнение гиперболы Общее уравнение гиперболы

Общее уравнение параболы Общее уравнение параболы

Общее уравнение ЛВП Общее уравнение ЛВП

Общее уравнение ЛВП Общее уравнение ЛВП

Общее уравнение ЛВП n n Теорема Уравнение вида всегда определяет: либо окружность (А=С), либо Общее уравнение ЛВП n n Теорема Уравнение вида всегда определяет: либо окружность (А=С), либо эллипс (АС 0, т. е. А и С одного знака), либо гиперболу (АС 0, т. е. А и С разных знаков). n Примечание. Возможны случаи: q q эллипс вырождается в точку, эллипс – в мнимый эллипс, гипербола – в пару пересекающихся прямых, парабола – в пару параллельных прямых.

Общее уравнение ЛВП n n 2. Общее уравнение ЛВП, с осями симметрии, не параллельными Общее уравнение ЛВП n n 2. Общее уравнение ЛВП, с осями симметрии, не параллельными координатным осям Линии соответствует уравнение: n n n Это уравнение называется общим уравнением линии второго порядка. Общее уравнение второго порядка определяет на плоскости линию второго порядка

Общее уравнение линии n n Общее уравнение первого порядка относительно переменных х и у Общее уравнение линии n n Общее уравнение первого порядка относительно переменных х и у определяет на плоскости линию первого порядка - прямую Общее уравнение второго порядка относительно переменных х и у определяет на плоскости линию второго порядка

Общее уравнение ЛВП n Общее уравнение линии второго порядка n Определитель называется дискриминантом Общее уравнение ЛВП n Общее уравнение линии второго порядка n Определитель называется дискриминантом

Классификация ЛВП: Типы ax 2 + by 2 + c = 0 1. Эллипс Классификация ЛВП: Типы ax 2 + by 2 + c = 0 1. Эллипс n 2. 3. Окружность Мнимый эллипс n n Мнимая окружность Точка (пара мнимых пересекающихся прямых) а, b одного знака, c противоположного a, b, c одного знака n n a=b a, b одного знака, c=0

Типы ЛВП ax 2 + by 2 + c = 0 4. Гипербола n Типы ЛВП ax 2 + by 2 + c = 0 4. Гипербола n а, b разных знаков, 5. Пара пересекающихся прямых n a, b разных знаков, c=0

Типы ЛВП аx 2 + dy = 0 6. Парабола n а и d Типы ЛВП аx 2 + dy = 0 6. Парабола n а и d отличны от нуля

Типы ЛВП ax 2 + by 2 + c = 0 7. Пара параллельных Типы ЛВП ax 2 + by 2 + c = 0 7. Пара параллельных прямых n n 8. 9. Пара мнимых параллельных прямых Пара совпавших прямых n a=0, b и с разных знаков или b=0, a и с разных знаков a=0, b и с одного знака или b=0, a и с одного знака a=с=0 или b=с=0

Типы ЛВП (заполнить таблицу) Типы ЛВП (заполнить таблицу)

Упрощение общего уравнения ЛВП n Приведение общего уравнения ЛВП к каноническому виду: q q Упрощение общего уравнения ЛВП n Приведение общего уравнения ЛВП к каноническому виду: q q q 1 способ. Выделение полных квадратов переменных 2 способ. Применение формул преобразования координат (с исследованием линии второго порядка) 3 способ. Определение коэффициентов при помощи инвариантов (выражений, значения которых не изменяются при преобразованиях)