Скачать презентацию Линейные оптимизационные модели задачи линейного программирования СОДЕРЖАНИЕ Скачать презентацию Линейные оптимизационные модели задачи линейного программирования СОДЕРЖАНИЕ

d0866721d84d5161535a826aece7084b.ppt

  • Количество слайдов: 196

Линейные оптимизационные модели (задачи линейного программирования) Линейные оптимизационные модели (задачи линейного программирования)

СОДЕРЖАНИЕ ( линейная оптимизация) 1. Примеры задачи линейного программирования (ЗЛП) 2. Основные понятия ЗЛП СОДЕРЖАНИЕ ( линейная оптимизация) 1. Примеры задачи линейного программирования (ЗЛП) 2. Основные понятия ЗЛП 3. Графический метод решения ЗЛП 4. Симплексный метод решения ЗЛП 5. Двойственный симплексный метод 6. Двойственные задачи линейного программирования

СОДЕРЖАНИЕ (линейная оптимизация) 7. Транспортная задача линейного программирования 8. Модели целочисленного линейного программирования 9. СОДЕРЖАНИЕ (линейная оптимизация) 7. Транспортная задача линейного программирования 8. Модели целочисленного линейного программирования 9. Теория игр линейном программировании 10. Теория массового обслуживания 11. Сетевые модели

Список рекомендуемой литературы (основная) • Экономико математические методы и прикладные модели: учебник для бакалавриата Список рекомендуемой литературы (основная) • Экономико математические методы и прикладные модели: учебник для бакалавриата и магистратуры, 4 е изд. переработанное и дополненное/ В. В. Федосеев, А. Н. Гармаш и др. : Под ред. проф. В. В. Федосеева – М. : ЮРАЙТ, 2014. 327 с. • Исследование операций в экономике: учебн. пособие для вузов, 3 е изд. переработанное и дополненное/ Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко и др. : Под ред. проф. Н. Ш. Кремера – М. : ЮРАЙТ, 2013. 423 с.

Список рекомендуемой литературы (основная) • Математика для экономического бакалавриата : учебник по направлению Список рекомендуемой литературы (основная) • Математика для экономического бакалавриата : учебник по направлению "Экономика « / М. С. Красс, Б. П. Чупрынов. – М. : ИНФРА М, 2013. – 472 с. • Математические методы и модели исследования операций: учебн. пособие: Под ред. проф. В. А. Колемаева – М. : ЮНИТИ ДАНА, 2012. 592 с. • В. Г. Карманов. Математическое программирование. Учебное пособие. Издательство: ФИЗМАТЛИТ, 2011. 264 с.

Список рекомендуемой литературы (основная) • И. Л. Акулич. Математическое программирование в примерах и задачах. Список рекомендуемой литературы (основная) • И. Л. Акулич. Математическое программирование в примерах и задачах. Лань, 2011. 352 с. • О. О. Замков, А. В. Толстопятенко. Математические методы в экономике. Учебники МГУ им. М. В. Ломоносова – 5 е издание. : Дело и сервис, 2009. 685 с. • А. И. Стрикалов, И. А. Печенежская. Экономико математические методы и модели. Пособие к решению задач – Ростов на Дону: Феникс, 2008. 347 с.

Список дополнительной литературы • Б. Т. Кузнецов. Математические методы и модели исследования операций. Учеб. Список дополнительной литературы • Б. Т. Кузнецов. Математические методы и модели исследования операций. Учеб. пособие для студентов вузов. – М. : ЮНИТИ, 2005. 390 с. • Е. В. Бережная, В. И. Бережной. Математические методы моделирования экономических систем: Учеб. пособие. – 2 е изд. , перер. и доп. М. : Финансы и статистика, 2006. 432 с.

1. Примеры задачи линейного • Задача оптимального планирования • Для изготовления двух видов продукции 1. Примеры задачи линейного • Задача оптимального планирования • Для изготовления двух видов продукции и используют три вида ресурсов , , . Запасы ресурсов, число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, приведены в таблице.

1. Примеры задачи линейного программирования Вид ресурса Количество ресурсов на Запасы единицу продукции ресурсов 1. Примеры задачи линейного программирования Вид ресурса Количество ресурсов на Запасы единицу продукции ресурсов 2 3 24 3 1 18 1 4 12

1. Примеры задачи линейного программирования Прибыль, получаемая от единицы продукции и соответственно 3 и 1. Примеры задачи линейного программирования Прибыль, получаемая от единицы продукции и соответственно 3 и 5 д. е. Необходимо составить такой план производства продукции, при котором прибыль от её реализации будет максимальной. Решение. Составим экономико математическую модель задачи. Обозначим через количество единиц продукции и соответственно, тогда ЗЛП примет вид:

1. Примеры задачи линейного программирования 1. Примеры задачи линейного программирования

1. Примеры задачи линейного программирования Задача о составлении рациона (задача о диете) Задача заключается 1. Примеры задачи линейного программирования Задача о составлении рациона (задача о диете) Задача заключается в составлении диеты нужной питательности с минимальными затратами на нее. Даны три вида продуктов, содержащие питательные вещества: жиры, белки, углеводы и витамины. Известны: суточная потребность в питательных веществах ; количество питательных веществ в единице каждого продукта ; стоимость единицы каждого продукта . Исходные данные поместим в таблицу. План называется

1. Примеры задачи линейного программирования Виды Количество питательных Суточная • Эти исходные данные поместим 1. Примеры задачи линейного программирования Виды Количество питательных Суточная • Эти исходные данные поместим в питательных веществ в единице продукта потребность в таблицу. Продукт 1 Продукт 2 Продукт 3 питательных веществах Белки Жиры Углеводы Витамины Стоимость единицы продукта

1. Примеры задачи линейного программирования Решение. Обозначим через -количество единиц продукта 1, -количество единиц 1. Примеры задачи линейного программирования Решение. Обозначим через -количество единиц продукта 1, -количество единиц продукта 2, -количество единиц продукта 3, тогда задачу о диете можно записать в виде:

2. Основная ЗЛП Основной ЗЛП называется задача, которая состоит в определении оптимального значения целевой 2. Основная ЗЛП Основной ЗЛП называется задача, которая состоит в определении оптимального значения целевой функции, при условии, что система ограничений представлена в виде системы уравнений

2. Основная ЗЛП • (1) • (2) 2. Основная ЗЛП • (1) • (2)

2. Краткая запись основной ЗЛП при ограничениях 2. Краткая запись основной ЗЛП при ограничениях

2. Векторная запись основной ЗЛП при условии где скалярное произведение векторов, , . 2. Векторная запись основной ЗЛП при условии где скалярное произведение векторов, , . . . , вектор столбцы составленные из коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы уравнений (2) ЗЛП.

2. Стандартная ЗЛП Стандартной (или симметричной) ЗЛП называется задача, которая состоит в определении оптимального 2. Стандартная ЗЛП Стандартной (или симметричной) ЗЛП называется задача, которая состоит в определении оптимального значения целевой функции, при условии , что система ограничений представлена в виде системы неравенств

2. Стандартная ЗЛП(продолжение) при ограничениях 2. Стандартная ЗЛП(продолжение) при ограничениях

2. ОБЩАЯ ЗЛП Общей ЗЛП называется задача, которая состоит в определении оптимального (максимального или 2. ОБЩАЯ ЗЛП Общей ЗЛП называется задача, которая состоит в определении оптимального (максимального или минимального) значения линейной целевой функции, в которой система ограничений может содержать как равенства так и неравенства.

2. ОБЩАЯ ЗЛП (продолжение) при условиях 2. ОБЩАЯ ЗЛП (продолжение) при условиях

2. Определение Допустимым решением (или планом) ЗЛП называют неотрицательные значения переменных, удовлетворяющие системе ограничений. 2. Определение Допустимым решением (или планом) ЗЛП называют неотрицательные значения переменных, удовлетворяющие системе ограничений.

2. Определение Оптимальным решением ЗЛП называют допустимое решение , при котором целевая функция принимает 2. Определение Оптимальным решением ЗЛП называют допустимое решение , при котором целевая функция принимает максимальное или минимальное значение.

2. Определение План называется опорным планом основной задачи линейного программирования, если система векторов , 2. Определение План называется опорным планом основной задачи линейного программирования, если система векторов , входящих в разложение с положительными коэффициентами линейно независима.

3. Геометрическая интерпретация ЗЛП • Рассмотрим ЗЛП, содержащую две переменные и записанную в стандартной 3. Геометрическая интерпретация ЗЛП • Рассмотрим ЗЛП, содержащую две переменные и записанную в стандартной форм • (3) • (4)

3. Геометрическая интерпретация ЗЛП Каждое неравенство системы ограничений (4) геометрически определяет полуплоскость с граничными 3. Геометрическая интерпретация ЗЛП Каждое неравенство системы ограничений (4) геометрически определяет полуплоскость с граничными прямыми: Условия неотрицательности переменных определяют полуплоскости с граничными прямыми .

3. Геометрическая интерпретация ЗЛП • Если система ограничений (4) совместна, то полуплоскости пересекаясь образуют 3. Геометрическая интерпретация ЗЛП • Если система ограничений (4) совместна, то полуплоскости пересекаясь образуют общую часть, которая представляет собой совокупность точек, координаты которых удовлетворяют каждому неравенству системы ограничений (4). Геометрически совокупность этих точек представляет собой выпуклый многоугольник, который называют областью допустимых решений ( ОДР ) ЗЛП. • Координаты каждой точки (как внутри так и на границе) многоугольника допустимых решений удовлетворяют системе ограничений (4).

3. Графический метод решения ЗЛП • Замечание. ОДР может быть: ограниченным многоугольником; неограниченным многоугольником; 3. Графический метод решения ЗЛП • Замечание. ОДР может быть: ограниченным многоугольником; неограниченным многоугольником; лучом; отрезком; точкой. • Графический метод основан на геометрической интерпретации задачи линейного программирования и заключается в построении многоугольника допустимых решений, каждая точка которого является допустимым решением ЗЛП.

3. Графический метод решения ЗЛП • Далее, среди бесчисленного множества допустимых решений, требуется отыскать 3. Графический метод решения ЗЛП • Далее, среди бесчисленного множества допустимых решений, требуется отыскать такое решение, то есть найти такую точку, координаты которой обращают в max или min целевую функцию L. • Условимся называть L=0 (без свободного члена) основной прямой: L= .

3. Графический метод решения ЗЛП • Теорема. Целевая функция задачи линейного программирования достигает своего 3. Графический метод решения ЗЛП • Теорема. Целевая функция задачи линейного программирования достигает своего оптимального значения в одной из вершин многоугольника допустимых решений. • Замечание. Если линейная функция принимает оптимальное значение более, чем в одной угловой точке, то она достигает того же значения в любой точке, являющейся выпуклой линейной комбинацией этих точек.

3. Графический метод решения ЗЛП • Графический метод решения ЗЛП включает следующие этапы: • 3. Графический метод решения ЗЛП • Графический метод решения ЗЛП включает следующие этапы: • строят граничные прямые, уравнения которых получают в результате замены в системе ограничений ЗЛП знаков неравенств на знаки точных равенств; • находят полуплоскости, определяемые каждым из ограничений неравенств ЗЛП; • находят многоугольник решений (область допустимых решений);

3. Графический метод решения ЗЛП - строят основную прямую L= , проходящую через начало 3. Графический метод решения ЗЛП - строят основную прямую L= , проходящую через начало координат и перпендикулярную вектору ; перемещают основную прямую L= 0 в направлении вектора или в противоположном направлении вектора. В результате находят точку, в которой целевая функция принимает оптимальное решение, либо устанавливают неограниченность функции на множестве допустимых решений (планов).

3. Графический метод решения ЗЛП Пример. Решить ЗЛП графическим методом (5) (6) • В 3. Графический метод решения ЗЛП Пример. Решить ЗЛП графическим методом (5) (6) • В координатной плоскости построим граничные прямые (7) и для каждого неравенства системы (6) отметим допустимые полуплоскости и получим многоугольник допустимых решений АВСD.

3. Графический метод решения ЗЛП Граничные прямые: 3. Графический метод решения ЗЛП Граничные прямые:

3. Графический метод решения ЗЛП Построим основную прямую , то есть , проходящую через 3. Графический метод решения ЗЛП Построим основную прямую , то есть , проходящую через начало координат , перпендикулярно вектору . Перемещая основную прямую в направлении вектора , находим максимальную точку А и минимальную точку С. Решим систему уравнений найдем координаты точки

3. Графический метод решения ЗЛП с n переменными • Графическим способом можно решить ЗЛП 3. Графический метод решения ЗЛП с n переменными • Графическим способом можно решить ЗЛП со многими переменными при условии, что в их канонической записи (основная ЗЛП) содержится не более двух свободных переменных. Тогда ЗЛП со многими переменными можно свести к задаче линейного программирования с двумя переменными, когда ограничения выражены неравенствами.

3. Графический метод решения ЗЛП с n переменными Решение таких задач проводят по следующей 3. Графический метод решения ЗЛП с n переменными Решение таких задач проводят по следующей схеме: систему ограничений, представленную в виде системы уравнений приводят к единичному базису; целевую функцию выражают через свободные переменные; переходят к случаю ЗЛП с двумя переменными.

3. Графический метод решения ЗЛП с n переменными Пример 1. Базисные переменные системы ограничений 3. Графический метод решения ЗЛП с n переменными Пример 1. Базисные переменные системы ограничений и целевую функцию выразим через свободные переменные .

3. Графический метод решения ЗЛП с n переменными • Получим: Так как по условию 3. Графический метод решения ЗЛП с n переменными • Получим: Так как по условию задачи , можно записать:

3 Графический метод решения ЗЛП с n переменными или Получили ЗЛП с двумя переменными, 3 Графический метод решения ЗЛП с n переменными или Получили ЗЛП с двумя переменными, которую можно решить графическим методом.

3. Графический метод решения ЗЛП с n переменными Пример 2. Приведем ЗЛП с n 3. Графический метод решения ЗЛП с n переменными Пример 2. Приведем ЗЛП с n переменными к единичному базису методом Гаусса Жордана.

3. Графический метод решения ЗЛП с n переменными б св 13 1 2 14 3. Графический метод решения ЗЛП с n переменными б св 13 1 2 14 16 0 3 14 6 23 19 0 1 6 1 1 7 3 7 1 2 10 1 2 12 9 0 0 1 7 3 7 13

3. Графический метод решения ЗЛП с n переменными Остальные элементы таблицы находим по правилу 3. Графический метод решения ЗЛП с n переменными Остальные элементы таблицы находим по правилу прямоугольника Элемент в новой таблице = разрешающий элемент

3. Графический метод решения ЗЛП с n переменными б св 13 1 1 7 3. Графический метод решения ЗЛП с n переменными б св 13 1 1 7 3 7 13 2 14 16 0 1 3 5 3 14 6 23 19 1 6 1 1 7 3 7 1 2 10 1 2 12 9 0 0 0 7 3

3. Графический метод решения ЗЛП с n переменными б св 13 1 1 7 3. Графический метод решения ЗЛП с n переменными б св 13 1 1 7 3 7 13 2 14 16 0 1 3 5 7 3 3 14 6 23 19 0 2 7 9 16 6 1 1 7 3 7 1 2 10 1 2 12 9 0 0

3. Графический метод решения ЗЛП с n переменными б св 13 1 1 7 3. Графический метод решения ЗЛП с n переменными б св 13 1 1 7 3 7 13 2 14 16 0 1 3 5 7 3 3 14 6 23 19 0 2 7 9 16 6 1 6 0 1 8 6 5 1 1 1 2 10 1 2 7 3 7 12 9 0 23

3. Графический метод решения ЗЛП с n переменными б св 1 1 7 3 3. Графический метод решения ЗЛП с n переменными б св 1 1 7 3 7 13 1 0 0 1 3 5 7 3 0 1 0 2 7 9 16 6 0 0 0 1 8 6 5 0 0 23 3 5 7 3

3. Графический метод решения ЗЛП с n переменными б св 1 1 0 7 3. Графический метод решения ЗЛП с n переменными б св 1 1 0 7 б св 3 7 13 1 0 4 8 0 1 3 5 7 3 0 1 3 5 7 3 0 2 7 9 16 6 0 0 0 1 8 6 5 23 0 0 10

3. Графический метод решения ЗЛП с n переменными б св 3 7 13 1 3. Графический метод решения ЗЛП с n переменными б св 3 7 13 1 0 4 8 0 1 3 5 7 3 0 1 3 5 7 3 0 2 7 9 16 6 0 0 1 1 2 0 0 1 8 6 5 23 0 0 1 1 0 7 10

3. Графический метод решения ЗЛП с n переменными б св 3 7 13 1 3. Графический метод решения ЗЛП с n переменными б св 3 7 13 1 0 4 8 0 1 3 5 7 3 0 1 3 5 7 3 0 2 7 9 16 6 0 0 1 1 2 0 0 1 8 6 0 0 5 1 2 1 1 0 7 5 23 10 23

3. Графический метод решения ЗЛП с n переменными б св 1 0 0 5 3. Графический метод решения ЗЛП с n переменными б св 1 0 0 5 7 3 0 1 0 0 1 1 2 0 0 0 1 0 5 1 2 0 0 0 1 0 4 8 0 0 1 3 0 0 10 23 1 2 0

3. Графический метод решения ЗЛП с n переменными б св 1 0 4 8 3. Графический метод решения ЗЛП с n переменными б св 1 0 4 8 0 10 1 0 0 0 1 3 5 7 3 0 1 0 0 0 1 1 2 0 0 0 1 0 0 5 1 2 23 0 0 0 4 8 10 1 2 0

3. Графический метод решения ЗЛП с n переменными б св 1 0 4 8 3. Графический метод решения ЗЛП с n переменными б св 1 0 4 8 0 10 1 0 0 4 8 10 0 1 3 5 7 3 0 1 0 8 1 3 0 0 1 1 2 0 0 0 5 1 2 23 0 0 0

3. Графический метод решения ЗЛП с n переменными б св 1 0 4 8 3. Графический метод решения ЗЛП с n переменными б св 1 0 4 8 0 10 1 0 0 4 8 10 0 1 3 5 7 3 0 1 0 8 0 0 1 1 2 0 0 0 5 1 2 23 0 0 0 6 1 3 12 23

3. Графический метод решения ЗЛП с n переменными или Получили ЗЛП с двумя переменными, 3. Графический метод решения ЗЛП с n переменными или Получили ЗЛП с двумя переменными, которую можно решить графическим методом.

4. Симплексный метод решения ЗЛП Для реализации симплексного метода последовательного улучшения решения необходимо освоить 4. Симплексный метод решения ЗЛП Для реализации симплексного метода последовательного улучшения решения необходимо освоить три основных элемента: способ определения какого либо первоначального допустимого базисного решения задачи; правило перехода к лучшему решению; критерий проверки оптимальности найденного решения.

4. Симплексный метод решения ЗЛП • Рассмотрим пример экономической задачи, решаемый симплексным методом. • 4. Симплексный метод решения ЗЛП • Рассмотрим пример экономической задачи, решаемый симплексным методом. • На предприятии, в состав которого входят 4 производственных цеха, изготавливаются два вида изделий и . Производственные мощности цехов (в часах) в расчете на сутки, нормы времени, необходимого для изготовления единицы изделия и в соответствующих цехах, приведены в таблице:

4. Симплексный метод решения ЗЛП Цех Нормы времени для изготовления единицы Производственные продукции мощности 4. Симплексный метод решения ЗЛП Цех Нормы времени для изготовления единицы Производственные продукции мощности цехов 1 2 2 12 2 1 2 8 3 4 0 16 4 0 4 12

4. Симплексный метод решения ЗЛП • Прибыль от продажи единицы изделия составляет 2 д. 4. Симплексный метод решения ЗЛП • Прибыль от продажи единицы изделия составляет 2 д. е. , а от продажи единицы изделия 3 д. е. Следует выбрать тот из возможных вариантов производственного плана, при котором обеспечивается максимальная прибыль.

4. Симплексный метод решения ЗЛП Пусть количество изделий , а количество изделий , тогда 4. Симплексный метод решения ЗЛП Пусть количество изделий , а количество изделий , тогда математическая модель данной задачи будет иметь вид: (1) (2)

4. Симплексный метод решения ЗЛП • В полученной математической модели система неравенств (2) описывает 4. Симплексный метод решения ЗЛП • В полученной математической модели система неравенств (2) описывает такие варианты плана производства, при выполнении которых производственные мощности соответствующих цехов не используется полностью. Если от системы неравенств перейти к системе уравнений , то полученная система ограничений будет определять такие варианты производственного плана, при выполнении которых полностью используются производственные мощности соответствующих цехов.

4. Симплексный метод решения ЗЛП • Введем вспомогательные неотрицательные переменные Вспомогательные переменные означают неиспользованные 4. Симплексный метод решения ЗЛП • Введем вспомогательные неотрицательные переменные Вспомогательные переменные означают неиспользованные производственные мощности 1, 2, 3, 4 цехов соответственно. ЗЛП примет вид: (3)

4. Симплексный метод решения ЗЛП • Система ограничений (3) приведена к единичному базису, в 4. Симплексный метод решения ЗЛП • Система ограничений (3) приведена к единичному базису, в ней базисные переменные выражены через свободные . Целевая функция так же выражена через свободные переменные. Таким образом, имеем: (4)

4. Симплексный метод решения ЗЛП • В качестве первого допустимого решения можно принять вариант 4. Симплексный метод решения ЗЛП • В качестве первого допустимого решения можно принять вариант плана, в котором свободные переменные приравниваются к нулю, то есть , тогда базисные переменные становятся равными соответствующим свободным членам ( ), а прибыль от реализации продукции равна нулю.

4. Симплексный метод решения ЗЛП • Итак, первое допустимое решение имеет вид: . • 4. Симплексный метод решения ЗЛП • Итак, первое допустимое решение имеет вид: . • Это самые невыгодный план, так как прибыль равна нулю, а производственные мощности цехов совершенно не используются. • От первого варианта плана перейдем ко второму – лучшему, введя в план одно из изделий. Выгоднее ввести в план изделие , ибо оно обеспечивает большую прибыль на единицу изделия.

4. Симплексный метод решения ЗЛП • Действительно, из выражения целевой функции L видно, что 4. Симплексный метод решения ЗЛП • Действительно, из выражения целевой функции L видно, что ее можно увеличить за счет увеличения переменных и , но при переменной коэффициент больше, чем при и, следовательно, при увеличении целевая функция L увеличивается быстрее. Однако переменную необходимо увеличивать так, чтобы в системе ограничений (4) базисные переменные не стали отрицательными.

4. Симплексный метод решения ЗЛП • Из последнего уравнения системы (4) • видно, что 4. Симплексный метод решения ЗЛП • Из последнего уравнения системы (4) • видно, что можно увеличивать только до 3 единиц. Это означает, что учитывая нормы времени необходимые для изготовления изделия в соответствующих цехах, можно устанавливать объём производства изделия .

4. Симплексный метод решения ЗЛП • Допустимый объем производства изделия определяет четвертый цех, так 4. Симплексный метод решения ЗЛП • Допустимый объем производства изделия определяет четвертый цех, так как, например, если в качестве допустимого объёма производства изделия определить первый цех в 6 единиц, то в других цехах не будут выдержаны нормы времени. • Итак, если бы изделие не производилось, то при полном использовании производственных мощностей 4 цеха ( ), можно установить план производства изделия в количестве 3 ед. с прибылью 9 д. е.

4. Симплексный метод решения ЗЛП • В результате этого меняется статус переменных: становится свободной 4. Симплексный метод решения ЗЛП • В результате этого меняется статус переменных: становится свободной переменной, а базисной. Систему ограничений и целевую функцию выражаем через новые свободные переменные и : (5) (6)

4. Симплексный метод решения ЗЛП • Получили улучшенный допустимый план: . Здесь изделие не 4. Симплексный метод решения ЗЛП • Получили улучшенный допустимый план: . Здесь изделие не выпускается, изделие выпускается в количестве 3 единиц, производственные мощности 4 цеха использованы полностью. • Проверим второе допустимое решение на оптимальность ( максимум целевой функции).

4. Симплексный метод решения ЗЛП • Из целевой функции (5) • следует, что прибыль 4. Симплексный метод решения ЗЛП • Из целевой функции (5) • следует, что прибыль можно увеличить, введя в план производства изделие . • Из системы (6) определим допустимый объем производства изделия . Он определяется вторым цехом. • (6)

4. Симплексный метод решения ЗЛП • В результате получаем следующий улучшенный допустимый план: Здесь 4. Симплексный метод решения ЗЛП • В результате получаем следующий улучшенный допустимый план: Здесь изделие выпускается в количестве 2 ед. , изделие в количестве 3 ед. Производственные мощности второго и четвертого цехов использованы полностью, а остальных цехов недоиспользованы. Чтобы проверить этот план на оптимальность, выразим новый набор базисных переменных через новые свободные переменные и .

4. Симплексный метод решения ЗЛП • Получили новую целевую функцию (7) и систему ограничений 4. Симплексный метод решения ЗЛП • Получили новую целевую функцию (7) и систему ограничений (8)

4. Симплексный метод решения ЗЛП • Из выражения целевой функции видно, что ее можно 4. Симплексный метод решения ЗЛП • Из выражения целевой функции видно, что ее можно улучшить увеличивая переменную. Аналогично рассуждая, получим следующий улучшенный допустимый . • Целевая функция и система ограничений будут иметь вид:

4. Симплексный метод решения ЗЛП (9) (10) 4. Симплексный метод решения ЗЛП (9) (10)

4. Симплексный метод решения ЗЛП • Из выражения (9) видно, что в нем нет 4. Симплексный метод решения ЗЛП • Из выражения (9) видно, что в нем нет ни одной переменной, посредством которой можно было бы увеличить прибыль, ибо коэффициенты при переменных в этом уравнении отрицательны. • Итак, получили наилучший вариант производственного плана. Такой вариант предполагает производство изделия в • количестве , изделия в количестве .

4. Симплексный метод решения ЗЛП • В случае применения такого варианта плана прибыль достигает 4. Симплексный метод решения ЗЛП • В случае применения такого варианта плана прибыль достигает максимума • , причем производственные мощности первого, второго и третьего цехов использованы полностью: • , тогда как недоиспользование производственных мощностей четвертого цеха составляет 4 единицы ( ). Итак: • .

4. Табличный симплексный метод • Симплексная таблица представляет собой табличную запись системы ограничений и 4. Табличный симплексный метод • Симплексная таблица представляет собой табличную запись системы ограничений и целевой функции, Для начала работы требуется, чтобы система ограничений выражалась равенствами, причем в этой системе ограничений должны быть выделены базисные переменные. Целевая функция должна содержать только свободные неизвестные. Таким образом, ЗЛП приводится к единичному базису. Коэффициенты при неизвестных целевой функции записываются в симплекс таблицу с обратным знаком.

4. Табличный симплексный метод • Обозначим через базисные переменные, а через свободные переменные. Тогда 4. Табличный симплексный метод • Обозначим через базисные переменные, а через свободные переменные. Тогда исходная симплексная таблица будет иметь вид: Базисн. перемен. Свободн. члены

4. Табличный симплексный метод • Исходная симплексная таблица задает первое допустимое решение ЗЛП, которое 4. Табличный симплексный метод • Исходная симплексная таблица задает первое допустимое решение ЗЛП, которое имеет вид: , . • Условимся называть оценками • коэффициенты , при свободных переменных , в линейной целевой функции • , где • свободный член целевой функции .

4. Табличный симплексный метод • Решения задачи табличным симплексным методом заключается в том, чтобы 4. Табличный симплексный метод • Решения задачи табличным симплексным методом заключается в том, чтобы выяснить, является ли первое допустимое решение оптимальным. Для этого обратимся к основной теореме симплекс – метода. 1. Если при нахождении минимума в строке найдется хотя бы одна положительная оценка (при нахождении максимума – отрицательная оценка) и в столбце с такой оценкой будет хотя бы один положительный элемент, то решение можно улучшить, выполнив следующую итерацию.

4. Табличный симплексный метод 2. Если найдется хотя бы одна положительная (отрицательная) оценка, столбец 4. Табличный симплексный метод 2. Если найдется хотя бы одна положительная (отрицательная) оценка, столбец которой не содержит положительных элементов, то L не ограничена в области допустимых решений, то есть . 3. Если все оценки окажутся неположительными (неотрицательными), то достигнуто оптимальное решение.

4. Табличный симплексный метод • Для улучшения решения разрешающий столбец выбираем по наличию положительной 4. Табличный симплексный метод • Для улучшения решения разрешающий столбец выбираем по наличию положительной (отрицательной) оценки. Столбец с положительной (отрицательной) оценкой является разрешающим. Разрешающую строку выбирают как наименьшее отношение между свободными членами системы ограничений и соответствующими положительными элементами разрешающего столбца. Разрешающий элемент находится на пересечении разрешающей строки и разрешающего столбца.

4. Табличный симплексный метод • Для получения новой таблицы разрешающую строку делим на разрешающий 4. Табличный симплексный метод • Для получения новой таблицы разрешающую строку делим на разрешающий элемент, разрешающий столбец заполняем нулями, кроме разрешающего элемента. Остальные элементы новой таблицы получаем по формуле:

4. Табличный симплексный метод Правило прямоугольника: где элемент новой таблицы, разрешающий элемент. 4. Табличный симплексный метод Правило прямоугольника: где элемент новой таблицы, разрешающий элемент.

4. Табличный симплексный метод • Подобные преобразования осуществляются до тех пор, пока в строке 4. Табличный симплексный метод • Подобные преобразования осуществляются до тех пор, пока в строке все оценки окажутся неположительными (неотрицательными). • Пример. Данная ЗЛП приведена к единичному базису , составим симплексную таблицу.

4. Табличный симплексный метод Базисн. перемен. Свободн. члены Исходная симплексная таблица определяет первое допустимое 4. Табличный симплексный метод Базисн. перемен. Свободн. члены Исходная симплексная таблица определяет первое допустимое решение , Это решение не является максимальным, так как в строке есть отрицательные оценки.

4. Табличный симплексный метод • Улучшим данное решение, используя алгоритм симплексного метода. Столбец с 4. Табличный симплексный метод • Улучшим данное решение, используя алгоритм симплексного метода. Столбец с отрицательной оценкой выберем в качестве разрешающего столбца. Так как в строке имеется две отрицательные оценки, выберем наибольшую оценку по абсолютной величине. • Разрешающую строку выбираем как наименьшее отношение между свободными членами и соответствующими положительными элементами разрешающего столбца. • Разрешающий элемент находится на пересечении разрешающей строки и столбца.

4. Табличный симплексный метод • В результате разрешающим элементом будет число 1 в третьей 4. Табличный симплексный метод • В результате разрешающим элементом будет число 1 в третьей строке и во втором столбце симплексной таблицы при переменной . Далее, используя алгоритм симплекс – метода, получим новую симплексную таблицу

4. Табличный симплексный метод б св 3 4. Табличный симплексный метод б св 3

4. Табличный симплексный метод • Эта симплексная таблица определяет второе допустимое решение В строке 4. Табличный симплексный метод • Эта симплексная таблица определяет второе допустимое решение В строке имеется отрицательная оценка при переменной , следовательно, данное решение не является оптимальным. Улучшим это решение, избавившись от отрицательной оценки. Разрешающим элементом будет число 1 во второй строке симплексной таблицы при переменной . Далее, используя алгоритм симплекс – метода, получим следующую новую симплексную таблицу.

4. Табличный симплексный метод б св 0 0 1 1 0 0 0 1 4. Табличный симплексный метод б св 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0

4. Табличный симплексный метод • Получили третье допустимое решение • Так как в строке 4. Табличный симплексный метод • Получили третье допустимое решение • Так как в строке нет ни одной отрицательной оценки, то третье допустимое решение является минимальным:

4. Табличный симплексный метод • Замечание. Если в ЗЛП система ограничений представлена в виде 4. Табличный симплексный метод • Замечание. Если в ЗЛП система ограничений представлена в виде системы уравнений, но ЗЛП не приведена к единичному базису, то сначала требуется с помощью, например, метода Жордана Гаусса, привести ЗЛП к единичному базису и только после этого составлять исходную симплексную таблицу.

5. Двойственный симплексный метод • Двойственный симплекс метод заключается в том, что оптимальный недопустимый 5. Двойственный симплексный метод • Двойственный симплекс метод заключается в том, что оптимальный недопустимый план преобразуют в допустимый, не нарушая оптимальности.

5. Двойственный симплексный метод Алгоритм двойственного симплексметода: 1) выбирают разрешающую строку по наибольшему по 5. Двойственный симплексный метод Алгоритм двойственного симплексметода: 1) выбирают разрешающую строку по наибольшему по абсолютной величине отрицательному элементу столбца свободных членов; 2) выбирают разрешающий столбец по наименьшему по абсолютной величине отношению элементов L строки к отрицательным элементам разрешающей строки;

5. Двойственный симплексный метод 3) пересчитывают симплексную таблицу по правилам обычного симплекс метода; 4) 5. Двойственный симплексный метод 3) пересчитывают симплексную таблицу по правилам обычного симплекс метода; 4) решение проверяют на оптимальность. Признаком получения допустимого оптимального решения является отсутствие в столбце свободных членов отрицательных элементов.

5. Двойственный симплексный метод Замечания: 1. Если в разрешающей строке нет ни одного отрицательного 5. Двойственный симплексный метод Замечания: 1. Если в разрешающей строке нет ни одного отрицательного элемента, задача неразрешима. 2. Если ограничения задачи заданы неравенствами типа «≥» , двойственный симплекс метод позволяет избавиться от необходимости введения искусственных переменных.

5. Двойственный симплексный метод • Решить задачу, используя алгоритм двойственного симплекс метода 5. Двойственный симплексный метод • Решить задачу, используя алгоритм двойственного симплекс метода

5. Двойственный симплексный метод Систему ограничений неравенств запишем в виде системы ограничений –уравнений или 5. Двойственный симплексный метод Систему ограничений неравенств запишем в виде системы ограничений –уравнений или

5. Двойственный симплексный метод Свободные переменные , тогда базисные переменные В результате получили недопустимое, 5. Двойственный симплексный метод Свободные переменные , тогда базисные переменные В результате получили недопустимое, но минимальное решение Используя алгоритм двойственного симплексного метода, подучим оптимальное и допустимое решение.

5. Двойственный симплексный метод б св 1 2 1 1 0 0 5 1 5. Двойственный симплексный метод б св 1 2 1 1 0 0 5 1 2 1 0 3 0 1 0 0 1 2 1 3 1 0 0 1 2 1 1 0 0 5 1 1 0 2 0 5 1 2 0 1 8 0 1 0 0 5

5. Двойственный симплексный метод св б б св 1 2 1 1 0 0 5. Двойственный симплексный метод св б б св 1 2 1 1 0 0 5 1 0 3 0 1 1 1 1 0 2 0 1 1 1 1 0 2 0 5 1 2 0 1 8 0 0 5 1 2 0 1 0 0 5 0 0 1 2 1 0 7 1 3 2 5

6. Симметричные двойственные ЗЛП Двойственные задачи линейного программирования называют симметричными, если они удовлетворяют следующим 6. Симметричные двойственные ЗЛП Двойственные задачи линейного программирования называют симметричными, если они удовлетворяют следующим свойствам: число переменных одной задачи равно числу неравенств системы ограничений другой задачи и наоборот; в одной задаче находится максимум целевой функции, в другой – минимум; коэффициенты при переменных в целевой функции одной задачи являются свободными членами системы ограничений другой задачи и наоборот;

6. Симметричные двойственные ЗЛП в каждой задаче система ограничений задается в виде неравенств, в 6. Симметричные двойственные ЗЛП в каждой задаче система ограничений задается в виде неравенств, в задаче на отыскание максимума все неравенства имеют знак вида “ ≤ ”, а в задаче на отыскание минимума, все неравенства имеют знак вида “ ≥ ”; матрица коэффициентов системы ограничений получается одна из другой путем транспонирования; условия неотрицательности переменных сохраняются в обеих задачах.

6. Симметричные двойственные ЗЛП • Пример. По исходной задаче требуется построить двойственную. Приведем все 6. Симметричные двойственные ЗЛП • Пример. По исходной задаче требуется построить двойственную. Приведем все неравенства системы ограничений исходной задачи к одному знаку:

6. Симметричные двойственные ЗЛП Симметричная двойственная ЗЛП будет иметь вид: 6. Симметричные двойственные ЗЛП Симметричная двойственная ЗЛП будет иметь вид:

6. Симметричные двойственные ЗЛП Решение симметричных двойственных задач • Первая теорема двойственности. Если одна 6. Симметричные двойственные ЗЛП Решение симметричных двойственных задач • Первая теорема двойственности. Если одна из двойственных задач имеет оптимальное решение, то оптимальное решение имеет и другая задача, при этом значения целевых функций задач равны между собой. Если целевая функция одной из задач неограничена, то другая задача вообще не имеет решения

6. Симметричные двойственные ЗЛП Метод одновременного решения пары симметричных двойственных задач Установив соответствие между 6. Симметричные двойственные ЗЛП Метод одновременного решения пары симметричных двойственных задач Установив соответствие между переменными пары двойственных задач ( базисные переменные одной задачи соответствуют свободным переменным другой задачи и наоборот) , и решив одну из них табличным симплексным методом или двойственным симплексным методом, можно получить решение другой задачи.

6. Симметричные двойственные ЗЛП Значения базисных переменных одной задачи определяются строкой целевой функции оптимальной 6. Симметричные двойственные ЗЛП Значения базисных переменных одной задачи определяются строкой целевой функции оптимальной симплексной таблицы другой задачи и наоборот (с учетом соответствия между свободными и базисными переменными пары симметричных двойственных задач).

6. Симметричные двойственные ЗЛП • Пример. Найти решение пары симметричных двойственных задач. Исходная ЗЛП 6. Симметричные двойственные ЗЛП • Пример. Найти решение пары симметричных двойственных задач. Исходная ЗЛП Двойственная ЗЛП

6. Симметричные двойственные ЗЛП • Симметричную пару двойственных задач запишем в виде: • • 6. Симметричные двойственные ЗЛП • Симметричную пару двойственных задач запишем в виде: • • Базисные переменные исходной задачи: Свободные переменные исходной задачи: Базисные переменные двойственной задачи: Свободные переменные двойственной задачи:

6. Симметричные двойственные ЗЛП • Решим исходную задачу табличным симплексным методом. б св 2 6. Симметричные двойственные ЗЛП • Решим исходную задачу табличным симплексным методом. б св 2 3 5 1 0 0 1 б св 1 5/2 0 1/2 0 0 1/2 13/2 1 0 1/0 1 0 2 1 2 0 0 1 3 0 9/2 1/2 0 1 7/2 4 6 0 0 0 4 2 0 0 2

6. Симметричные двойственные ЗЛП • Решение исходной ЗЛП: • Решение двойственной ЗЛП будет иметь 6. Симметричные двойственные ЗЛП • Решение исходной ЗЛП: • Решение двойственной ЗЛП будет иметь вид: • Решение двойственной задачи находим из строки последней симплексной таблицы, с учетом соответствия базисных и свободных переменных задач:

7. Транспортная задача. • Транспортная задача является частным случаем задачи линейного программирования. • Общая 7. Транспортная задача. • Транспортная задача является частным случаем задачи линейного программирования. • Общая постановка транспортной задачи состоит в определении оптимального плана перевозок некоторого однородного груза из m пунктов отправления • в n пунктов назначения . • При этом в качестве критерия оптимальности берется либо минимальная стоимость перевозок всего однородного груза, либо минимальное время его доставки. • Рассмотрим транспортную задачу, в которой в качестве критерия оптимальности берется минимальная стоимость перевозок всего груза.

7. Транспортная задача • Пусть однородный продукт, сосредоточенный в m пунктах отправления в количествах 7. Транспортная задача • Пусть однородный продукт, сосредоточенный в m пунктах отправления в количествах единиц, необходимо доставить в каждый из n пунктов назначения в количествах единиц. Стоимость перевозки единицы продукта из го пункта отправления в й пункт назначения равна и известна для всех комбинаций .

7. Транспортная задача • Пусть – количество продукта, перевозимого из го пункта отправления в 7. Транспортная задача • Пусть – количество продукта, перевозимого из го пункта отправления в й пункт назначения или по маршруту . Транспортная задача ( ТЗ ) заключается в определении таких величин для всех маршрутов , при которых суммарная стоимость перевозок однородного груза минимальна. • Будем называть перевозками. • Исходные данные ТЗ можно поместить в таблицу:

7. Транспортная задача Поставщики Потребители Запасы 7. Транспортная задача Поставщики Потребители Запасы

7. Транспортная задача • Математическая модель транспортной задачи сводится к минимизации целевой функции, выражающей 7. Транспортная задача • Математическая модель транспортной задачи сводится к минимизации целевой функции, выражающей суммарные затраты на перевозку всего груза

7. Транспортная задача при ограничениях 7. Транспортная задача при ограничениях

7. Транспортная задача Систему ограничений получаем из следующих условий задачи: 1. Все грузы должны 7. Транспортная задача Систему ограничений получаем из следующих условий задачи: 1. Все грузы должны быть вывезены, т. е. 2. Все потребности должны быть удовлетворены, т. е.

7. Транспортная задача Система ограничений ТЗ содержит переменных и уравнений , из них уравнений 7. Транспортная задача Система ограничений ТЗ содержит переменных и уравнений , из них уравнений линейно – независимые. Значит невырожденное допустимое решение ТЗ содержит положительных перевозок, то есть в матрице положительными являются только перевозок, а остальные равны нулю.

7. Транспортная задача Клетки транспортной таблице , в которых находятся отличные от 0 перевозки, 7. Транспортная задача Клетки транспортной таблице , в которых находятся отличные от 0 перевозки, называются занятыми, остальные незанятыми. Занятые клетки соответствуют базисным неизвестным и для невырожденного опорного плана их должно быть m+n-1. Незанятые или пустые клетки соответствуют свободным переменным.

7. Транспортная задача Определение. Всякое неотрицательное решение системы ограничений транспортной задачи, определяемое матрицей, называют 7. Транспортная задача Определение. Всякое неотрицательное решение системы ограничений транспортной задачи, определяемое матрицей, называют допустимым решением (или планом) транспортной задачи.

7. Транспортная задача Определение План , при котором целевая функция принимает минимальное значение, называется 7. Транспортная задача Определение План , при котором целевая функция принимает минимальное значение, называется оптимальным.

7. Транспортная задача • Определение. Тарифы или стоимости перевозок единицы груза также задаются матрицей, 7. Транспортная задача • Определение. Тарифы или стоимости перевозок единицы груза также задаются матрицей, которая называется матрицей транспортных издержек или матрицей стоимостей

7. Транспортная задача. Необходимое и достаточное условие разрешимости транспортной задачи Для разрешимости транспортной задачи 7. Транспортная задача. Необходимое и достаточное условие разрешимости транспортной задачи Для разрешимости транспортной задачи необходимо и достаточно, чтобы запасы груза в пунктах отправления были равны потребностям в грузе в пунктах назначения, то есть, чтобы выполнилось равенство (балансовые условия).

7. Транспортная задача Определение исходного допустимого решения Первоначальное распределение перевозок соответствует первому допустимому решению. 7. Транспортная задача Определение исходного допустимого решения Первоначальное распределение перевозок соответствует первому допустимому решению. Существуют различные методы получения первого допустимого решения.

7. Транспортная задача Метод “ северо-западного угла“ Метод заключается в том, что заполнение клеток 7. Транспортная задача Метод “ северо-западного угла“ Метод заключается в том, что заполнение клеток таблицы начинают с левой верхней клетки (северо западная часть таблицы) для перевозки и продолжают вниз и вправо, заканчивая клеткой для перевозки . При этом способе распределения на тарифы не обращают внимания.

7. Транспортная задача • Пример Имеются хранилища A, B, C, в которых находятся соответственно 7. Транспортная задача • Пример Имеются хранилища A, B, C, в которых находятся соответственно 60, 80, 100 тонн однородной продукции. Продукты необходимо перевезти трем потребителям в количестве 40, 60, 80 тонн соответственно. Стоимость перевозки единицы продукции с каждого хранилища соответствующим потребителям задана матрицей стоимостей

7. Транспортная задача Определить план перевозок однородной продукции от производителей до потребителей из условия 7. Транспортная задача Определить план перевозок однородной продукции от производителей до потребителей из условия минимизации транспортных расходов.

7. Транспортная задача Потребители Поставщики 1 2 3 4 Запасы А 4 2 3 7. Транспортная задача Потребители Поставщики 1 2 3 4 Запасы А 4 2 3 1 40 20 60 В 1 2 2 1 40 80 С 3 4 4 2 40 60 100 Потребности 40 60 80 60

7. Транспортная задача Получили исходное допустимое решение методом ‘северо западного угла’ при m=3, n=4, 7. Транспортная задача Получили исходное допустимое решение методом ‘северо западного угла’ при m=3, n=4, m+n-1=6 вида: или

7. Транспортная задача Общая стоимость перевозки груза составленного плана: L=40· 4+20· 2+40· 4+60· 2= 7. Транспортная задача Общая стоимость перевозки груза составленного плана: L=40· 4+20· 2+40· 4+60· 2= =160+40+80+80+160+120=640 Это не оптимальное решение.

7. Транспортная задача Метод “наименьшей стоимости” Метод заключается в том, что заполнение клеток таблицы 7. Транспортная задача Метод “наименьшей стоимости” Метод заключается в том, что заполнение клеток таблицы начинают с клетки, имеющей наименьшую стоимость перевозки. Если таких клеток несколько, то следует выбрать любую из них.

7. Транспортная задача Перераспределение перевозок транспортной таблицы с целью улучшения решения происходит по циклу. 7. Транспортная задача Перераспределение перевозок транспортной таблицы с целью улучшения решения происходит по циклу.

7. Транспортная задача Цикл пересчета Циклом пересчета в транспортной таблице называют несколько клеток, соединенных 7. Транспортная задача Цикл пересчета Циклом пересчета в транспортной таблице называют несколько клеток, соединенных замкнутой ломаной линией, которая в каждой клетке совершает поворот на 900 и удовлетворяет следующим свойствам :

7. Транспортная задача 1) каждый цикл имеет четное число вершин; 2) одна вершина цикла 7. Транспортная задача 1) каждый цикл имеет четное число вершин; 2) одна вершина цикла находится в свободной (пустой) клетке (для которой образуется цикл), остальные клетки базисные (заполненные); 3) если ломанная линия, образующая цикл, пересекается, то точка самопересечения не является вершиной цикла; 4) для каждой свободной клетки можно построить цикл пересчета и притом единственный.

7. Транспортная задача После того как для выбранной свободной клетки построен цикл, следует перейти 7. Транспортная задача После того как для выбранной свободной клетки построен цикл, следует перейти к новому допустимому решению. Для этого необходимо переместить перевозки в пределах клеток, связанных циклом. Это перемещение перевозок производят по следующим правилам: каждой из клеток, связанных циклом со свободной клеткой, приписывают определенный знак, причем свободной клетке знак «+» , а всем остальным клеткам поочередно знаки « » и «+» ;

7. Транспортная задача все описанные действия производятся над клетками, связанными циклом; при переносе перевозок 7. Транспортная задача все описанные действия производятся над клетками, связанными циклом; при переносе перевозок по циклу балансовые условия не нарушаются; при переносе перевозки по циклу пересчета число занятых клеток остается неизменным, равным ; если в клетках со знаком « » имеется две (или более ) одинаковые перевозки , то освобождают одну из клеток, содержащих эту перевозку, а остальные оставляют занятыми нулевыми перевозками.

7. Транспортная задача Распределительный метод нахождения оптимального решения Распределительный метод заключается в нахождении оценок 7. Транспортная задача Распределительный метод нахождения оптимального решения Распределительный метод заключается в нахождении оценок циклов пересчета для всех свободных клеток транспортной таблицы. Если оценка цикла отрицательна, то решение задачи можно улучшить путем переноса перевозки по циклу. Если оценки для всех циклов неотрицательны, то решение оптимально.

7. Транспортная задача Определение. Оценкой цикла ( или ценой цикла) будем называть разность между 7. Транспортная задача Определение. Оценкой цикла ( или ценой цикла) будем называть разность между суммой тарифов клеток со знаком «+» и суммой тарифов клеток со знаком « » и обозначать .

7. Транспортная задача • Пример. Исходное допустимое решение получить методом “ северо-западного угла“. Оптимальное 7. Транспортная задача • Пример. Исходное допустимое решение получить методом “ северо-западного угла“. Оптимальное решение получить распределительным методом. • Составим транспортную таблицу и распределим перевозки по клеткам транспортной таблицы методом “северо западного угла”.

7. Транспортная задача Потребители Поставщики 1 2 3 4 Запасы А 2 3 2 7. Транспортная задача Потребители Поставщики 1 2 3 4 Запасы А 2 3 2 2 40 20 60 В 2 3 1 40 80 С 3 4 1 2 40 60 100 Потребности 40 60 80 60

7. Транспортная задача • Исходное допустимое решение имеет вид: m=3, n=4, m+n-1=6 80+60+120+40+40+120=460. • 7. Транспортная задача • Исходное допустимое решение имеет вид: m=3, n=4, m+n-1=6 80+60+120+40+40+120=460. • Проверим это решение на оптимальность распределительным методом. В нашем примере m=3, n=4, m+n-1=6. Для каждой пустой клетки построим цикл пересчета и найдем его цену .

7. Транспортная задача Потребители Поставщики 1 2 3 4 Запасы А 2 3 2 7. Транспортная задача Потребители Поставщики 1 2 3 4 Запасы А 2 3 2 2 40 20 60 В 2 3 1 40 80 С 3 4 1 2 40 60 100 Потребности 40 60 80 60

7. Транспортная задача Для пустых клеток посчитаем оценки или цены цикла. • Для клетки 7. Транспортная задача Для пустых клеток посчитаем оценки или цены цикла. • Для клетки ( 1, 3 ) цена цикла • Для клетки ( 1, 4 ) цена цикла • Для клетки (2, 1) цена цикла Построим циклы для остальных пустых клеток транспортной таблицы

7. Транспортная задача Потребители Поставщики 1 2 3 4 Запасы А 2 3 2 7. Транспортная задача Потребители Поставщики 1 2 3 4 Запасы А 2 3 2 2 40 20 60 В 2 3 1 40 80 С 3 4 1 2 40 60 100 Потребности 40 60 80 60

7. Транспортная задача Посчитаем оценки или цены оставшихся циклов. • Для клетки ( 2, 7. Транспортная задача Посчитаем оценки или цены оставшихся циклов. • Для клетки ( 2, 3 ) цена цикла • Для клетки ( 3, 1 ) цена цикла • Для клетки ( 3, 2 ) цена цикла

7. Транспортная задача Так как для клетки ( 2, 3 ) цена цикла отрицательна, 7. Транспортная задача Так как для клетки ( 2, 3 ) цена цикла отрицательна, то решение не является оптимальным. Улучшим это решение, переместив перевозку по данному циклу, прибавляя 40 ед. в клетки со знаком “+” и вычитая 40 ед. в клетках со знаком “ ”. В результате получим новое улучшенное решение.

7. Транспортная задача Потребители Поставщики 1 2 3 4 Запасы А 2 3 2 7. Транспортная задача Потребители Поставщики 1 2 3 4 Запасы А 2 3 2 2 40 20 60 В 2 3 1 40 80 С 3 4 1 2 80 20 100 Потребности 40 60 80 60

7. Транспортная задача • Улучшенное допустимое решение имеет вид: • 80+60+120+40+80+40=420. • Построив циклы 7. Транспортная задача • Улучшенное допустимое решение имеет вид: • 80+60+120+40+80+40=420. • Построив циклы пересчета для новых пустых клеток и посчитав цену этих циклов, можно убедиться, что для всех пустых клеток . Значит полученное улучшенное решение является оптимальным, то есть

8. Целочисленное программирование План задачи линейного программирования называется целочисленным, если все его составляющие целые 8. Целочисленное программирование План задачи линейного программирования называется целочисленным, если все его составляющие целые числа (1) (2) (j=1, . 2, …, n) (3) целые (4)

8. Целочисленное программирование Если решение задачи линейного программирования получается не в целых числах, то 8. Целочисленное программирование Если решение задачи линейного программирования получается не в целых числах, то можно использовать алгоритм Гомори, дающий целочисленное решение и состоящий из следующих этапов. Первый этап. Задача (1) (3) решается симплекс методом до получения оптимального решения. Второй этап. В последнюю симплексную таблицу, содержащую оптимальный план, добавляют ограничение вида , составленное для i ой строки следующим образом:

8. Целочисленное программирование , . Символ означает целую часть числа а, то есть наибольшее 8. Целочисленное программирование , . Символ означает целую часть числа а, то есть наибольшее число, не превосходящее а. Причем : Коэффициенты дробные положительные числа.

8. Целочисленное программирование Пример 1. , где Пример 2. , где 8. Целочисленное программирование Пример 1. , где Пример 2. , где

8. Целочисленное программирование • Третий этап. В последней симплексной таблице выбирают введенную строку разрешающей. 8. Целочисленное программирование • Третий этап. В последней симплексной таблице выбирают введенную строку разрешающей. Разрешающий столбец выбирают по наименьшему по абсолютной величине элементов L – строки к отрицательным элементам разрешающей строки. С выбранным таким образом разрешающим элементом осуществляют переход по известному правилу к следующей таблице. Если при этом полученное решение окажется еще не целочисленным, то общий шаг повторяют.

8. Целочисленное программирование • Примечание 1. Признаком отсутствия целочисленного решения служит появление хотя бы 8. Целочисленное программирование • Примечание 1. Признаком отсутствия целочисленного решения служит появление хотя бы одной строки с дробным свободным членом с целыми остальными коэффициентами. • Примечание 2. Дополнительное ограничение целесообразно составлять для строки, содержащей в столбце свободных членов наибольшую дробную часть.

8. Целочисленное программирование Схема решения ЗЛП в целых числах • Исходную задачу решают симплекс 8. Целочисленное программирование Схема решения ЗЛП в целых числах • Исходную задачу решают симплекс методом до получения оптимального решения, без учета требований целочисленности. • Составляют дополнительное ограничение для строки, содержащей наибольшую дробную часть в столбце свободных членов. • Коэффициенты нового ограничения вносят в последнюю симплекс таблицу.

8. Целочисленное программирование • Разрешающий элемент выбирают как наименьшее отношение по абсолютной величине элементов 8. Целочисленное программирование • Разрешающий элемент выбирают как наименьшее отношение по абсолютной величине элементов L строки к отрицательным элементам разрешающей строки. • С выбранным таким образом разрешающим элементом осуществляют переход к следующей симплексной таблице. • В случае необходимости составляют еще одно дополнительное ограничение, и процесс повторяют до получения целочисленного решения.

9. Теория игр в линейном программировании • Теория игр математический метод изучения оптимальных стратегий 9. Теория игр в линейном программировании • Теория игр математический метод изучения оптимальных стратегий в играх. • Под игрой понимается процесс, в котором участвуют две и более сторон, ведущих борьбу за реализацию своих интересов. Каждая из сторон имеет свою цель и использует некоторую стратегию, которая может вести к выигрышу или проигрышу в зависимости от поведения других игроков. • Теория игр помогает выбрать лучшие стратегии с учётом представлений о других участниках, их ресурсах и их возможных поступках.

9. Теория игр в линейном программировании • Игрой называют формализованную модель конфликтной ситуации. • 9. Теория игр в линейном программировании • Игрой называют формализованную модель конфликтной ситуации. • Совокупность правил, определяющих однозначно выбор при каждом личном коде игрока в зависимости от сложившейся ситуации, называется стратегией игрока.

9. Теория игр в линейном программировании Смешанной стратегией первого игрока называют вектор строку число 9. Теория игр в линейном программировании Смешанной стратегией первого игрока называют вектор строку число стратегий первого игрока.

9. Теория игр в линейном программировании Смешанной стратегией второго игрока называют вектор столбец где 9. Теория игр в линейном программировании Смешанной стратегией второго игрока называют вектор столбец где число стратегий второго игрока.

9. Теория игр в линейном программировании • Смешанную стратегию, i я компонента которой равна 9. Теория игр в линейном программировании • Смешанную стратегию, i я компонента которой равна 1, а остальные 0, называют i-й чистой стратегией 1 го игрока. Аналогичное определение для 2 го игрока. Если игра состоит только из личных ходов, то выбор пары стратегий однозначно определяет исход игры . Значения записывают в виде матрицы

9. Теория игр в линейном программировании Строки матрицы А соответствуют стратегиям , а столбцы 9. Теория игр в линейном программировании Строки матрицы А соответствуют стратегиям , а столбцы – стратегиям . Матрицу А называют платежной. Число называют нижней ценой игры, а число –верхней ценой игры. Если , то их общее значение обозначается и называется ценой игры.

9. Теория игр в линейном программировании • Определение. Элемент платежной матрицы, являющийся одновременно минимальным 9. Теория игр в линейном программировании • Определение. Элемент платежной матрицы, являющийся одновременно минимальным в своей строке и максимальным в своем столбце, называется седловой точкой матрицы. • Седловой точке ( i , j ) соответствуют пара чистых минимальных стратегий. Эти стратегии называют оптимальными, а их совокупность – решением игры.

9. Теория игр в линейном программировании Схема решения графического метода простейших матричных игр • 9. Теория игр в линейном программировании Схема решения графического метода простейших матричных игр • Строят прямые, соответствующие • • стратегиям второго игрока (первого). Строят нижнюю (верхнюю) границу выигрыша. Определяют по чертежу пару «полезных» стратегий из числа построенных для второго (первого) игрока.

9. Теория игр в линейном программировании (продолжение схемы решения графического метода простейших матричных игр) 9. Теория игр в линейном программировании (продолжение схемы решения графического метода простейших матричных игр) • Выбирают на границе выигрыша точку с максимальной (минимальной) ординатой. • Находят решение игры.

9. Теория игр в линейном программировании Задана игра платежной матрицей , (1) Нахождение оптимальных 9. Теория игр в линейном программировании Задана игра платежной матрицей , (1) Нахождение оптимальных стратегий аналогично решению двойственной пары задач линейного программирования.

9. Теория игр в линейном программировании • Исходная задача. Найти при условиях (2) 9. Теория игр в линейном программировании • Исходная задача. Найти при условиях (2)

9. Теория игр в линейном программировании • Двойственная задача. Найти при условиях (3) 9. Теория игр в линейном программировании • Двойственная задача. Найти при условиях (3)

9. Теория игр в линейном программировании • Полагаем, что цена игры . Если это 9. Теория игр в линейном программировании • Полагаем, что цена игры . Если это не так, то этого можно добиться прибавлением к элементам платежной матрицы одного и того же положительного числа. Обозначим а приходим к следующей паре двойственных задач.

9. Теория игр в линейном программировании • Исходная задача (для второго игрока). Найти значения 9. Теория игр в линейном программировании • Исходная задача (для второго игрока). Найти значения , обеспечивающие линейной формы , при условии

9. Теория игр в линейном программировании • Двойственная задача (для первого игрока). Найти значения 9. Теория игр в линейном программировании • Двойственная задача (для первого игрока). Найти значения , образующие в min линейную форму , при условии Так каждая игра имеет решение, то оптимальные планы пары двойственных задач существуют и

10. Понятие теории массового обслуживания • Система массового обслуживания (СМО) это модель, включающая в 10. Понятие теории массового обслуживания • Система массового обслуживания (СМО) это модель, включающая в себя: 1) случайный поток требований, вызовов или клиентов, нуждающихся в обслуживании; 2) алгоритм осуществления этого обслуживания; 3) каналы (приборы) для обслуживания. Примерами СМО являются кассы, АЗС, аэропорты, продавцы, парикмахеры, врачи, телефонные станции и другие объекты, в которых осуществляется обслуживание тех или иных заявок.

10. Понятие теории массового обслуживания Задача теории массового обслуживания состоит в выработке рекомендаций по 10. Понятие теории массового обслуживания Задача теории массового обслуживания состоит в выработке рекомендаций по рациональному построению СМО и рациональной организации их работы с целью обеспечения высокой эффективности обслуживания при оптимальных затратах. В качестве характеристик СМО рассматриваются: средний процент заявок, получающих отказ и покидающих систему не обслуженными; среднее время «простоя» отдельных каналов и системы в целом; среднее время ожидания в очереди; вероятность того, что поступившая заявка будет немедленно обслужена; закон распределения длины очереди и другие.

10. Понятие теории массового обслуживания • Входной поток заявок – количество поступивших в систему 10. Понятие теории массового обслуживания • Входной поток заявок – количество поступивших в систему заявок. Характеризуется интенсивностью входного потока l. Выходной поток заявок – количество обслуженных системой заявок. Характеризуется интенсивностью выходного потока m.

10. Понятие теории массового обслуживания Конфигурация системы подразумевает общее число каналов и узлов обслуживания. 10. Понятие теории массового обслуживания Конфигурация системы подразумевает общее число каналов и узлов обслуживания. СМО может содержать: один канал обслуживания (одна взлетно посадочная полоса, один продавец); один канал обслуживания, включающий несколько последовательных узлов (столовая, поликлиника, конвейер); несколько однотипных каналов обслуживания, соединенных параллельно (АЗС, справочная служба, вокзал). Таким образом, можно выделить одно и многоканальные СМО. С другой стороны, если все каналы обслуживания в СМО заняты, то подошедшая заявка может остаться в очереди, а может покинуть систему (например, сбербанк и телефонная станция). В этом случае мы говорим о системах с очередью (ожиданием) и о системах с отказами.

10. Понятие теории массового обслуживания Очередь – это совокупность заявок, поступивших в систему для 10. Понятие теории массового обслуживания Очередь – это совокупность заявок, поступивших в систему для обслуживания и ожидающих обслуживания. Очередь характеризуется длиной очереди и ее дисциплиной. Дисциплина очереди – это правило обслуживания заявок из очереди. К основным типам очереди можно отнести следующие: ПЕРППО (первым пришел – первым обслуживаешься) – наиболее распространенный тип; ПОСППО (последним пришел – первым обслуживаешься); СОЗ (случайный отбор заявок) – из банка данных. ПР – обслуживание с приоритетом.

10. Понятие теории массового обслуживания Длина очереди может быть неограничена тогда говорят о системе 10. Понятие теории массового обслуживания Длина очереди может быть неограничена тогда говорят о системе с чистым ожиданием; равна нулю – тогда говорят о системе с отказами; ограничена по длине (система смешанного типа). Примером СМО с чистым ожиданием можно считать погрузочно разгру зочное депо. В основном же ограничение на длину очереди накладывает размер места для размещения очереди (например, автостоянки или помещения). Блок ожидания – «вместимость» системы общее число заявок, находящихся в системе (в очереди и на обслуживании). Емкость источника, генерирующего заявки на обслуживание – это максимальное число заявок, которые могут поступить в СМО. Например, в аэропорту емкость источника ограничена количеством всех существующих самолетов, а емкость источника телефонной станции равна количеству жителей Земли, т. е. ее можно считать неограниченной.

10. Понятие теории массового обслуживания • Под потоком событий понимается последовательность событий, происходящих одно 10. Понятие теории массового обслуживания • Под потоком событий понимается последовательность событий, происходящих одно за другим в какие то моменты времени. • Примерами могут служить: поток вызовов на телефонной станции; поток включений приборов в бытовой электросети; поток заказных писем, поступающих в почтовое отделение; поток сбоев (неисправностей) электронной вычислительной машины; поток выстрелов, направляемых на цель во время обстрела, и т. п. • События, образующие поток, в общем случае могут быть различными, но здесь мы будем рассматривать лишь поток однородных событий, различающихся только моментами появления.

10. Понятие теории массового обслуживания • Одноканальная система массового обслуживания с неограниченной очередью • 10. Понятие теории массового обслуживания • Одноканальная система массового обслуживания с неограниченной очередью • Граф такой СМО изображён на рисунке • Примером такой СМО может служить директор предприятия, вынужденный рано или поздно решать вопросы, относящиеся к его компетенции, или, например, очередь в булочной с одним кассиром.

10. Понятие теории массового обслуживания Многоканальная СМО с отказами в обслуживании. Система S (СМО) 10. Понятие теории массового обслуживания Многоканальная СМО с отказами в обслуживании. Система S (СМО) имеет следующие состояния (нумеруем их по числу заявок, находящихся в системе): , где — состояние системы, когда в ней находится k заявок, то есть занято k каналов.

10. Понятие теории массового обслуживания • Многоканальная СМО с ограниченной длиной очереди. Система может 10. Понятие теории массового обслуживания • Многоканальная СМО с ограниченной длиной очереди. Система может находиться в одном из состояний S 0, S 1, S 2, …, Sk, …, Sn, …, — нумеруемых по числу заявок, находящихся в СМО: S 0 — в системе нет заявок (все каналы свободны); S 1 — занят один канал, остальные свободны; S 2 — заняты два канала, остальные свободны; . . . , Sk — занято k каналов, остальные свободны; . . . , Sn — заняты все n каналов (очереди нет); Sn+1 — заняты все n каналов, в очереди одна заявка; . . . , Sn+r — заняты все n каналов, r заявок стоит в очереди.

11. Понятие сетевой модели • Сетевая модель — графическое изображение плана выполнения комплекса работ, 11. Понятие сетевой модели • Сетевая модель — графическое изображение плана выполнения комплекса работ, состоящего из нитей (работ) и узлов (событий), которые отражают логическую взаимосвязь всех операций. • В основе сетевого моделирования лежит изображение планируемого комплекса работ в виде графа

11. Понятие сетевой модели Граф — схема, состоящая из заданных точек (вершин), соединенных сис 11. Понятие сетевой модели Граф — схема, состоящая из заданных точек (вершин), соединенных сис темой линий. Отрезки, соединяющие вершины, называются ребрами (дугами) графа. Ориентированным называется такой граф, на котором стрелкой указаны направления всех его ребер (дуг), что позволяет определить, какая из двух его граничных вершин является начальной, а какая — конечной.

11. Понятие сетевой модели • Теория графов оперирует понятием пути, объединяющим последовательность взаимосвязанных ребер. 11. Понятие сетевой модели • Теория графов оперирует понятием пути, объединяющим последовательность взаимосвязанных ребер. Контур означает такой путь, у которого начальная вершина совпадает с конечной. Сетевой график — это ориентированный граф без контуров. • В сетевом моделировании имеются два основных элемента — работа и событие.

11. Понятие сетевой модели • Работа — это активный процесс, требующий затрат ресурсов, либо 11. Понятие сетевой модели • Работа — это активный процесс, требующий затрат ресурсов, либо пассивный (ожидание), приводящий к достижению намеченного результата. • Фиктивная работа — это связь между результатами работ (событиями), не требующая затрат времени и ресурсов. • Событие — это результат (промежуточный или конечный) выполнения одной или нескольких предшествующих работ. • Путь — это любая непрерывная последовательность (цепь) работ и событий.

Сетевые модели • Критический путь — это путь, не имеющий резервов и включающий самые Сетевые модели • Критический путь — это путь, не имеющий резервов и включающий самые напряженные работы комплекса. • Работы, расположенные на критическом пути, называют критическими. • Все остальные работы являются некритическими (ненапряженными) и обладают резервами времени, которые позволяют передвигать сроки их выполнения, не влияя на общую продолжительность выполнения всего комплекса работ.

11. Понятие сетевой модели Сетью называется ориентированный граф , каждому ребру , которого поставлено 11. Понятие сетевой модели Сетью называется ориентированный граф , каждому ребру , которого поставлено в соответствие число , называемое пропускной способностью ребра. В графе выделено две вершины: источник s и сток t. Пусть дана сеть , пропускная способность которой задается функцией . Потоком в сети назовем функцию , обладающую следующими свойствами:

11. Понятие сетевой модели • Ограничение, связанное с пропускной способностью: для всех u и 11. Понятие сетевой модели • Ограничение, связанное с пропускной способностью: для всех u и v из V. • Кососимметричность: для всех u и v из V. • Сохранение потока: дл всех u из . • Величина потока определяется как сумма потоков по всем ребрам выходящим из истока.

11. Понятие сетевой модели Задача о максимальном потоке Найти максимально возможную скорость производства ( 11. Понятие сетевой модели Задача о максимальном потоке Найти максимально возможную скорость производства ( и потребления ) вещества, при которой его rot можно доставить от истока к стоку при данных пропускных способностях. Или для данной сети с истоком s и стоком t найти поток максимальной величины. Вершину сети v, для которой (полустепень исхода) и ( полустепень захода) будем называть источником, а вершину w , для которой и стоком.

11. Понятие сетевой модели • Поток называется максимальным, если он имеет наибольшую величину ( 11. Понятие сетевой модели • Поток называется максимальным, если он имеет наибольшую величину ( среди всех потоков через данную сеть). • Назовем разрезом сети разбиение множества V на две части S и T=V/S , для которых и . • Пропускной способностью разреза (S, T) называют сумму пропускных способностей, пересекающих разрез ребер. • Для заданного потока f величина потока через разрез (S, T) определяется как сумма f(S, T) по пересекающим разрез ребрам.

11. Понятие сетевой модели Минимальным разрезом называется разрез наименьшей пропускной способности среди всех разрезов 11. Понятие сетевой модели Минимальным разрезом называется разрез наименьшей пропускной способности среди всех разрезов сети. Теорема Форда – Фалкерсона Во всякой сети величина максимального потока равна пропускной способности любого минимального разреза. Идея алгоритма состоит в нахождении сквозных путей с положительными потоками от источника к стоку.